2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第44講 古典概型練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查古典概型概率公式的應(yīng)用，尤其是古典概型與互斥、對(duì)立事件的綜合問題更是高考的熱點(diǎn).2.在解答題中古典概型常與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合進(jìn)行綜合考查，考查學(xué)生分析和解決問題的能力，難度以中檔題為主一、基本事件的特點(diǎn)1任何兩個(gè)基本事件是互斥的2任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和古典概型中基本事件數(shù)的計(jì)算方法(1)列舉法：此法適合于較簡(jiǎn)單的試驗(yàn)(2)樹狀圖法：樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法，適合較復(fù)雜問題中基本事件數(shù)的探求(3)列表法：對(duì)于表達(dá)形式有明顯二維特征的事件采用此法較為方便(4)排列、組合數(shù)公式法二、古典概型1定義具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型 2古典概型的概率公式P(A).1甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是()A.B.C.D.【解析】甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，有6個(gè)基本事件，其中甲站在中間的基本事件有2個(gè)，故所求概率為P.【答案】C2有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為()A. B. C. D.【解析】甲、乙兩位同學(xué)參加3個(gè)小組的所有可能性有339種，其中，甲、乙參加同一小組的情況有3種故甲、乙參加同一個(gè)興趣小組的概率P.【答案】A3三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為_【解析】三張卡片隨機(jī)排成一行的基本事件有BEE，EBE，EEB，共3個(gè)，故所求概率為P.【答案】4從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是_【解析】從1,2,3,4中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，不同的結(jié)果為1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共有6個(gè)基本事件滿足一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)兩倍的取法有1,2，2,4共兩種，所求事件的概率P.【答案】5(xx江西高考)集合A2,3，B1,2,3，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A. B. C. D.【解析】從A，B中各任取一個(gè)數(shù)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6個(gè)基本事件，滿足兩數(shù)之和等于4的有(2,2)，(3,1)2個(gè)基本事件，所以P.【答案】C6(xx課標(biāo)全國(guó)卷)從n個(gè)正整數(shù)1,2，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n_.【解析】由題意知n4，取出的兩數(shù)之和等于5的有兩種情況：1,4和2,3，所以P，即n2n560，解得n7(舍去)或n8.【答案】8考向一 184古典概型的概率(1)某藝校在一天的5節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他兩門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為()A.B.C.D.(2)甲口袋中裝有大小相同的標(biāo)號(hào)分別為1,2,3,4的4個(gè)小球，乙口袋中裝有大小相同的標(biāo)號(hào)分別為2,3,4,5的4個(gè)小球現(xiàn)從甲、乙口袋中各取一個(gè)小球求兩球標(biāo)號(hào)之積為偶數(shù)的概率；設(shè)為取出的兩球的標(biāo)號(hào)之差的絕對(duì)值，求對(duì)任意xR，不等式x23x0恒成立的概率【思路點(diǎn)撥】(1)把5門課全排列得到5門課一天的所有排法種數(shù)，分類求出相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法種數(shù)，然后利用古典概型概率計(jì)算公式求概率(2)依題意，所求事件的概率滿足古典概型，分別求基本事件總數(shù)與所求事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)，進(jìn)而利用古典概型概率公式計(jì)算【嘗試解答】(1)一天中5節(jié)課的安排情況共有A120種相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的排法分3類(1)語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課之間沒有藝術(shù)課，可把3節(jié)文化課捆綁在一起與2門藝術(shù)課全排列，排法種數(shù)為AA36種；(2)語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課全排列，之間產(chǎn)生3個(gè)空，有兩門之間插1節(jié)藝術(shù)課，另兩門文化課相鄰，排法種數(shù)為ACAA48種；(3)語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課每?jī)砷T之間插1節(jié)藝術(shù)課，排法種數(shù)為AA12種故在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為.【答案】A(2)設(shè)兩球標(biāo)號(hào)之積為偶數(shù)為事件A，則其對(duì)立事件為兩球標(biāo)號(hào)之積為奇數(shù)，P(A)1P()1.對(duì)任意xR，不等式x23x0恒成立，則x23x0的判別式，9,90.又N，2,3,4.當(dāng)2時(shí)，甲取1乙取3，甲取2乙取4，甲取3乙取5，甲取4乙取2；當(dāng)3時(shí)，甲取1乙取4，甲取2乙取5；當(dāng)4時(shí)，甲取1乙取5，概率為P.規(guī)律方法11.有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).2.(1)用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)如圖1051，圖1051給定由6個(gè)點(diǎn)(任意相鄰兩點(diǎn)距離為1)組成的正三角形點(diǎn)陣，在其中任意取2個(gè)點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離為2的概率是()A.B.C. D.(2)甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，求選出的2名教師性別相同的概率；若從報(bào)名的6名教師中任選2名，求選出的2名老師來自同一學(xué)校的概率【解析】(1)從6個(gè)點(diǎn)中選出2個(gè)的選法共有C15種若使得取出的兩點(diǎn)中距離為2，則只能是三角形的頂點(diǎn)中任意取出2個(gè)，只有3種情況P故選B.【答案】B(2)從甲、乙兩校報(bào)名的教師中各選1名，共有nCC9種選法記“2名教師性別相同”為事件A，則事件A包含基本事件總數(shù)mC1C14，P(A).從報(bào)名的6人中任選2名，有nC15種選法記“選出的2名老師來自同一學(xué)?！睘槭录﨎，則事件B包含基本事件總數(shù)m2C6.選出2名教師來自同一學(xué)校的概率P(B).