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2019年高考數(shù)學(xué) 8.5 圓錐曲線的綜合問題課時(shí)提升作業(yè) 文（含解析）
一、選擇題
1.(xx濟(jì)南模擬)過拋物線y=2x2的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=( )
(A)-2 (B)- (C)-4 (D)-
2.設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍是( )
(A)[-,] (B)[-2,2]
(C)[-1,1] (D)[-4,4]
3.若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1,則橢圓長軸的最小值為( )
(A)1 (B) (C)2 (D)2
4.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓+=1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為( )
(A)2 (B)3 (C)6 (D)8
5.(能力挑戰(zhàn)題)已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,則d1+d2的最小值為( )
(A)+2 (B)+1 (C)-2 (D)-1
6.(xx河池模擬)已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),且左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形.若|PF1|=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e1e2的取值范圍是
( )
(A)(0,+∞) (B)(,+∞)
(C)(,+∞) (D)(,+∞)
二、填空題
7.(xx南寧模擬)過橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一個(gè)點(diǎn)B,且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F,若
0,b>0)的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為S1,連接其4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形面積為S2,則的最大值為 .
9.過拋物線y2=2px(p>0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)(y0>0)作兩直線分別交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),則的值為 .
三、解答題
10.(xx廣州模擬)如圖,已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,離心率為,若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),且=0.
(1)求橢圓C的方程.
(2)求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).
11.(能力挑戰(zhàn)題)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,a2與b2的等差中項(xiàng)為.
(1)求橢圓E的方程.
(2)A,B是橢圓E上的兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(t,0),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
12.已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線C2:y2=4x的焦點(diǎn)重合,橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P,|PF2|=.圓C3的圓心T是拋物線C2上的動(dòng)點(diǎn),圓C3與y軸交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=4.
(1)求橢圓C1的方程.
(2)證明:無論點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)到何處,圓C3恒經(jīng)過橢圓C1上一定點(diǎn).
13.(xx成都模擬)給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”,若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F2(,0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F2的距離為.
(1)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程.
(2)若過點(diǎn)P(0,m)(m<0)的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2,求m的值.
(3)過橢圓C“伴隨圓”上一動(dòng)點(diǎn)Q作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn),試判斷直線l1,l2的斜率之積是否為定值,并說明理由.
答案解析
1.【解析】選D.由y=2x2得x2=y,其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,),取直線y=,則其與y=2x2交于A(-,),B(,),∴x1x2=(-)()=-.
【方法技巧】與動(dòng)直線相關(guān)值的求解技巧
解決動(dòng)直線與圓錐曲線相交的有關(guān)值的選擇題、填空題,一般取其特殊位置探索其值即可.
2.【解析】選C.設(shè)直線方程為y=k(x+2),與拋物線聯(lián)立方程組,整理得ky2-8y+16k=0.當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)k≠0時(shí),由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.綜上-1≤k≤1.
3.【解析】選D.設(shè)橢圓長半軸長為a,短半軸長為b,a2-b2=c2,由題意,2cb=1,
∴bc=1,b2+c2=a2≥2bc=2.
∴a≥.∴長軸的最小值為2.
4.【解析】選C.設(shè)P(x0,y0),則+=1即=3-,又∵F(-1,0),
∴=x0(x0+1)+=+x0+3
=(x0+2)2+2,又x0∈[-2,2],
∴()∈[2,6],所以()max=6.
5.【思路點(diǎn)撥】畫出圖象,通過圖象可知點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離減1,過焦點(diǎn)F作直線l的垂線,此時(shí)d1+d2最小,根據(jù)拋物線方程求得F的坐標(biāo),進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求得d1+d2的最小值.
【解析】選D.如圖所示,由拋物線的定義知,|PF|=d1+1,
∴d1=|PF|-1,
d1+d2=d2+|PF|-1,顯然當(dāng)直線PF垂直于直線x-y+4=0時(shí),d1+d2最小,此時(shí)d2+|PF|為F到直線x-y+4=0的距離.由題意知F點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),所以(d2+|PF|)min==.
∴(d1+d2)min=-1.
6.【解析】選B.由題意知|PF1|=r1=10,|PF2|=r2=2c,且r1>r2.e2====;
e1====.
∵三角形兩邊之和大于第三邊,2c+2c>10,即c>,
∴e1e2==>,因此選B.
7.【解析】由題意知:B(c,),
∴k===1-e.
又0,b>0),
∴=≤(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)).
