8.7立體幾何的綜合問題,第八章立體幾何與空間向量,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),題型分類深度剖析,課時(shí)作業(yè),1,基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí),PARTONE,知識(shí)梳理,1.直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一向量作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為,ZHISHISHULI,非零,2.空間中平行、垂直關(guān)系的證明方法,(2)利用直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系.3.求兩條異面直線所成的角(1)用“平移法”作出異面直線所成角(或其補(bǔ)角).(2)用“向量法”求兩直線的方向向量所成的銳角.,4.求直線與平面所成的角(1)按定義作出線面角(即找到斜線在平面內(nèi)的射影)解三角形.(2)直線與平面所成角的求法設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，a與n的夾角為，則sin|cos|_.,5.求二面角的大小(1)如圖，AB，CD分別是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小_.,(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個(gè)半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos|_，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角).,|cosn1，n2|,(6)若二面角a的兩個(gè)半平面，的法向量n1，n2所成角為，則二面角a的大小是.(),基礎(chǔ)自測,JICHUZICE,題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面的單位法向量是唯一確定的.()(2)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.()(3)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.()(4)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.(),1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,題組二教材改編2.P104T2設(shè)u，v分別是平面，的法向量，u(2，2，5)，當(dāng)v(3，2，2)時(shí)，與的位置關(guān)系為_；當(dāng)v(4，4，10)時(shí)，與的位置關(guān)系為_.,解析當(dāng)v(3，2，2)時(shí)，uv(2，2，5)(3，2，2)0得.當(dāng)v(4，4，10)時(shí)，v2u得.,1,2,3,4,5,6,3.P111T3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是_.,垂直,1,2,3,4,5,6,ON與AM垂直.,1,2,3,4,5,6,4.P104T2已知兩平面的法向量分別為m(0，1，0)，n(0，1，1)，則兩平面所成的二面角為_.,兩平面所成二面角為45或18045135.,45或135,1,2,3,4,5,6,題組三易錯(cuò)自糾5.直線l的方向向量a(1，3，5)，平面的法向量n(1，3，5)，則有A.lB.lC.l與斜交D.l或l,解析由an知，na，則有l(wèi)，故選B.,090，30.,30,1,2,3,4,5,6,2,題型分類深度剖析,PARTTWO,題型一證明平行或垂直問題,師生共研,A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C內(nèi),解析以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以C1B1，C1D1，C1C所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,又C1D1平面BB1C1C，,又MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.,2.(2010浙江)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是A.若lm，m，則lB.若l，lm，則mC.若l，m，則lmD.若l，m，則lm,解析對(duì)于A，由lm及m，可知l與的位置關(guān)系有平行、相交或在平面內(nèi)三種，故A不正確.B正確.對(duì)于C，由l，m知，l與m的位置關(guān)系為平行或異面，故C不正確.對(duì)于D，由l，m知，l與m的位置關(guān)系為平行、異面或相交，故D不正確.,3.如圖，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，BAC90.點(diǎn)D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點(diǎn)，M是線段AD的中點(diǎn)，PAAC4，AB2.求證：MN平面BDE.,由題意，可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0).,設(shè)n(x，y，z)為平面BDE的一個(gè)法向量，,因?yàn)镸N平面BDE，所以MN平面BDE.,4.如圖所示，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，側(cè)面PBC底面ABCD.證明：,(1)PABD；,證明取BC的中點(diǎn)O，連接PO，平面PBC底面ABCD，PBC為等邊三角形，平面PBC底面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.,(2)平面PAD平面PAB.,又PAPBP，PA，PB平面PAB，DM平面PAB.DM平面PAD，平面PAD平面PAB.,(1)證明平行或垂直問題要以兩條直線的平行或垂直為基礎(chǔ)，靈活轉(zhuǎn)化線線、線面、面面的關(guān)系.(2)利用向量法證明平行、垂直問題時(shí)，要充分應(yīng)用直線的方向向量和平面的法向量，將空間線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的關(guān)系.,題型二空間角的計(jì)算,命題點(diǎn)1求直線和平面所成的角,(1)求AC的長；,多維探究,AD2AB2BD2，即ABBD.