9.6雙曲線,第九章平面解析幾何,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),題型分類深度剖析,課時(shí)作業(yè),1,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),PARTONE,知識(shí)梳理,1.雙曲線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做，兩焦點(diǎn)間的距離叫做_.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)不存在.,ZHISHISHULI,距離的差的絕對(duì)值,雙曲線的焦點(diǎn),雙曲線,的焦距,2a|F1F2|,2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐標(biāo)軸,原點(diǎn),2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),xa或xa，yR,xR，ya或ya,坐標(biāo)軸,原點(diǎn),(1，),2a,2b,a2b2,【概念方法微思考】,1.平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a的動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定為雙曲線嗎？為什么？,提示不一定.當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在；當(dāng)2a0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.,2.方程Ax2By21表示雙曲線的充要條件是什么？,提示若A>0，B0，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.所以Ax2By21表示雙曲線的充要條件是AB0，b>0，二者沒有大小要求，若a>b>0，ab>0，0<a0，解得m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1<n<3，故選A.,1,2,3,4,5,6,即3b4a，9b216a2，9c29a216a2，,7,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,2,題型分類深度剖析,PARTTWO,題型一雙曲線的定義,師生共研,例1(1)已知定點(diǎn)F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2y21上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓,解析如圖，連接ON，由題意可得|ON|1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，|MF2|2.點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|PF1|，|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2<|F1F2|，由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線.,(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|2|PF2|，則cosF1PF2_.,1.本例(2)中，若將條件“|PF1|2|PF2|”改為“F1PF260”，則F1PF2的面積是多少？,解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，,|PF1|PF2|8，,解不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，,在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，,(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|PF1|PF2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系.,跟蹤訓(xùn)練1(2016浙江)設(shè)雙曲線x21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則|PF1|PF2|的取值范圍是_.,由對(duì)稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)|PF2|m，則|PF1|m2am2，由于PF1F2為銳角三角形，,又|PF1|PF2|2m2，,題型二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,師生共研,例2(1)(2018浙江省金華東陽(yáng)中學(xué)期中)ABC的頂點(diǎn)為A(5，0)，B(5，0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是,解析由條件可得，圓與x軸的切點(diǎn)為T(3，0)，由相切的性質(zhì)得|CA|CB|TA|TB|8260).,求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1.定義法根據(jù)雙曲線的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出雙曲線方程，常用的關(guān)系有：(1)c2a2b2；(2)雙曲線上任意一點(diǎn)到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于2a.,2.待定系數(shù)法(1)一般步驟判斷：根據(jù)已知條件，確定雙曲線的焦點(diǎn)是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；設(shè)：根據(jù)中的判斷結(jié)果，設(shè)出所需的未知數(shù)或者標(biāo)準(zhǔn)方程；列：根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的方程或者方程組；解：求解得到方程.,(2)常見設(shè)法,跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.,解析由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(5，0)，F(xiàn)2(5，0)，設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P，則|PF1|PF2|8.由雙曲線的定義知，a4，b3.,可得a2b29.由可得a24，b25.,題型三雙曲線的幾何性質(zhì),命題點(diǎn)1與漸近線有關(guān)的問(wèn)題,多維探究,解析如圖所示，連接OA，OB，,則C(a，0)，F(xiàn)(c，0).由雙曲線和圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，,因?yàn)閨OA|OC|a，所以ACO為等邊三角形，所以AOC60.因?yàn)镕A與圓O切于點(diǎn)A，所以O(shè)AFA，在RtAOF中，AFO90AOF906030，所以|OF|2|OA|，即c2a，,命題點(diǎn)2求離心率的值(或范圍),解析設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由題意可得，PF2x軸，OQPF2，所以Q為PF1的中點(diǎn)，易知F2(c，0)，,由已知得A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，且AFOB.,又由BOFOAF，得|FO|2|FB|FA|.,則c4(c2a2)(2c2a2)，整理得c43a2c2a40，即e43e210，,1.求雙曲線的漸近線的方法,2.求雙曲線的離心率(1)求雙曲線的離心率或其范圍的方法,解析由|F1F2|2|OP|，可得|OP|c，故PF1F2為直角三角形，且PF1PF2，則|PF1|2|PF2|2|F1F2|2.由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a，則|PF1|2a|PF2|，所以(|PF2|2a)2|PF2|24c2，整理得(|PF2|a)22c2a2.又|PF1|3|PF2|，即2a|PF2|3|PF2|，可得|PF2|a，所以|PF2|a2a，,解析因?yàn)锳BF2為等邊三角形，所以不妨設(shè)|AB|BF2|AF2|m，因?yàn)锳為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，因?yàn)锽為雙曲線左支上一點(diǎn)，所以|BF2|BF1|2a，|BF2|4a，由ABF260，得F1BF2120，在F1BF2中，由余弦定理得4c24a216a222a4acos120，得c27a2，則e27，,高頻小考點(diǎn),GAOPINXIAOKAODIAN,離心率問(wèn)題,離心率是橢圓、雙曲線的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類問(wèn)題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無(wú)論是哪類問(wèn)題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓與雙曲線的離心率問(wèn)題難點(diǎn)的根本方法.,解析設(shè)左焦點(diǎn)為F0，連接F0A，F(xiàn)0B，則四邊形AFBF0為平行四邊形.|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.,解析由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖，由題意設(shè)PF1F2的內(nèi)切圓切三邊于G，D，E三點(diǎn)，則|PG|PE|，|GF1|DF1|，|EF2|DF2|.