9.3圓的方程,第九章平面解析幾何,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),題型分類深度剖析,課時作業(yè),1,基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí),PARTONE,知識梳理,圓的定義與方程,ZHISHISHULI,定點,定長,(a，b),r,D2E24F>0,【概念方法微思考】,1.二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的條件是什么？,2.已知C：x2y2DxEyF0，則“EF0且Dr2；(3)點在圓內(nèi)：(x0a)2(y0b)2<r2.,基礎(chǔ)自測,JICHUZICE,題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()(2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.()(3)方程x22axy20一定表示圓.()(5)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓.(),1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,題組二教材改編2.P124A組T2圓心為(1，1)且過原點的圓的方程是A.(x1)2(y1)21B.(x1)2(y1)21C.(x1)2(y1)22D.(x1)2(y1)22,解析因為圓心為(1，1)且過原點，,則該圓的方程為(x1)2(y1)22.,7,1,2,3,4,5,6,3.P132A組T3以點(3，1)為圓心，并且與直線3x4y0相切的圓的方程是A.(x3)2(y1)21B.(x3)2(y1)21C.(x3)2(y1)21D.(x3)2(y1)21,7,1,2,3,4,5,6,4.P124A組T4圓C的圓心在x軸上，并且過點A(1，1)和B(1，3)，則圓C的方程為_.,解析設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，0)，點A(1，1)和B(1，3)在圓C上，|CA|CB|，,(x2)2y210,解得a2，圓心為C(2，0)，,圓C的方程為(x2)2y210.,7,1,2,3,4,5,6,題組三易錯自糾5.若方程x2y2mx2y30表示圓，則m的取值范圍是,7,6.(2018浙江諸暨中學(xué)期中)點P(5a1，12a)在圓(x1)2y21的內(nèi)部，則a的取值范圍是,解析由圓(x1)2y21，得圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑r1，由點P在圓(x1)2y21內(nèi)部得(5a11)2(12a)20)，又圓與直線4x3y0相切，,1,2,3,4,5,6,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)21.故選A.,7,2,題型分類深度剖析,PARTTWO,題型一圓的方程,師生共研,例1(1)已知圓E經(jīng)過三點A(0，1)，B(2，0)，C(0，1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為,解析方法一(待定系數(shù)法)根據(jù)題意，設(shè)圓E的圓心坐標(biāo)為(a，0)(a>0)，半徑為r，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2y2r2(a>0).,方法二(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，,方法三(幾何法)因為圓E經(jīng)過點A(0，1)，B(2，0)，,又圓E的圓心在x軸的正半軸上，,(x1)2(y1)22,解析方法一所求圓的圓心在直線xy0上，設(shè)所求圓的圓心為(a，a).又所求圓與直線xy0相切，,解得a1，圓C的方程為(x1)2(y1)22.,方法二設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2(r>0)，,由于所求圓與直線xy0相切，(ab)22r2.又圓心在直線xy0上，ab0.,故圓C的方程為(x1)2(y1)22.,方法三設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0，,圓心在直線xy0上，,又圓C與直線xy0相切，,即(DE)22(D2E24F)，D2E22DE8F0.,(DE6)2122(D2E24F)，,故所求圓的方程為x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22.,(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.,跟蹤訓(xùn)練1一個圓與y軸相切，圓心在直線x3y0上，且在直線yx上截得的弦長為則該圓的方程為_.,x2y26x2y10或x2y26x2y10,解析方法一所求圓的圓心在直線x3y0上，設(shè)所求圓的圓心為(3a，a)，又所求圓與y軸相切，半徑r3|a|，,故所求圓的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.,方法二設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2，,由于所求圓與y軸相切，r2a2，又所求圓的圓心在直線x3y0上，a3b0，,故所求圓的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.,方法三設(shè)所求圓的方程為x2y2DxEyF0，,在圓的方程中，令x0，得y2EyF0.由于所求圓與y軸相切，0，則E24F.,即(DE)2562(D2E24F).,D3E0.,故所求圓的方程為x2y26x2y10或x2y26x2y10.,題型二與圓有關(guān)的軌跡問題,例2已知RtABC的斜邊為AB，且A(1，0)，B(3，0).求：(1)直角頂點C的軌跡方程；,師生共研,解方法一設(shè)C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y0.因為ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1，,化簡得x2y22x30.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30(y0).方法二設(shè)AB的中點為D，由中點坐標(biāo)公式得D(1，0)，,由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點).所以直角頂點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0).,(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.,解設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3，0)，M是線段BC的中點，,所以x02x3，y02y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)，將x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此動點M的軌跡方程為(x2)2y21(y0).,求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.相關(guān)點代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式.,跟蹤訓(xùn)練2設(shè)定點M(3，4)，動點N在圓x2y24上運動，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡.,解如圖，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，,因為平行四邊形的對角線互相平分，,又點N(x0，y0)在圓x2y24上，所以(x3)2(y4)24.所以點P的軌跡是以(3，4)為圓心，2為半徑的圓，,題型三與圓有關(guān)的最值問題,例3已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值.,解設(shè)txy，則yxt，t可視為直線yxt在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，,師生共研,即直線與圓相切時的斜率.設(shè)過原點的直線的方程為ykx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，,求它的最值可視為求點(x，y)到定點(1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，3)到定點(1，2)的距離與半徑的和或差.,與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.(2)與圓上點(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.,形如u型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點(a，b)的距離的平方的最值問題.,跟蹤訓(xùn)練3已知M(x，y)為圓C：x2y24x14y450上任意一點，且點Q(2，3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；,解由圓C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，,設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由直線MQ與圓C有交點，,(3)求yx的最大值和最小值.,解設(shè)yxb，則xyb0.當(dāng)直線yxb與圓C相切時，截距b取到最值，,yx的最大值為9，最小值為1.,3,課時作業(yè),PARTTHREE,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.0B.1C.2D.3,解析方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓的條件為a24a24(2a2a1)>0，即3a24a40，5，b1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,