2019年高考數(shù)學(xué) 第二章 第十二節(jié) 導(dǎo)數(shù)與生活中的優(yōu)化問題及綜合應(yīng)用課時(shí)提升作業(yè) 理 新人教A版一、選擇題1.(xx日照模擬)已知某生產(chǎn)廠家年利潤(rùn)y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為( )(A)13萬件(B)11萬件(C)9萬件(D)7萬件2.若對(duì)任意的x>0,恒有l(wèi)n xpx-1(p>0),則p的取值范圍是()(A)(0,1(B)(1,+)(C)(0,1) (D)1,+)3.(xx伊春模擬)在半徑為R的半球內(nèi)有一內(nèi)接圓柱,則這個(gè)圓柱的體積的最大值是()(A)R3(B)R3(C)R3(D)R34.(xx德州模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(1)=0,當(dāng)x0時(shí)，有成立，則不等式f(x)0的解集是( )(A)(-,-1)(1,+)(B)(-1,0)(C)(1,+)(D)(-1,0)(1,+)5.函數(shù)y=2x3+1的圖象與函數(shù)y=3x2-b的圖象有三個(gè)不相同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(1,2)6.(xx沈陽模擬)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)0，當(dāng)x>0時(shí)，有<0恒成立，則不等式x2f(x)>0的解集是( )(A)(2,0)(2，) (B)(2,0)(0,2)(C)(，2)(2，)(D)(，2)(0,2)二、填空題7.已知函數(shù)f(x)=xsinx,xR,f(-4),f(),f()的大小關(guān)系為(用“<”連接).8.(xx江西師大附中模擬)已知f(x)=x3-3x+m，在區(qū)間0,2上任取三個(gè)不同的數(shù)a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)為邊長(zhǎng)的三角形，則m的取值范圍是.9(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)函數(shù),對(duì)任意x1，x2(0,)，不等式恒成立，則正數(shù)k的取值范圍是_.三、解答題10.(xx石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)=(a+1)ln x+ax2+1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(2)設(shè)a-2，證明：對(duì)任意x1,x2(0,+)，|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|.11.某唱片公司要發(fā)行一張名為春風(fēng)再美也比不上你的笑的唱片，包含新花好月圓荷塘月色等10首創(chuàng)新經(jīng)典歌曲.該公司計(jì)劃用x(百萬元)請(qǐng)李子恒老師進(jìn)行創(chuàng)作，經(jīng)調(diào)研知：該唱片的總利潤(rùn)y(百萬元)與(3-x)x2成正比的關(guān)系，當(dāng)x=2時(shí)y=32.又有(0,t，其中t是常數(shù)，且t(0,2.(1)設(shè)y=f(x)，求其表達(dá)式及定義域(用t表示).(2)求總利潤(rùn)y的最大值及相應(yīng)的x的值.12.(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax-a(aR).(1)當(dāng)a=-3時(shí),求函數(shù)f(x)的極值.(2)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.答案解析1.【解析】選C.因?yàn)閥=-x2+81，由y=0,得x=9(-9舍去).當(dāng)x(0,9)時(shí)，y0;當(dāng)x(9,+)時(shí)，y0,所以當(dāng)x=9時(shí)，y有最大值，故選C.2.【解析】選D.原不等式可化為lnx-px+10,令f(x)=lnx-px+1,故只需f(x)max0.由f(x)=-p,知f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+)上單調(diào)遞減.故f(x)max=f()=-lnp,由-lnp0得p1.3.【解析】選A.設(shè)圓柱的高為h,則圓柱的底面半徑為,圓柱的體積為V=(R2-h2)h=-h3+R2h(0<h<R),V=-3h2+R2=0,h=時(shí)V有最大值為V=R3.4.【解析】選D.令g(x),當(dāng)x0時(shí)，有,即當(dāng)x0時(shí)，是增函數(shù).又f(x)在R上是奇函數(shù)，所以在(-,0)(0,+)上是偶函數(shù).所以，當(dāng)x0時(shí)，是減函數(shù).而f(1)=0，所以不等式f(x)0的解集是(-1，0)(1,+).5.【解析】選B.由題意知方程2x3+1=3x2-b,即2x3-3x2+1=-b有三個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根,令f(x)=2x3-3x2+1,即函數(shù)y=f(x)=2x3-3x2+1與直線y=-b有三個(gè)交點(diǎn).