又平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，AB平面ABD，AB平面CBD，ABBC，,(2)點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，求直線BE與平面ACD所成角的正弦值.,解方法一由(1)可知AB平面CBD，如圖，過點(diǎn)B作BGDC的延長線于點(diǎn)G，連接AG，則有CD平面ABG，平面AGD平面ABG，過點(diǎn)B作BHAG于點(diǎn)H，平面AGD平面ABGAG，BH平面AGD，連接HE，則BEH為直線BE與平面ACD所成的角.,方法二在平面BCD上作BFBC，分別以B為原點(diǎn)，BC，BF，BA所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)平面ACD的法向量為n(x，y，z)，,設(shè)直線BE與平面ACD所成的角為，,命題點(diǎn)2求二面角例2(2018浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四)如圖，已知ABC為等邊三角形，M為AB的中點(diǎn)，AA1，BB1分別垂直平面ABC于點(diǎn)A，B，AA1AB，BB1MNA1B1，垂足為N.,(1)求證：CNA1B1；,證明因?yàn)锳A1，BB1分別垂直平面ABC于點(diǎn)A，B，所以平面AA1B1B平面ABC，又M為AB的中點(diǎn)，所以CMAB，于是CM平面A1ABB1，所以CMA1B1.又因?yàn)镸NA1B1，CMMNM，所以A1B1平面CMN，又CN平面CMN，所以A1B1CN.,(2)求平面ABC與平面A1B1C所成的銳二面角的正切值.,解方法一如圖，延長AB，A1B1相交于點(diǎn)D，連接CD，則CD為所求二面角的棱.,于是BDBCBA，于是ACD90，即CDCA.又因?yàn)镃DAA1，CAAA1A，所以CD平面AA1C，所以CDCA1.于是A1CA即為所求二面角的平面角.在RtA1AC中，AA1ABAC，所以A1CA45，所以tanA1CA1.綜上，平面ABC與平面A1B1C所成的銳二面角的正切值為1.,方法二如圖，以M為原點(diǎn)，MA為x軸，MC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB2.,設(shè)平面A1B1C的法向量為n1(x，y，z).,設(shè)所求二面角的大小為，又平面ABC的一個(gè)法向量為n2(0，0，1).,(1)利用定義法計(jì)算空間角的三步曲：一作二證三計(jì)算.(2)利用向量法求角時(shí)，可利用基底法或建立空間直角坐標(biāo)系，要注意兩個(gè)向量的夾角和所求角的關(guān)系.,(1)證明：AEMB；,證明方法一在梯形ABCD中，連接BD交AE于點(diǎn)N，,BC2BD2CD2，故BCBD.又BCAE，AEBD，從而AEBN，AEMN，且BNMNN，AE平面MNB，又MB平面MNB，AEMB.,得ME2CE2MC2，故CEME.又CEBE，且MEBEE，CE平面BEM.MB平面BEM，CEMB，又ABCE，ABMB.,又ABBEB，MB平面ABE，又AE平面ABE，AEMB.,(2)求直線CM與平面AME所成角的正弦值.,解方法一設(shè)直線MC與平面AME所成角為，,AEBC，點(diǎn)C到平面AME的距離即為點(diǎn)B到平面AME的距離.,方法二MB平面ABCE，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，,設(shè)平面AME的法向量為m(x，y，z)，,設(shè)直線CM與平面AME所成角為，,思維點(diǎn)撥本題主要考查線線平行的證明，線面角的正弦值的求法以及空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.,例(15分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，側(cè)面PCD為正三角形且二面角PCDA的大小為60.(1)設(shè)側(cè)面PAD與側(cè)面PBC的交線為m，求證：mBC；(2)設(shè)直線AB與側(cè)面PBC所成的角為，求sin的值.,答題模板,DATIMUBAN,利用空間向量求空間角,規(guī)范解答(1)證明因?yàn)锽CAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC側(cè)面PAD.又側(cè)面PAD側(cè)面PBCm，所以mBC.5分(2)解方法一取CD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接PM，MN，則PMCD，MNCD.所以PMN是側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角，從而PMN60.作POMN于點(diǎn)O，則PO底面ABCD.,以O(shè)為原點(diǎn)，ON所在直線為x軸，OP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)n(x，y，z)是平面PBC的法向量，,取n(0，3，2).,方法二如圖，取CD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連接PM，MN，則PMCD，MNCD，所以PMN是側(cè)面PCD與底面ABCD所成二面角的平面角，從而PMN60.作POMN于點(diǎn)O，則PO底面ABCD.,作OEAB交BC于點(diǎn)E，連接PE.因?yàn)锽CPO，BCOE，OPOEO，所以BC平面POE.從而平面POE平面PBC.,所以PEO就是直線OE即直線AB與平面PBC所成的角.所以PEO.,答題模板利用向量求空間角的步驟第一步：建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)；第二步：求向量(直線的方向向量、平面的法向量)坐標(biāo)；第三步：計(jì)算向量的夾角(或函數(shù)值)，并轉(zhuǎn)化為所求角.,3,課時(shí)作業(yè),PARTTHREE,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.若直線l的方向向量為a(1，0，2)，平面的法向量為n(2，1，1)，則A.lB.lC.l或lD.l與斜交,解析a(1，0，2)，n(2，1，1)，an0，即an，l或l.