2019年高考數(shù)學真題分類匯編 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算 文考點一導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義1.(xx陜西,10,5分)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為()A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3xC.y=x3-x D.y=x3+x2-2x答案A2.(xx廣東,11,5分)曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為.答案5x+y+2=03.(xx江西,11,5分)若曲線y=xln x上點P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點P的坐標是.答案(e,e)4.(xx安徽,15,5分)若直線l與曲線C滿足下列兩個條件:(i)直線l在點P(x0,y0)處與曲線C相切;(ii)曲線C在點P附近位于直線l的兩側(cè),則稱直線l在點P處“切過”曲線C.下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號).直線l:y=0在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=x3直線l:x=-1在點P(-1,0)處“切過”曲線C:y=(x+1)2直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=sin x直線l:y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C:y=tan x直線l:y=x-1在點P(1,0)處“切過”曲線C:y=ln x答案5.(xx山東,20,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+,其中a為常數(shù).(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線方程;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解析(1)由題意知a=0時,f(x)=,x(0,+),此時f (x)=.可得f (1)=,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在(1, f(1)處的切線方程為x-2y-1=0.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+).f (x)=+=.當a0時,f (x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,當a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).當a=-時,=0,f (x)=0,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.當a<-時,<0,g(x)<0,f (x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減.當-<a<0時,>0,設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點,則x1=,x2=.由于x1=>0,所以x(0,x1)時,g(x)<0,f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,x(x1,x2)時,g(x)>0,f (x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,x(x2,+)時,g(x)<0,f (x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.綜上可得:當a0時,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當a-時,函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減;當-<a<0時,f(x)在,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.6.(xx北京,20,13分)已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在區(qū)間-2,1上的最大值;(2)若過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍;(3)問過點A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分別存在幾條直線與曲線y=f(x)相切?(只需寫出結(jié)論)解析(1)由f(x)=2x3-3x得f (x)=6x2-3.令f (x)=0,得x=-或x=.因為f(-2)=-10, f=, f=-, f(1)=-1,所以f(x)在區(qū)間-2,1上的最大值為f=.(2)設(shè)過點P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(x0,y0),則y0=2-3x0,且切線斜率為k=6-3,所以切線方程為y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3,則“過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價于“g(x)有3個不同零點”.g(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(x)與g(x)的變化情況如下表:x(-,0)0(0,1)1(1,+)g(x)+0-0+g(x)t+3t+1所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值.當g(0)=t+30,即t-3時,此時g(x)在區(qū)間(-,1和(1,+)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點.當g(1)=t+10,即t-1時,此時g(x)在區(qū)間(-,0)和0,+)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點.當g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1時,因為g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分別在區(qū)間-1,0),0,1)和1,2)上恰有1個零點.由于g(x)在區(qū)間(-,0)和(1,+)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-,0)和1,+)上恰有1個零點.綜上可知,當過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時,t的取值范圍是(-3,-1).(3)過點A(-1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切;過點B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切;過點C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切.