高中數(shù)學(xué) 第二章 第四節(jié) 漸開線與擺線 2.4.1漸開線與擺線(第四節(jié))課件 新人教版選修4-4.ppt
漸開線與擺線,問題提出,1.直線的“點(diǎn)角式”參數(shù)方程是什么?其中參數(shù)t具有什么幾何意義?,(t為參數(shù)),t表示點(diǎn)M0(x0,y0)到點(diǎn)M(x,y)的有向距離.,2.用參數(shù)法求軌跡方程的基本思路是什么?,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),選取參數(shù),建立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系,小結(jié).,3.用參數(shù)法求軌跡方程是一種重要的解題方法,其中合理選取參數(shù)是解題的關(guān)鍵,建立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)與參數(shù)的函數(shù)關(guān)系是解題的主要工作.對(duì)于某些非圓錐曲線的參數(shù)方程,也可以利用上述思路求解.,探究(一):漸開線及其參數(shù)方程,思考1:把一條沒有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤上,在繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊,并保持繩子與圓相切而逐漸展開,你能想象出鉛筆會(huì)畫出一條什么形狀的曲線嗎?,呈螺旋狀逐漸離開圓盤,思考2:上述曲線叫做圓的漸開線,相應(yīng)的定圓叫做漸開線的基圓.設(shè)開始時(shí)繩子的外端位于點(diǎn)A,當(dāng)外端展開到點(diǎn)M時(shí),繩子與基圓的切點(diǎn)為B,那么動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何條件是什么?,切線BM的長(zhǎng)等于的長(zhǎng).,思考3:若在平面直角坐標(biāo)系中研究圓的漸開線方程,應(yīng)如何建立坐標(biāo)系?,基圓圓心O為原點(diǎn),直線OA為x軸.,思考4:求漸開線的普通方程是很困難的,若求漸開線的參數(shù)方程,則參數(shù)如何選?。?以O(shè)A為始邊,OB為終邊所成的角為參數(shù).,思考5:設(shè)基圓的半徑為r,繩子外端M的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)M由角惟一確定,在下圖中如何求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程?,(為參數(shù)),思考6:設(shè)向量e1是與同方向的單位向量,向量e2是與同方向的單位向量,則向量e1,e2的坐標(biāo)分別是什么?,e1(cos,sin),e2(sin,cos),思考7:根據(jù)數(shù)乘向量的概念,向量與e2有何等量關(guān)系?,思考8:將(r)e2轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系可得什么結(jié)論?,(為參數(shù)),探究(二):擺線及其參數(shù)方程,思考1:在自行車輪子上噴一個(gè)白色印記,當(dāng)自行車在筆直的道路上行駛時(shí),你能想象出白色印記會(huì)畫出一條什么形狀的曲線嗎?,呈周期性變化的一些弧線.,思考2:上述白色印記畫出的曲線叫做平擺線,簡(jiǎn)稱擺線,又叫旋輪線.用軌跡的觀點(diǎn)如何描述擺線?,當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí),圓周上一定點(diǎn)的軌跡叫做擺線.,思考3:設(shè)B為圓心,圓周上的定點(diǎn)為M,開始時(shí)位于點(diǎn)O處,圓在直線上滾動(dòng)到某一時(shí)刻與直線相切于點(diǎn)A,那么動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何條件是什么?,線段OA的長(zhǎng)等于的長(zhǎng).,思考4:若在平面直角坐標(biāo)系中研究擺線的方程,應(yīng)如何建立坐標(biāo)系?,取定點(diǎn)M滾動(dòng)時(shí)的初始位置O為原點(diǎn),定直線OA為x軸.,思考5:求擺線的普通方程也是很困難的,若求擺線的參數(shù)方程,則參數(shù)如何選取?,以BM為始邊,BA為終邊所成的角為參數(shù).,思考6:設(shè)圓半徑為r,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)M由角惟一確定,在下圖中如何求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程?,(為參數(shù)),思考7:在擺線的參數(shù)方程中,參數(shù)的取值范圍是什么?擺線一個(gè)拱的高度與寬度分別為多少?,0,),拱高是2r,拱寬是2r.,理論遷移,例1在半徑為1的圓的漸開線中,若點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為和,求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo).,例2已知一個(gè)圓的擺線經(jīng)過一定點(diǎn)A(2,0),當(dāng)圓半徑最大時(shí),求該擺線的參數(shù)方程和對(duì)應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程.,小結(jié)作業(yè),1.漸開線與擺線在機(jī)械工業(yè),產(chǎn)品工藝中常作為輪廓線,具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.,2.漸開線和擺線的參數(shù)方程都以旋轉(zhuǎn)角為參數(shù),曲線上的點(diǎn)M與參數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.,3.漸開線和擺線的參數(shù)方程都由圓半徑所惟一確定,并且它們都不能化為普通方程.,