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析設(shè)CA2，則C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，B1(0，2，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長為1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,n1(1，2，2).平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0，0，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018金華模擬)如圖，平面，l，A，B，A，B到l的距離分別是a和b，AB與，所成的角分別是和，線段AB在，內(nèi)的射影長分別是m和n，若a>b，則A.>，m>nB.>，mn,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知正三棱柱ABCA1B1C1，ABAA12，則異面直線AB1與CA1所成角的余弦值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過A作AC的垂線為x軸，以AC所在直線為y軸，以AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，,設(shè)異面直線AB1和A1C所成的角為，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018寧波十校高三適應(yīng)性考試)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)(P點(diǎn)可以運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)A和B)，設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中，平面PDB1與平面ADD1A1所成的最小角為，則cos等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，APa(0a1)，則易得D(0，0，0)，P(1，a，0)，B1(1，1，1)，,設(shè)平面PDB1的法向量為n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令xa，得平面PDB1的一個(gè)法向量為n(a，1，a1)，易得平面ADD1A1的一個(gè)法向量為m(0，1，0)，由圖易得平面PDB1與平面ADD1A1所成的二面角為銳角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.在三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC，CP的中點(diǎn)，ABAC1，PA2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由ABAC1，PA2，,設(shè)平面DEF的法向量為n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,取z1，則n(2，0，1)，設(shè)直線PA與平面DEF所成的角為，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如圖，在正方形ABCD中，EFAB，若沿EF將正方形折成一個(gè)二面角后，AEEDAD則AF與CE所成角的余弦值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,AEED，即AE，DE，EF兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ABEFCD2，則E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(xiàn)(0，2，0)，C(0，2，1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是_.,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，BB1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)ABBCAA12，則C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(xiàn)(0，0，1)，,異面直線所成角的范圍是(0，90，EF和BC1所成的角為60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一延長FE，CB相交于點(diǎn)G，連接AG，如圖所示.設(shè)正方體的棱長為3，則GBBC3，作BHAG于點(diǎn)H，連接EH，則EHB為所求銳二面角的平面角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)DA1，,設(shè)平面AEF的法向量為n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令y1，z3，x1，則n(1，1，3)，取平面ABC的法向量為m(0，0，1)，設(shè)平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為，,證明由題易知ADEABC60，ADCD，E是CD的中點(diǎn)，AECD.又ABCD，AEAB.PA平面ABCD，PAAE，又PAABA，AE平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018嘉興基礎(chǔ)測試)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，PAAB2，E為CD的中點(diǎn)，ABC60.(1)求證：AE平面PAB；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求直線AE與平面PCD所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一連接PE，過點(diǎn)A作AHPE于點(diǎn)H(圖略).CDEA，CDPA，EAPAA，CD平面PAE，CDAH.又AHPE，CDPEE，CD，PE平面PCD，AH平面PCD.AEP為直線AE與平面PCD所成的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AE，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，,設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設(shè)直線AE與平面PCD所成的角為，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，四邊形ABCD為正方形，四邊形PDCE為直角梯形，PDCE，PDC90，平面ABCD平面PDCE，且PDAD2EC2.