2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.3 拋物線及其性質(zhì) 文考點(diǎn)一拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(xx課標(biāo),10,5分)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=x0,則x0=()A.1 B.2 C.4 D.8答案A2.(xx湖南,14,5分)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是.答案(-,-1)(1,+)3.(xx福建,21,12分)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.(1)求曲線的方程;(2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M,N.以MN為直徑作圓C,過點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為B.試探究:當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.解析(1)解法一:設(shè)S(x,y)為曲線上任意一點(diǎn),依題意,點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等,所以曲線是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線的方程為x2=4y.解法二:設(shè)S(x,y)為曲線上任意一點(diǎn),則|y-(-3)|-=2,依題意,知點(diǎn)S(x,y)只能在直線y=-3的上方,所以y>-3,所以=y+1,化簡(jiǎn)得,曲線的方程為x2=4y.(2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變.證明如下:由(1)知拋物線的方程為y=x2,設(shè)P(x0,y0)(x00),則y0=,由y=x,得切線l的斜率k=y=x0,所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得A.由得M.又N(0,3),所以圓心C,半徑r=|MN|=,|AB|=.所以點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變.考點(diǎn)二拋物線的性質(zhì)4.(xx安徽,3,5分)拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A5.(xx課標(biāo),10,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),則|AB|=()A.B.6C.12D.7答案C6.(xx遼寧,8,5分)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為()A.-B.-1C.-D.-答案C7.(xx四川,10,5分)已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則ABO與AFO面積之和的最小值是()A.2B.3C.D.答案B8.(xx陜西,11,5分)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為.答案x=-19.(xx浙江,22,14分)已知ABP的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C:x2=4y上,F為拋物線C的焦點(diǎn),點(diǎn)M為AB的中點(diǎn),=3.(1)若|=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)求ABP面積的最大值.解析(1)由題意知焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1.設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y0+1,得到y(tǒng)0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分別得M或M.(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由>0,k20,得-<m.又因?yàn)閨AB|=4,點(diǎn)F(0,1)到直線AB的距離為d=,所以SABP=4SABF=8|m-1|=.記f(m)=3m3-5m2+m+1.令f (m)=9m2-10m+1=0,解得m1=,m2=1.可得f(m)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).又f=>f,所以,當(dāng)m=時(shí), f(m)取到最大值,此時(shí)k=.所以,ABP面積的最大值為.