2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 14 推理與證明 理考點(diǎn)一合情推理與演繹推理1.(xx北京,8,5分)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績均被評定為三個(gè)等級,依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績都不低于學(xué)生乙,且其中至少有一門成績高于乙,則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績好”.如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績好,并且不存在語文成績相同、數(shù)學(xué)成績也相同的兩位學(xué)生,那么這組學(xué)生最多有()A.2人 B.3人 C.4人 D.5人答案B2.(xx課標(biāo),14,5分)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個(gè)城市時(shí),甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市;乙說:我沒去過C城市;丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市.由此可判斷乙去過的城市為.答案A3.(xx陜西,14,5分)觀察分析下表中的數(shù)據(jù):多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F,V,E所滿足的等式是.答案F+V-E=24.(xx北京,20,13分)對于數(shù)對序列P:(a1,b1),(a2,b2),(an,bn),記T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+maxTk-1(P),a1+a2+ak(2kn),其中maxTk-1(P),a1+a2+ak表示Tk-1(P)和a1+a2+ak兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù).(1)對于數(shù)對序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)記m為a,b,c,d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù),對于由兩個(gè)數(shù)對(a,b),(c,d)組成的數(shù)對序列P:(a,b),(c,d)和P:(c,d),(a,b),試分別對m=a和m=d兩種情況比較T2(P)和T2(P)的大小;(3)在由五個(gè)數(shù)對(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)組成的所有數(shù)對序列中,寫出一個(gè)數(shù)對序列P使T5(P)最小,并寫出T5(P)的值.(只需寫出結(jié)論)解析(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+maxT1(P),2+4=1+max7,6=8.(2)T2(P)=maxa+b+d,a+c+d,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b.當(dāng)m=a時(shí),T2(P)=maxc+d+b,c+a+b=c+d+b.因?yàn)閍+b+dc+b+d,且a+c+dc+b+d,所以T2(P)T2(P).當(dāng)m=d時(shí),T2(P)=maxc+d+b,c+a+b=c+a+b.因?yàn)閍+b+dc+a+b,且a+c+dc+a+b,所以T2(P)T2(P).所以無論m=a還是m=d,T2(P)T2(P)都成立.(3)數(shù)對序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.考點(diǎn)二直接證明與間接證明5.(xx山東,4,5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根答案A考點(diǎn)三數(shù)學(xué)歸納法6.(xx安徽,21,13分)設(shè)實(shí)數(shù)c>0,整數(shù)p>1,nN*.(1)證明:當(dāng)x>-1且x0時(shí),(1+x)p>1+px;(2)數(shù)列an滿足a1>,an+1=an+.證明:an>an+1>.解析(1)證明:用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)p=2時(shí),(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.假設(shè)p=k(k2,kN*)時(shí),不等式(1+x)k>1+kx成立.當(dāng)p=k+1時(shí),(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.所以p=k+1時(shí),原不等式也成立.綜合可得,當(dāng)x>-1,x0時(shí),對一切整數(shù)p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.(2)證法一:先用數(shù)學(xué)歸納法證明an>.當(dāng)n=1時(shí),由題設(shè)a1>知an>成立.假設(shè)n=k(k1,kN*)時(shí),不等式ak>成立.由an+1=an+易知an>0,nN*.當(dāng)n=k+1時(shí),=+=1+.由ak>>0得-1<-<<0.由(1)中的結(jié)論得=>1+p=.因此>c,即ak+1>.所以n=k+1時(shí),不等式an>也成立.綜合可得,對一切正整數(shù)n,不等式an>均成立.再由=1+可得<1,即an+1<an.綜上所述,an>an+1>,nN*.證法二:設(shè)f(x)=x+x1-p,x,則xpc,并且f (x)=+(1-p)x-p=>0,x>.由此可得, f(x)在,+)上單調(diào)遞增.因而,當(dāng)x>時(shí), f(x)>f()=,當(dāng)n=1時(shí),由a1>>0,即>c可知a2=a1+=a1<a1,并且a2=f(a1)>,從而a1>a2>.故當(dāng)n=1時(shí),不等式an>an+1>成立.假設(shè)n=k(k1,kN*)時(shí),不等式ak>ak+1>成立,則當(dāng)n=k+1時(shí), f(ak)>f(ak+1)>f(),即有ak+1>ak+2>.所以n=k+1時(shí),原不等式也成立.綜合可得,對一切正整數(shù)n,不等式an>an+1>均成立.7.(xx陜西,21,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x),g(x)=xf (x),x0,其中f (x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,求gn(x)的表達(dá)式;(2)若f(x)ag(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)設(shè)nN+,比較g(1)+g(2)+g(n)與n-f(n)的大小,并加以證明.解析由題設(shè)得,g(x)=(x0).(1)由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x)=,g3(x)=,可得gn(x)=.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí),g1(x)=,結(jié)論成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即gk(x)=.