(1)若PE和DC的延長線交于點(diǎn)F，求證：BF平面PAC；,證明在梯形PDCE中，PD2EC，C為DF的中點(diǎn)，CFCDAB，又ABCF，四邊形ABFC為平行四邊形，BFAC，又AC平面PAC，BF平面PAC，BF平面PAC.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若Q為EC邊上的動(dòng)點(diǎn)，求直線BQ與平面PDB所成角的正弦值的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一設(shè)點(diǎn)Q在平面PBD上的射影為O，連接OQ，OB(圖略)，則QBO為直線BQ與平面PDB所成的角.ECPD，EC平面PBD，EC平面PBD.四邊形ABCD為正方形，ACBD，又平面ABCD平面PDCE，平面ABCD平面PDCECD，PDDC，PD平面PDCE，PD平面ABCD，PDAC，又BDPDD，AC平面PBD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,EC平面PBD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二平面ABCD平面PDCE，平面ABCD平面PDCECD，PDDC，PD平面PDCE，PD平面ABCD，PDDA.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設(shè)Q(0，2，t)(0t1)，,技能提升練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2019金華模擬)已知點(diǎn)P是正方體ABCDA1B1C1D1表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足PA2PB，設(shè)PD1與平面ABCD所成的角為，則的最大值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，P(x，y，z)，則A(0，2，0)，因?yàn)镻A2PB，,即為如圖的、，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,要使得PD1與底面ABCD所成的角最大，則PD1與底面ABCD的交點(diǎn)R到點(diǎn)D的距離最短，從而點(diǎn)P在上，且在QD上，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA11，已知G和E分別為A1B1和CC1的中點(diǎn)，D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若GDEF，則線段DF的長度的取值范圍為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令D(0，b，0)，F(xiàn)(a，0，0)，0<a<1，0<b<1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.等腰三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形,拓展沖刺練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析連接AC與BD交于點(diǎn)O，連接A1O，C1O，A1B，A1D，依題意得，ACBD，AA1BD，又ACAA1A，BD平面AA1C1C.BDA1O，BDC1O，故A1OC1為二面角A1BDC1的平面角.,由勾股定理的逆定理，知A1OC190，故平面A1BD平面C1BD.連接PO，若A1PC1為直角，即A1PPC1，又A1OPC1，A1PA1OA1，C1P平面POA1，則C1PPO，此時(shí)P在BDC1內(nèi)的一段圓弧(該圓弧所在的圓的直徑為C1O)上，符合題意；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,當(dāng)P在OC1上時(shí)，A1PC1為鈍角三角形；當(dāng)P無限接近B或D時(shí)，A1PC1為銳角三角形；若A1PC1為等腰三角形，,當(dāng)A1C1為等腰三角形A1PC1的底邊時(shí)，點(diǎn)P與A1C1中點(diǎn)的連線必垂直于A1C1，此時(shí)，在BDC1內(nèi)部不存在這樣的點(diǎn)P.故選A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2018杭州地區(qū)四校聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAAD2，BCCDAB1，ADBC.,(1)若M是PD的中點(diǎn)，證明：CM平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,證明如圖，取AP的中點(diǎn)F，連接MF，BF.,所以MFBC，MFBC，所以四邊形MFBC是平行四邊形，所以CMBF，又BF平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E.方法一如圖，過點(diǎn)B作BH平面PCD，連接EH，則BEH即直線BE與平面PCD所成的角.,所以PC2CD2PD2，所以PCCD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因?yàn)閂PBCDVBPCD，,所以PB2BD2PD2，所以PBBD，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又BE2PB2PE22PBPEcosBPE，,所以當(dāng)E是線段PD的中點(diǎn)或是線段PD的靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)時(shí)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中O，G，N分別為AD，BC，PD的中點(diǎn)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，,設(shè)直線BE與平面PCD所成的角為，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以當(dāng)點(diǎn)E是線段PD的中點(diǎn)或是線段PD的靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)時(shí)，,