專題突破二離心率的求法,第二章圓錐曲線與方程,一、以漸近線為指向求離心率例1已知雙曲線兩漸近線的夾角為60，則雙曲線的離心率為_.,思維切入雙曲線的兩漸近線有兩種情況，焦點位置也有兩種情況，分別討論即可.,解析由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況.當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，若其中一條漸近線的傾斜角為60，如圖1所示；若其中一條漸近線的傾斜角為30，如圖2所示.,跟蹤訓(xùn)練1中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，2)，則它的離心率為,二、以焦點三角形為指向求離心率例2如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線(a>0，b>0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_.,思維切入連接AF1，在F1AF2中利用雙曲線的定義可求解.,解析方法一如圖，連接AF1，由F2AB是等邊三角形，知AF2F130.易知AF1F2為直角三角形，,方法二如圖，連接AF1，易得F1AF290，F(xiàn)1F2A30，F(xiàn)2F1A60，,點評涉及到焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的值.,解析方法一如圖，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，,|PF1|PF2|2a，,方法二(特殊值法)：在RtPF2F1中，令|PF2|1，PF1F230，,三、尋求齊次方程求離心率例3已知雙曲線E：(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|3|BC|，則E的離心率是_.,思維切入通過2|AB|3|BC|，得到a，b，c的關(guān)系式，再由b2c2a2，得到a和c的關(guān)系式，同時除以a2，即可得到關(guān)于e的一元二次方程，求得e.,2,|BC|2c.又2|AB|3|BC|，,即2b23ac，2(c2a2)3ac，兩邊同除以a2并整理得2e23e20，解得e2(負(fù)值舍去).,點評求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求得.但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式，進而求得的值，其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2a2b2，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進行求解.,跟蹤訓(xùn)練3已知橢圓(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，F(xiàn)為右焦點，且ABBF，則橢圓的離心率為_.,由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2，將b2a2c2代入，得a2acc20，,四、利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求離心率的取值范圍,2，),故離心率e的取值范圍是2，).,由于直線與雙曲線相交于兩個不同的點，則1a20a21，且此時4a2(2a2)>0a2<2，所以a2(0,1)(1,2).,五、利用焦半徑的性質(zhì)求離心率的取值范圍,又因為點P在橢圓上，所以|PF1|PF2|2a.,又ac<|PF2|0，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標(biāo)為2a，則C的離心率為_.,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,6.已知雙曲線(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M在雙曲線的左支上，且|MF2|7|MF1|，則此雙曲線的離心率的最大值為_.,1,2,3,4,5,解析因為|MF2|7|MF1|，所以|MF2|MF1|6|MF1|，即2a6|MF1|6(ca)，故8a6c，,當(dāng)且僅當(dāng)M為雙曲線的左頂點時，等號成立.,6,7,7.已知橢圓C：(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，線段PF2與圓：x2y2b2相切于點Q，若Q是線段PF2的中點，e為C的離心率，則的最小值是_.,1,2,3,4,5,6,7,解析如圖，連接PF1，OQ，由OQ為PF1F2的中位線，,由圓x2y2b2，可得|OQ|b，則|PF1|2b.由橢圓的定義可得|PF1|PF2|2a，即|PF2|2a2b.又OQPF2，所以PF1PF2，即(2b)2(2a2b)2(2c)2，即b2a22abb2c2a2b2，,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,