又|PF1|PF2|2a，則|GF1|EF2|DF1|DF2|2a，設(shè)D(x0，0)，則x0c(cx0)2a，即x0a，所以切點(diǎn)D為雙曲線的右頂點(diǎn)，,整理得4c24ac5a20，則4e24e50，,3,課時(shí)作業(yè),PARTTHREE,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a23，b21，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，,即該雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(2，0).故選B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,a22b216，由可得a24，b26，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1引圓x2y29的切線F1P交雙曲線的右支于點(diǎn)P，T為切點(diǎn)，M為線段F1P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|MO|MT|等于A.4B.3C.2D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.3B.2C.3D.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,|PF1|2|PF2|，由雙曲線的定義知|PF1|PF2|2，|PF1|4，|PF2|2，又|F1F2|4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由題可知APF的周長(zhǎng)l為|PA|PF|AF|，而|PF|2a|PF0|，,當(dāng)且僅當(dāng)A，F(xiàn)0，P三點(diǎn)共線時(shí)取得“”，故選B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.已知離心率為(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OMMF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若16，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是A.32B.16C.84D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為16.故選B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，,又知b2c2a2，所以c2>4(c2a2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為4，離心率為則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_，漸近線方程為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,10.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21(b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若|AF2|2且F1AF245，延長(zhǎng)AF2交雙曲線的右支于點(diǎn)B，則F1AB的面積等于_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由題意知a1，由雙曲線定義知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF1|2|AF2|4，|BF1|2|BF2|.由題意知|AB|AF2|BF2|2|BF2|，|BA|BF1|，BAF1為等腰三角形，F(xiàn)1AF245，ABF190，BAF1為等腰直角三角形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(0，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解設(shè)左焦點(diǎn)為F1，由于雙曲線和圓都關(guān)于x軸對(duì)稱，又APQ的一個(gè)內(nèi)角為60，PAF30，PFA120，|AF|PF|ca，|PF1|3ac，在PFF1中，由余弦定理得|PF1|2|PF|2|F1F|22|PF|F1F|cosF1FP，即3c2ac4a20，即3e2e40，,技能提升練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析設(shè)內(nèi)切圓的圓心M(x，y)，圓M分別切AF1，BF1，AB于S，T，Q，如圖，連接MS，MT，MF1，MQ，則|F1T|F1S|，故四邊形SF1TM是正方形，邊長(zhǎng)為圓M的半徑.由|AS|AQ|，|BT|BQ|，得|AF1|AQ|SF1|TF1|BF1|BQ|，又|AF1|AF2|BF1|BF2|，Q與F2重合，|SF1|AF1|AF2|2a，|MF2|2a，即(xc)2y24a2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x21(b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線與圓x2y21相切于點(diǎn)T，與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B，若|F2B|AB|，求b的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一因?yàn)閨F2B|AB|，所以結(jié)合雙曲線的定義，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，連接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，,化簡(jiǎn)得b64b55b44b340，得(b22b2)(b42b33b22b2)0，而b42b33b22b2b2(b1)2b21(b1)2>0，故b22b20，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二因?yàn)閨F2B|AB|，所以結(jié)合雙曲線的定義，得|AF1|BF1|AB|BF1|BF2|2，連接AF2，則|AF2|2|AF1|4.連接OT，在RtOTF1中，|OT|1，|OF1|c，|TF1|b，,所以c232b，又在雙曲線中，c21b2，,拓展沖刺練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一當(dāng)A在第一象限時(shí)，如圖1，設(shè)AF1F2的內(nèi)切圓O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點(diǎn)Q，P，N，則|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|，又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a，|F1Q|F2N|2a，|F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a，|F2P|ca，P為雙曲線的右頂點(diǎn)，同理，BF1F2的內(nèi)切圓O2也切F1F2于雙曲線的右頂點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點(diǎn)共線，且O1O2F1F2.連接O1F2，O2F2，又O1F2平分F1F2A，O2F2平分F1F2B，O1F2O290，RtO1F2PRtF2O2PRtO1O2F2，|O1F2|2|O1P|O1O2|，|O2F2|2|O2P|O1O2|，,O2O1F230，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,則O1F2P60，AF2P120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二當(dāng)A在第一象限時(shí)，如圖2，設(shè)AF1F2的內(nèi)切圓O1分別切AF1，F(xiàn)1F2，F(xiàn)2A于點(diǎn)Q，P，N，則|AQ|AN|，|F1Q|F1P|，|F2P|F2N|，又|AF1|AF2|2a，即(|AQ|F1Q|)(|AN|F2N|)2a，|F1Q|F2N|2a，|F1F2|F2P|F2N|2a，即2c2|F2P|2a，|F2P|ca，P為雙曲線的右頂點(diǎn)，同理，BF1F2的內(nèi)切圓O2也切F1F2于雙曲線的右頂點(diǎn)，連接O1P，O2P，則O1，P，O2三點(diǎn)共線，且O1O2F1F2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設(shè)O2切BF2于點(diǎn)H，連接O1N，O2H，則在直角梯形O2HNO1中，|O2H|r2，|O1N|r13r2，|O1O2|r1r24r2，作O2TO1N于點(diǎn)T，則|O1T|r1r22r2，故在RtO1O2T中，O2O1T60，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,在PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1c2(2c)22c2ccos603c2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因?yàn)橹本€PF2的傾斜角為120，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,整理得c48c2a24a40，即e48e240，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,