由f(x)=6x2-6x=6x(x-1)知,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-,0)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增,故f(0)是函數(shù)的極大值,f(1)是函數(shù)的極小值,若函數(shù)y=f(x)=2x3-3x2+1與直線y=-b有三個(gè)交點(diǎn),則f(1)<-b<f(0),解得-1<b<0.6.【思路點(diǎn)撥】x2f(x)化為x3,研究函數(shù)y的單調(diào)性，利用單調(diào)性結(jié)合圖象求解.【解析】選D.當(dāng)x>0時(shí)，有0，則<0，在x>0時(shí)單調(diào)遞減，x2f(x)0,即為x3>0>0.f(2)0，畫出y在x>0時(shí)的示意圖，知0<x<2.同理，由f(x)是奇函數(shù)，則y是偶函數(shù)，如圖，在x<0時(shí)y單調(diào)遞增，x2f(x)>0，即為x3>0<0.f(2)0，x<2.綜上所述，不等式的解集是(，2)(0,2).7.【解析】f(x)=sinx+xcosx,當(dāng)x時(shí),sinx<0,cosx<0,f(x)=sinx+xcosx<0,則函數(shù)f(x)在x時(shí)為減函數(shù),f()<f(4)<f(),又函數(shù)f(x)為偶函數(shù),f()<f(-4)<f(-).答案:f()<f(-4)<f(-)8.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是在0,2上任取三個(gè)不同的數(shù)a,b,c，均存在以f(a),f(b),f(c)為邊長(zhǎng)的三角形，三個(gè)不同的數(shù)a,b,c,對(duì)應(yīng)的f(a),f(b),f(c)可以有兩個(gè)相同.【解析】f(x)=x3-3x+m，f(x)=3x2-3，由f(x)=0得到x=1或x=-1，在0,2上，函數(shù)先減小后增加，計(jì)算兩端及最小值f(0)=m，f(2)=2+m,f(1)=-2+m.在0,2上任取三個(gè)不同的數(shù)a,b,c，均存在以f(a),f(b),f(c)為邊的三角形，三個(gè)不同的數(shù)a,b,c對(duì)應(yīng)的f(a),f(b),f(c)可以有兩個(gè)相同.由三角形兩邊之和大于第三邊，可知最小邊長(zhǎng)的二倍必須大于最大邊長(zhǎng).由題意知，f(1)=-2+m0 f(1)+f(1)f(0)，得到-4+2mm f(1)+f(1)f(2)，得到-4+2m2+m 由得到m6，即為所求.答案:m69.【解析】k為正數(shù)， 對(duì)任意x1，x2(0,)，不等式恒成立由g(x)= =0，得x=1，x(0,1)時(shí),g(x)0,x(1,+)時(shí)，g(x)0，.同理由f(x)=0，得x=，x(0, )時(shí),f(x)0，x(,+)時(shí)，f(x)0，,k0k1.答案：k|k1【變式備選】已知兩函數(shù)f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k為實(shí)數(shù).(1)對(duì)任意x-3,3,都有f(x)g(x)成立,求k的取值范圍.(2)存在x-3,3,使f(x)g(x)成立,求k的取值范圍.(3)對(duì)任意x1,x2-3,3,都有f(x1)g(x2),求k的取值范圍.【解析】(1)設(shè)h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,問題轉(zhuǎn)化為x-3,3時(shí),h(x)0恒成立,即h(x)min0,x-3,3.令h(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1.h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,h(3)=k-9,h(x)min=k-450,得k45.(2)據(jù)題意:存在x-3,3,使f(x)g(x)成立,即為h(x)=g(x)-f(x)0在x-3,3上能成立,h(x)max0.h(x)max=k+70,得k-7.(3)據(jù)題意:f(x)maxg(x)min,x-3,3,易得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21.120-k-21,得k141.10.【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+)，f(x)=當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0,+)上單調(diào)增加;當(dāng)a-1時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0,+)上單調(diào)減少;當(dāng)-1a0時(shí)，令f(x)=0，得x=.當(dāng)x(0,)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(,+)時(shí)，f(x)0，故f(x)在(0,)上單調(diào)增加,在(，+)上單調(diào)減少.