答案:
9.【解析】設(shè)直線PA的斜率為kPA,PB的斜率為kPB,
由=2px1,=2px0,得kPA==,
同理kPB=,
由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ),
因此=-,即y1+y2=-2y0(y0>0),
那么=-2.
答案:-2
10.【解析】(1)依題意有?
故橢圓C的方程為:+y2=1.
(2)由=0,知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,由A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-x+1(k≠0).
將y=kx+1代入橢圓C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,
解得x=0或x=-,
因此P的坐標(biāo)為(-,-+1),
即(-,),
將上式中的k換成-,得Q(,).
直線l的方程為y=(x-)+,
化簡得直線l的方程為y=x-,
因此直線l過定點(diǎn)N(0,-).
11.【解析】(1)由題意得
解得:.即橢圓E的方程為+=1.
(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).
因線段AB的垂直平分線與x軸相交,
故AB不平行于y軸,即x1≠x2.
又交點(diǎn)為P(t,0),故|PA|=|PB|,
即(x1-t)2+=(x2-t)2+,
∴t=+ ①
∵A,B在橢圓上,∴=4-,=4-.
將上式代入①,得t=.
又∵-3≤x1≤3,-3≤x2≤3,且x1≠x2,
∴-60,得y1=.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
在橢圓C1:+=1(a>b>0)中,c=1.
2a=|PF1|+|PF2|=+=4,
∴a=2,b==,
∴橢圓C1的方程為+=1.
(2)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x0,y0),圓C3的半徑為r,
∵圓C3與y軸交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=4,
∴|MN|=2=4,
∴r=,
∴圓C3的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=4+(*),
∵點(diǎn)T是拋物線C2:y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),
∴=4x0(x0≥0),
∴x0=.
把x0=代入(*)消去x0整理得:(1-)-2yy0+(x2+y2-4)=0(**)
方程(**)對(duì)任意實(shí)數(shù)y0恒成立,
∴
解得
∵點(diǎn)(2,0)在橢圓C1:+=1上,
∴無論點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)到何處,圓C3恒經(jīng)過橢圓C1上一定點(diǎn)(2,0).
13.【解析】(1)由題意得:a=,半焦距c=,則b=1,橢圓C方程為+y2=1,
“伴隨圓”方程為x2+y2=4.
(2)設(shè)過點(diǎn)P且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線為:y=kx+m.
則
整理得(1+3k2)x2+6kmx+(3m2-3)=0,
所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)=0,解3k2+1=m2①.
又因?yàn)橹本€截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2,
則有2=2,化簡得m2=2(k2+1)②.
聯(lián)立①②解得:k2=1,m2=4,所以k=1,m=-2
(∵m<0).
(3)當(dāng)l1,l2都有斜率時(shí),設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),其中+=4,
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)Q(x0,y0)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為y=k(x-x0)+y0
由消去y得到x2+3[kx+(y0-kx0)]2-3=0,
即(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0,
Δ=[6k(y0-kx0)]2-4(1+3k2)[3(y0-kx0)2-3]=0,
經(jīng)過化簡得到:(3-)k2+2x0y0k+1-=0,
因?yàn)?=4,所以有(3-)k2+2x0y0k+(-3)=0,
設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k2,因?yàn)閘1,l2與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),所以k1,k2滿足方程(3-)k2+2x0y0k+(-3)=0,因而k1k2=-1,即直線l1,l2的斜率之積為定值-1.
【變式備選】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為F1(-1,0),P為橢圓G的上頂點(diǎn),且∠PF1O=45.
(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知直線l1:y=kx+m1與橢圓G交于A,B兩點(diǎn),直線l2:y=kx+m2(m1≠m2)與橢圓G交于C,D兩點(diǎn),且|AB|=|CD|,如圖所示.
①證明:m1+m2=0;
②求四邊形ABCD的面積S的最大值.
【解析】(1)設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
因?yàn)镕1(-1,0),∠PF1O=45,所以b=c=1.
所以a2=b2+c2=2.
所以橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
①由消去y得:(1+2k2)x2+4km1x+2-2=0.
則Δ=8(2k2-+1)>0,
所以|AB|=
=
=
=2.
同理|CD|=2.
因?yàn)閨AB|=|CD|,
所以2
=2.
因?yàn)閙1≠m2,所以m1+m2=0.
②由題意得四邊形ABCD是平行四邊形,設(shè)兩平行線AB,CD間的距離為d,則d=.
因?yàn)閙1+m2=0,所以d=.
所以S=|AB|d=2=4
≤4=2.
當(dāng)且僅當(dāng)2k2+1=2時(shí),四邊形ABCD的面積S取得最大值為2.
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