那么,當(dāng)n=k+1時(shí),gk+1(x)=g(gk(x)=,即結(jié)論成立.由可知,結(jié)論對nN+成立.(2)已知f(x)ag(x)恒成立,即ln(1+x)恒成立.設(shè)(x)=ln(1+x)-(x0),即(x)=-=,當(dāng)a1時(shí),(x)0(僅當(dāng)x=0,a=1時(shí)等號(hào)成立),(x)在0,+)上單調(diào)遞增,又(0)=0,(x)0在0,+)上恒成立,a1時(shí),ln(1+x)恒成立(僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立).當(dāng)a>1時(shí),對x(0,a-1有(x)<0,(x)在(0,a-1上單調(diào)遞減,(a-1)<(0)=0.即a>1時(shí),存在x>0,使(x)<0,故知ln(1+x)不恒成立,綜上可知,a的取值范圍是(-,1.(3)由題設(shè)知g(1)+g(2)+g(n)=+,n-f(n)=n-ln(n+1),比較結(jié)果為g(1)+g(2)+g(n)>n-ln(n+1).證明如下:證法一:上述不等式等價(jià)于+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,nN+,則<ln.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí),<ln 2,結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即+<ln(k+1).那么,當(dāng)n=k+1時(shí),+<ln(k+1)+<ln(k+1)+ln=ln(k+2),即結(jié)論成立.由可知,結(jié)論對nN+成立.證法二:上述不等式等價(jià)于+<ln(n+1),在(2)中取a=1,可得ln(1+x)>,x>0.令x=,nN+,則ln>.故有l(wèi)n 2-ln 1>,ln 3-ln 2>,ln(n+1)-ln n>,上述各式相加可得ln(n+1)>+.結(jié)論得證.證法三:如圖,dx是由曲線y=,x=n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積,而+是圖中所示各矩形的面積和,+>dx=dx=n-ln(n+1),結(jié)論得證.8.(xx江蘇,23,10分)已知函數(shù)f0(x)=(x>0),設(shè)fn(x)為fn-1(x)的導(dǎo)數(shù),nN*.(1)求2f1+f2的值;(2)證明:對任意的nN*,等式=都成立.解析(1)由已知,得f1(x)=f 0(x)=-,于是f2(x)=f 1(x)=-=-+,所以f1=-, f2=-+.故2f1+f2=-1.(2)證明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式兩邊分別對x求導(dǎo),得f0(x)+xf 0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,類似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin對所有的nN*都成立.(i)當(dāng)n=1時(shí),由上可知等式成立.(ii)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因?yàn)閗fk-1(x)+xfk(x)=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x),=cos=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.綜合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin對所有的nN*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin(nN*).所以=(nN*).9.(xx重慶,22,12分)設(shè)a1=1,an+1=+b(nN*).(1)若b=1,求a2,a3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若b=-1,問:是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n<c<a2n+1對所有nN*成立?證明你的結(jié)論.解析(1)解法一:a2=2,a3=+1.再由題設(shè)條件知(an+1-1)2=(an-1)2+1.從而(an-1)2是首項(xiàng)為0,公差為1的等差數(shù)列,故(an-1)2=n-1,即an=+1(nN*).解法二:a2=2,a3=+1,可寫為a1=+1,a2=+1,a3=+1.因此猜想an=+1.下用數(shù)學(xué)歸納法證明上式:當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論顯然成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即ak=+1,則ak+1=+1=+1=+1.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.所以an=+1(nN*).(2)解法一:設(shè)f(x)=-1,則an+1=f(an).令c=f(c),即c=-1,解得c=.下用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題a2n<c<a2n+1<1.當(dāng)n=1時(shí),a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2<<a3<1,結(jié)論成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(-,1上為減函數(shù),從而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-,1上為減函數(shù)得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.綜上,符合條件的c存在,其中一個(gè)值為c=.解法二:設(shè)f(x)=-1,則an+1=f(an).先證:0an1(nN*).當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論明顯成立.假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即0ak1.易知f(x)在(-,1上為減函數(shù),從而0=f(1)f(ak)f(0)=-1<1.即0ak+11.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.故成立.再證:a2n<a2n+1(nN*).當(dāng)n=1時(shí),a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2<a3,即n=1時(shí)成立.假設(shè)n=k時(shí),結(jié)論成立,即a2k<a2k+1.由及f(x)在(-,1上為減函數(shù),得a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)<f(a2k+2)=a2(k+1)+1.這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)成立.所以對一切nN*成立.由得a2n<-1,即(a2n+1)2<-2a2n+2,因此a2n<.又由、及f(x)在(-,1上為減函數(shù)得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2,所以a2n+1>-1,解得a2n+1>.綜上,由、知存在c=使a2n<c<a2n+1對一切nN*成立.