2019-2020年高考數(shù)學(xué) 8.9 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí)(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.過(guò)拋物線y=2x2的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=()【解析】選D.由y=2x2得x2=y,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為取直線y=,則其與y=2x2交于【方法技巧】與動(dòng)直線相關(guān)值的求解技巧解決動(dòng)直線與圓錐曲線相交的有關(guān)值的選擇題、填空題,一般取其特殊位置探索其值即可.2.(xx重慶模擬)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0),方向向量為d=(1,1)的直線與C交于兩點(diǎn)A,B,若線段AB的中點(diǎn)為(4,1),則雙曲線C的漸近線方程是()A.2xy=0B.x2y=0C.xy=0D.xy=0【解析】選B.設(shè)方向向量為d=(1,1)的直線方程為y=x+m,與雙曲線方程聯(lián)立,消去y,得:(b2-a2)x2-2a2mx-a2m2-a2b2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為(4,1),x1+x2=8,y1+y2=8+2m=2,解得m=-3,所以=8,即a=2b,所以雙曲線C的漸近線方程是x2y=0.【加固訓(xùn)練】雙曲線C的方程為=1(a>0,b>0),l1,l2為其漸近線,F為右焦點(diǎn),過(guò)F作ll2且l交雙曲線C于R,交l1于M,若=,且則雙曲線的離心率的取值范圍為()【解析】選B.由題意得令l1:y=-x,l2:y=x,l:y=(x-c),由l交雙曲線C于R,令解此方程組得故有=由l交l1于M,令解此方程組得故有由所以整理得a2=(1-)c2,即e2=又所以e2(2,3),即e().3.(xx麗水模擬)斜率為1的直線l與橢圓+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為()【解題提示】設(shè)出直線方程,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用弦長(zhǎng)公式求解.【解析】選C.設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l的方程為y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0.4.已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,直線y=k(x-2)與此拋物線相交于P,Q兩點(diǎn),則=()A. B.1 C.2 D.4【解析】選A.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由題意可知,|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,則,聯(lián)立直線與拋物線方程消去y得,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故.故選A.【加固訓(xùn)練】過(guò)點(diǎn)A(1,0)作傾斜角為的直線,與拋物線y2=2x交于M,N兩點(diǎn),則|MN|=.【解析】斜率k=tan=1,所以過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線方程為y=x-1.將其代入拋物線方程y2=2x,得x2-4x+1=0.因?yàn)榕袆e式=16-4>0,所以設(shè)它的兩根分別為x1,x2.于是x1+x2=4,x1x2=1.故|MN|=答案:5.(xx杭州模擬)F為橢圓+y2=1的右焦點(diǎn),第一象限內(nèi)的點(diǎn)M在橢圓上,若MFx軸,直線MN與圓x2+y2=1相切于第四象限內(nèi)的點(diǎn)N,則|NF|等于()【解析】選A.因?yàn)镸Fx軸,F為橢圓+y2=1的右焦點(diǎn),所以F(2,0), ,設(shè)lMN:y-=k(x-2),N(x,y),則O到lMN的距離解得k= (負(fù)值舍去).二、填空題(每小題5分,共15分)6.(xx安順模擬)在拋物線y=x2上關(guān)于直線y=x+3對(duì)稱的兩點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為.【解題提示】因?yàn)镸,N兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x+3對(duì)稱,所以kMN=-1,且M,N的中點(diǎn)在直線y=x+3上,亦即直線y=x+3是線段MN的垂直平分線.【解析】設(shè)直線MN的方程為y=-x+b,代入y=x2中,整理得x2+x-b=0,令=1+4b>0,所以b>-.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-1, ,由在直線y=x+3上,即+b=-+3,解得b=2,聯(lián)立得答案:(-2,4),(1,1)【加固訓(xùn)練】已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A,B,則|AB|等于()A.3B.4C.3D.4【解析】選C.設(shè)直線AB的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),得AB的中點(diǎn)又在直線x+y=0上,可求出b=1,則|AB|=7.已知曲線=1(ab0,且ab)與直線x+y-1=0相交于P,Q兩點(diǎn),且=0(O為原點(diǎn)),則的值為.【解析】將y=1-x代入=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,所以即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以=2.答案:28.已知橢圓+y2=1,過(guò)點(diǎn)M(m,0)作圓x2+y2=1的切線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).若M為圓外一動(dòng)點(diǎn),則|AB|的最大值為.【解析】由題意知,|m|>1,設(shè)切線l的方程為y=k(x-m),由得,(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0,設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=,又l與圓x2+y2=1相切,所以=1,即m2k2=k2+1.所以|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí)取等號(hào),所以|AB|的最大值為2.答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.