2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.5 圓錐曲線的綜合問題 文考點(diǎn)一定點(diǎn)與定值問題1.(xx江西,20,13分)如圖,已知拋物線C:x2=4y,過點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)證明:動點(diǎn)D在定直線上;(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2.證明:|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.解析(1)證明:依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2=-8,直線AO的方程為y=x,直線BD的方程為x=x2.解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為,注意到x1x2=-8及=4y1,則有y=-2.因此D點(diǎn)在定直線y=-2上(x0).(2)依題設(shè)知,切線l的斜率存在且不等于0,設(shè)切線l的方程為y=ax+b(a0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由=0得(4a)2+16b=0,化簡整理得b=-a2.故切線l的方程可寫為y=ax-a2.分別令y=2、y=-2得N1、N2的坐標(biāo)為N1、N2,則|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,即|MN2|2-|MN1|2為定值8.考點(diǎn)二參變量的取值范圍與最值問題2.(xx北京,19,14分)已知橢圓C:x2+2y2=4.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)O為原點(diǎn).若點(diǎn)A在直線y=2上,點(diǎn)B在橢圓C上,且OAOB,求線段AB長度的最小值.解析(1)由題意,知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.所以a2=4,b2=2,從而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故橢圓C的離心率e=.(2)設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(t,2),(x0,y0),其中x00.因?yàn)镺AOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+4=+4=+4(0<4).因?yàn)?4(0<4),且當(dāng)=4時等號成立,所以|AB|28.故線段AB長度的最小值為2.考點(diǎn)三存在性問題3.(xx重慶,21,12分)如圖,設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)D在橢圓上,DF1F1F2,=2,DF1F2的面積為.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是否存在圓心在y軸上的圓,使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點(diǎn),且圓在這兩個交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程.若不存在,請說明理由.解析(1)設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|=c.從而=|DF1|F1F2|=c2=,故c=1.從而|DF1|=,由DF1F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.因此,所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)如圖,設(shè)圓心在y軸上的圓C與橢圓+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是兩個交點(diǎn),y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圓C的切線,且F1P1F2P2.由圓和橢圓的對稱性,易知,x2=-x1,y1=y2.由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1F2P2得-(x1+1)2+=0.由橢圓方程得1-=(x1+1)2,即3+4x1=0,解得x1=-或x1=0.當(dāng)x1=0時,P1,P2重合,不存在滿足題設(shè)要求的圓.當(dāng)x1=-時,過P1,P2分別與F1P1,F2P2垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心C.設(shè)C(0,y0),由CP1F1P1,得=-1.而y1=|x1+1|=,故y0=.圓C的半徑|CP1|=.綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為x2+=.4.(xx湖南,20,13分)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線C1:-=1(a1>0,b1>0)和橢圓C2:+=1(a2>b2>0)均過點(diǎn)P,且以C1的兩個頂點(diǎn)和C2的兩個焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直線l,使得l與C1交于A,B兩點(diǎn),與C2只有一個公共點(diǎn),且|+|=|?證明你的結(jié)論.解析(1)設(shè)C2的焦距為2c2,由題意知,2c2=2,2a1=2,從而a1=1,c2=1.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2-=1上,所以-=1,故=3.由橢圓的定義知2a2=+=2.于是a2=,=-=2,故C1,C2的方程分別為x2-=1,+=1.(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.(i)若直線l垂直于x軸,因?yàn)閘與C2只有一個公共點(diǎn),所以直線l的方程為x=或x=-.當(dāng)x=時,易知A(,),B(,-),所以|+|=2,|=2,此時,|+|.當(dāng)x=-時,同理可知,|+|.(ii)若直線l不垂直于x軸,設(shè)l的方程為y=kx+m,由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.當(dāng)l與C1相交于A,B兩點(diǎn)時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實(shí)根,從而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因?yàn)橹本€l與C2只有一個公共點(diǎn),所以上述方程的判別式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化簡,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=+=0,于是+2+-2,即|+|2|-|2,故|+|.綜合(i),(ii)可知,不存在符合題設(shè)條件的直線.