2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十一章 第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí)一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析當(dāng)nk時(shí)，左端123k2.當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2.答案D2(xx岳陽模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1>(nN)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7B8C9 D10解析1>，整理得2n>128，解得n>7，所以初始值至少應(yīng)取8. 答案B3用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，從“k到k1”左端需增乘的代數(shù)式為()A2k1 B2(2k1)C. D.解析nk1時(shí)，左端為(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)，應(yīng)乘2(2k1)答案B4對于不等式<n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)，不等式成立，即<k1，則當(dāng)nk1時(shí)，<(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法答案D5(xx上海模擬)平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()An1 B2nC. Dn2n1解析1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個(gè)區(qū)域；，n條直線最多可將平面分成1(123n)1個(gè)區(qū)域答案C6(xx南寧模擬)已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN*，f(n)都能被m整除，則m的最大值為()A18 B36C48 D54解析由于f(1)36，f(2)108，f(3)360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值為36.當(dāng)n1時(shí)，可知猜想成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，猜想成立，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；當(dāng)nk1時(shí)， f(k1)(2k9)3k19(2k7)3k936(k5)3k2，因此f(k1)也能被36整除，故所求m的最大值為36.答案B二、填空題7用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN)”時(shí)，第一步驗(yàn)證為_解析由nN可知初始值為1.答案當(dāng)n1時(shí)，左邊4右邊，不等式成立8(xx徐州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)nk(kN*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真解析n為正奇數(shù)，假設(shè)nk成立后，需證明的應(yīng)為nk2時(shí)成立答案k29若f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系式是_解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)210用數(shù)學(xué)歸納法證明> (k>1)，則當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)乘上_，這個(gè)乘上去的代數(shù)式共有因式的個(gè)數(shù)是_解析因?yàn)榉帜傅墓顬?，所以乘上去的第一個(gè)因式是，最后一個(gè)是，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得共有12k2k12k1項(xiàng)答案2k1三、解答題11(xx綿陽一模)已知數(shù)列xn滿足x1，xn1，nN*.猜想數(shù)列x2n的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論解析由x1及xn1，得x2，x4，x6，由x2x4x6猜想：數(shù)列x2n是遞減數(shù)列下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，已證命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是說，當(dāng)nk1時(shí)命題也成立結(jié)合(1)和(2)知命題成立12(xx長沙模擬)設(shè)數(shù)列an滿足a13，an1a2nan2(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式(不需證明)(2)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，試求使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n，并給出證明(1)解：a2a2a125，a3a22a227，a4a23a329，猜想an2n1(nN)(2)證明：Snn22n(nN)，使得Sn<2n成立的最小正整數(shù)n6.下證：當(dāng)n6(nN)時(shí)都有2n>n22n.當(dāng)n6時(shí)，2664,622648,64>48，命題成立假設(shè)nk(k6，kN)時(shí)，2k>k22k成立，那么2k122k>2(k22k)k22kk22k>k22k32k(k1)22(k1)，即nk1時(shí)，不等式成立；由可得，對于所有的n6(nN)都有2n>n22n成立