(xx合肥模擬)已知橢圓T:=1(a>b>0)的離心率e=,A,B是橢圓T上兩點(diǎn),N(3,1)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓T相交于C,D兩點(diǎn).(1)求直線AB的方程.(2)是否存在這樣的橢圓,使得以CD為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O?若存在,求出該橢圓方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由離心率e=,可得橢圓T:x2+3y2=a2(a>0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=k(x-3)+1,代入x2+3y2=a2,整理得(3k2+1)x2-6k(3k-1)x+3(3k-1)2-a2=0.=4a2(3k2+1)-3(3k-1)2>0,x1+x2=,由N(3,1)是線段AB的中點(diǎn),得=3.解得k=-1,代入得,a2>12,直線AB的方程為y-1=-(x-3),即x+y-4=0.(2)因?yàn)镃D垂直平分AB,所以直線CD的方程為y-1=x-3,即x-y-2=0,代入橢圓方程,整理得4x2-12x+12-a2=0.又設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),所以x3+x4=3,x3x4=,y3y4=(x3-2)(x4-2)=,假設(shè)存在這樣的橢圓,使得以CD為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O,則x3x4+y3y4=0得a2=8,又a2>12,故不存在這樣的橢圓.【加固訓(xùn)練】已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,且拋物線x2=-4y的焦點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn),又點(diǎn)A(1,)在該橢圓上.(1)求橢圓E的方程.(2)若斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,當(dāng)ABC的面積最大時(shí),求直線l的方程.【解析】(1)由已知得拋物線的焦點(diǎn)為(0,-),故設(shè)橢圓方程為=1(a>).將點(diǎn)A(1, )代入方程得=1,整理得a4-5a2+4=0,解得a2=4或a2=1(舍去),故所求橢圓方程為=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,B,C的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由得4x2+2mx+m2-4=0,則=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,所以0m2<8.由x1+x2=-m,x1x2=,得又點(diǎn)A到BC的距離為d=當(dāng)且僅當(dāng)2m2=16-2m2,即m=2時(shí)取等號(hào).當(dāng)m=2時(shí),滿足0m2<8.故直線l的方程為y=x2.10.如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長(zhǎng)軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且AB1B2是面積為4的直角三角形.(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)過(guò)B1作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2QB2,求直線l的方程.【解析】(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F2(c,0).因?yàn)锳B1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,所以B1AB2為直角,因此|OA|=|OB2|,則b=,又c2=a2-b2,所以4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以離心率在RtAB1B2中,OAB1B2,故=|B1B2|OA|=|OB2|OA|=b=b2.由題設(shè)條件=4得b2=4,從而a2=5b2=20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由題意知直線l的傾斜角不為0,故可設(shè)直線l的方程為x=my-2.代入橢圓方程得(m2+5)y2-4my-16=0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1,y2是上面方程的兩根,因此y1+y2=,y1y2=-.又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16由PB2QB2,得=0,即16m2-64=0,解得m=2.所以滿足條件的直線有兩條,其方程分別為x+2y+2=0和x-2y+2=0. (20分鐘40分)1.(5分)已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C:=1(a>0,b>0)漸近線的距離為,點(diǎn)P是拋物線y2=8x上的一動(dòng)點(diǎn),P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1(0,c)的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3,則該雙曲線的方程為()【解析】選C.由題意得,拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0),雙曲線C: =1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為ax-by=0,因?yàn)閽佄锞€y2=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C: =1(a>0,b>0)漸近線的距離為,所以,所以a=2b.因?yàn)镻到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1(0,c)的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3,所以|FF1|=3,所以c2+4=9,所以c=,因?yàn)閏2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1.所以雙曲線的方程為-x2=1,故選C.2.(5分)(xx銀川模擬)在拋物線y=x2+ax-5(a0)上取橫坐標(biāo)為x1=-4,x2=2的兩點(diǎn),過(guò)這兩點(diǎn)引一條割線,有平行于該割線的一條直線同時(shí)與拋物線和圓5x2+5y2=36相切,則拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(-2,-9)B.(0,-5)C.