考向二 185古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用某高校在xx年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如圖所示組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組160,165)50.050第2組165,170)350.350第3組170,175)300.300第4組175,180)200.200第5組180,185100.100合計(jì)1001.00(1)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？(2)在(1)的前提下，學(xué)校決定在這6名學(xué)生中，隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率？【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)分層抽樣方法求解(2)利用古典概型公式計(jì)算【嘗試解答】(1)第3、4、5組共有60名學(xué)生，利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：第3組：63人，第4組：62人，第5組：61人，第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人(2)由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有C15種滿足條件的事件是第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試有CC19種結(jié)果，至少有一位同學(xué)被A面試的概率為規(guī)律方法2有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合題，無論是直接描述還是利用概率分布表、分布直方圖、莖葉圖等給出信息，只需要能夠從題中提煉出需要的信息，則此類問題即可解決.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某校高三學(xué)生體檢后，為了解高三學(xué)生的視力情況，該校從高三六個(gè)班的300名學(xué)生中以班為單位(每班學(xué)生50人)，每班按隨機(jī)抽樣抽取了8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)，其中高三(1)班抽取的8名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)與人數(shù)見下表：視力數(shù)據(jù)4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人數(shù)22211(1)用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值；(2)已知其余五個(gè)班學(xué)生視力的平均值分別為4.3、4.4,4.5、4.6、4.8.若從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值作比較，求抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不大于0.2的概率【解】(1)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為4.7，故用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)高三(1)班學(xué)生視力的平均值為4.7，(2)從這六個(gè)班中任意抽取兩個(gè)學(xué)生視力的平均值作比較，所有的取法共有C15種，而滿足抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值的絕對(duì)值不大于0.2的取法有(4.3,4.5)、(4.3,4.6)、(4.3,4.7)、(4.3,4.8)、(4.4,4.6)、(4.4,4.7)、(4.4,4.8)、(4.5,4.7)、(4.5,4.8)、(4.6,4.8)，共有9個(gè)，故抽取的兩個(gè)班學(xué)生視力的平均值之差的絕對(duì)值不大于0.2的概率為.規(guī)范解答之二十一古典概型問題求解策略第一步：理清題意，列出所有基本事件，計(jì)算基本事件總數(shù)；第二步：分析所求事件，找出所求事件的個(gè)數(shù)；第三步：根據(jù)古典概型概率公式求解得出結(jié)論1個(gè)示范例1個(gè)規(guī)范練(12分)袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1,2.(1)從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率【規(guī)范解答】(1)標(biāo)號(hào)為1,2,3的三張紅色卡片分別記為A，B，C，標(biāo)號(hào)為1,2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D，E，從五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)(C，E)，(D，E)共10種.3分由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的從五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的結(jié)果為(A，D)，(A，E)，(B，D)共3種.5分所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為.6分(2)記F是標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共15種.9分由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的從六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的結(jié)果為(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F(xiàn))，(B，F(xiàn))，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共8種.11分所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為.12分【名師寄語】(1)在列舉基本事件空間時(shí)，易漏掉或重復(fù)計(jì)數(shù)，故要特別關(guān)注細(xì)節(jié)，使解題結(jié)果準(zhǔn)確過程完善.(2)在解決該類問題時(shí)，必要時(shí)要先將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，或者先去求對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再用互斥事件的概率加法公式或?qū)α⑹录母怕使角蟪鏊笫录母怕?(xx泰安二模)學(xué)校游園活動(dòng)有一個(gè)游戲項(xiàng)目：箱子里裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從箱子里摸出3個(gè)球，若摸出的是3個(gè)紅球?yàn)閮?yōu)秀；若摸出的2個(gè)紅球1個(gè)白球?yàn)榱己?；否則為合格(1)求在1次游戲中獲得優(yōu)秀的概率；(2)求在1次游戲中獲得良好及以上的概率【解】將3個(gè)紅球編號(hào)1,2,3；2個(gè)白球編號(hào)為4,5.則從5個(gè)球中摸出3個(gè)球的所有可能情況為：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)共10種令D表示在1次游戲中獲得優(yōu)秀的事件，則獲得優(yōu)秀的情況為(123)共一種，E表示在1次游戲中獲得良好的事件，則獲得良好的情況為(124)，(125)，(134)，(135)，(234)，(235)共6種F表示在1次游戲中獲得良好及以上的事件(1)P(D)；(2)P(E)，P(F)P(D)P(E).