綜上所述，a0時(shí)，f(x)在(0,+)上單調(diào)增加；-1a0時(shí)，f(x)在(0,)上單調(diào)增加，在(,+)上單調(diào)減少;a-1時(shí)，f(x)在(0,+)上單調(diào)減少.(2)不妨設(shè)x1x2.由于a-2，故f(x)在(0,+)上單調(diào)減少.所以|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|等價(jià)于f(x1)-f(x2)4x2-4x1，即f(x2)+4x2f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x，則g(x)=.令h(x)=2ax2+4x+a+1,因?yàn)閍-2，=42-8a(a+1)=-8(a-1)(a+2)0.于是g(x)0.從而g(x)在(0，+)上單調(diào)減少，故g(x1)g(x2),即f(x1)+4x1f(x2)+4x2，故對(duì)任意x1,x2(0,+)，|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|.11.【解析】(1)y=k(3-x)x2,當(dāng)x=2時(shí)，y=32,k=8,y=f(x)=24x2-8x3.(0,t,0x.定義域?yàn)?0,.(2)令 y=-24x(x-2)=0,x=0或x=2.討論：若2，即1t2時(shí),f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,)上單調(diào)遞減.所以ymax=f(2)=32,若2，即0t1時(shí),f(x)0，所以f(x)在(0，)上為增函數(shù).ymax=f()=.綜上所述，當(dāng)1t2，x=2時(shí)，ymax=32；當(dāng)0t1,x=時(shí)，ymax=.12.【思路點(diǎn)撥】(1)求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),再判斷零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).(2)三次函數(shù)的零點(diǎn)決定于函數(shù)的極值的符號(hào),若函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn),則此時(shí)極大值與極小值同號(hào).【解析】(1)當(dāng)a=-3時(shí),f(x)=x3-x2-3x+3.f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).令f(x)=0,得x1=-1,x2=3.當(dāng)x<-1時(shí),f(x)>0,則函數(shù)在(-,-1)上是增函數(shù),當(dāng)-1<x<3時(shí),f(x)<0,則函數(shù)在(-1,3)上是減函數(shù),當(dāng)x>3時(shí),f(x)>0,則函數(shù)在(3,+)上是增函數(shù).所以當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值為f(-1)=-1+3+3=,當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)f(x)取得極小值為f(3)=27-9-9+3=-6.(2)因?yàn)閒(x)=x2-2x+a,所以=4-4a=4(1-a).當(dāng)a1時(shí),則0,f(x)0在R上恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞增.f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,當(dāng)a1時(shí)函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).a<1時(shí),則>0,f(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,不妨設(shè)為x1,x2(x1<x2),x1+x2=2,x1x2=a,當(dāng)x變化時(shí),f(x),f(x)的變化情況如下表:x(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值x12-2x1+a=0,a=-x12+2x1,f(x1)=+ax1-a=+ax1+-2x1=+(a-2)x1=x1x12+3(a-2),同理f(x2)=x2x22+3(a-2).f(x1)f(x2)=x1x2x12+3(a-2)x22+3(a-2)=a(a2-3a+3).令f(x1)f(x2)>0,解得a>0.而當(dāng)0<a<1時(shí),f(0)=-a<0,f(3)=2a>0.故0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述,a的取值范圍是(0,+).【方法技巧】巧解方程根的個(gè)數(shù)問題當(dāng)函數(shù)的極值點(diǎn)很難求解時(shí),可采用設(shè)而不求的思想.設(shè)出極值點(diǎn)后(設(shè)極大值為M,極小值為m),將M與m的符號(hào)問題轉(zhuǎn)化為M與m乘積的符號(hào)問題,最后把M與m乘積轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系解決.