(2,-9)D.(1,-6)【解題提示】由x1=-4,x2=2可求出割線的斜率,然后根據(jù)割線與切線平行以及導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系求出直線與拋物線的切點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出切線方程,根據(jù)直線與圓相切即可求出a的值,從而求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).【解析】選A.當(dāng)x1=-4時(shí),y1=11-4a;當(dāng)x2=2時(shí),y2=2a-1,所以割線的斜率k=a-2.設(shè)直線與拋物線的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,由y=2x+a得切線斜率為2x0+a,所以2x0+a=a-2,所以x0=-1.所以直線與拋物線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-a-4),切線方程為y+a+4=(a-2)(x+1),即(a-2)x-y-6=0.圓5x2+5y2=36的圓心到切線的距離d由題意得即(a-2)2+1=5.又a0,所以a=4,此時(shí),y=x2+4x-5=(x+2)2-9,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-9).3.(5分)已知橢圓M:=1,直線x+y-=0交橢圓M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為.C,D為橢圓M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線滿足CDAB,則四邊形ACBD面積的最大值為.【解析】因?yàn)镃DAB,直線AB的方程為x+y-=0,所以可設(shè)直線CD的方程為y=x+m,將x+y-=0代入=1得,3x2-4x=0,不妨設(shè)A(0,),B,所以|AB|=;將y=x+m代入=1得,3x2+4mx+2m2-6=0,設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),則|CD|=又=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3,所以當(dāng)m=0時(shí),|CD|取得最大值4,所以四邊形ACBD面積的最大值為|AB|CD|=.答案: 4.(12分)(xx衡水模擬)如圖,橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為,不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.(1)求橢圓C的方程.(2)求ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程.【解析】(1)左焦點(diǎn)(-c,0)到點(diǎn)P(2,1)的距離為,解得c=1.又離心率為,可得a2=4,則b2=3,所以橢圓C的方程為=1.(2)由題意可知,直線l不垂直于x軸,故可設(shè)直線l:y=kx+m,交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y并整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,所以x1+x2=所以AB的中點(diǎn)為而點(diǎn)P(2,1)到直線l:y=-x+m的距離為d=,所以ABP的面積為S=|AB|d其中m(-2,0)(0,2),令f(m)=(12-m2)(4-m)2,m(-2,0)(0,2),則f(m)=4(m2-2m-6)(4-m)=4(m-1-)(m-1+)(4-m),所以當(dāng)且僅當(dāng)m=1-時(shí),f(m)取得最大值,即S取得最大值,此時(shí)直線l:3x+2y+2-2=0.5.(13分) (能力挑戰(zhàn)題)如圖,橢圓E:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1,右焦點(diǎn)為F2,離心率e=.過(guò)F1的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),且ABF2的周長(zhǎng)為8.(1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)閨AB|+|AF2|+|BF2|=8,即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8,又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,所以4a=8,a=2.又因?yàn)樗詂=1,所以b=故橢圓E的方程是=1.(2)由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0,y0),所以m0且=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化簡(jiǎn)得4k2-m2+3=0.(*)由得Q(4,4k+m).假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件,由圖形對(duì)稱性知,點(diǎn)M必在x軸上.設(shè)M(x1,0),則=0對(duì)滿足(*)式的m,k恒成立.因?yàn)?,=(4-x1,4k+m),由=0,整理,得(4x1-4)+-4x1+3=0.(*)由于(*)式對(duì)滿足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.故存在定點(diǎn)M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.【一題多解】解決本題(2)還有如下方法:由,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0,y0),所以m0且=0,即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化簡(jiǎn)得4k2-m2+3=0.(*)此時(shí)所以由得Q(4,4k+m).假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件,由圖形對(duì)稱性知,點(diǎn)M必在x軸上.取k=0,m=,此時(shí)P(0,),Q(4,),以PQ為直徑的圓為(x-2)2+(y-)2=4,交x軸于點(diǎn)M1(1,0),M2(3,0);取k=-,m=2,此時(shí)P(1,),Q(4,0),以PQ為直徑的圓為,交x軸于點(diǎn)M3(1,0),M4(4,0).所以若符合條件的點(diǎn)M存在,則M的坐標(biāo)必為(1,0).以下證明M(1,0)就是滿足條件的點(diǎn):因?yàn)镸的坐標(biāo)為(1,0),所以=,=(3,4k+m),從而=故恒有,即存在定點(diǎn)M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.