,隨機誤差與系統(tǒng)誤差的來源和性質(zhì)不同，所以處理的方法也不同。由于隨機誤差是由一系列隨機因素引起的，因而隨機變量可以用來表達隨機誤差的取值范圍及概率。若有一非負函數(shù)，其對任意實數(shù)有分布函數(shù),稱,為,的概率分布密度函數(shù),為誤差在之間的概率，在測量系統(tǒng)中，若系統(tǒng)誤差已經(jīng)減小到可以忽略的程度后才可對隨機誤差進行統(tǒng)計處理。,隨機誤差的正態(tài)分布,由概率論的中心極限定理可知：大量的、微小的及獨立的隨機變量之總和服從正態(tài)分布。大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布，其應用范圍包括各種物理、機械、電氣、化學等特性分布例如：鋁合金板抗拉強度，電容器電容變化、噪聲發(fā)聲器輸出電壓但在實際中，各種非正態(tài)分布也很多，故對隨機誤差一般將其按下述方法給予描述。,1.隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律,實踐和理論證明，大量的隨機誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。正態(tài)分布的曲線如圖所示。圖中的橫坐標表示隨機誤差,，縱坐標為誤差的概率密度,。應用概率論方法可導出,隨機誤差的正態(tài)分布曲線,特征量,標準差,n為測量次數(shù),值得注意的是，通常所說隨機誤差服從正態(tài)分布是從統(tǒng)計角度而言的，也就是針對測量次數(shù)極大而測量分辨率又極高的情況而言。,真實值與算術平均值,設對某一物理量進行直接多次測量，測量值分別為下x1,x2,x3,x4,xn,各次測量值的隨機誤差為。將隨機誤差相加,兩邊同除n得,用代表測量列的算術平均值,根據(jù)隨機誤差的抵償特征，即,于是,可見，當測量次數(shù)很多時，算術平均值趨于真實值，也就是說，算術平均值受隨機誤差影響比單次測量小。且測量次數(shù)越多，影響越小。因此可以用多次測量的算術平均值代替真實值，并稱為最可信數(shù)值。,隨機誤差的標準差,標準差定義為,它是一定測量條件下隨機誤差最常用的估計值。在服從正態(tài)分布的情況下，隨機誤差落在(，)區(qū)間的概率為68.3%。區(qū)間(，)稱為置信區(qū)間，相應的概率稱為置信概率。顯然，置信區(qū)間擴大，則置信概率提高。置信區(qū)間取(2，2)、(3，3)時，相應的置信概率P(2)=95.4%,P(3)=99.7.,如圖是不同值時的曲線。值越小，曲線陡且峰值高，說明測量值的隨機誤差集中，小誤差占優(yōu)勢，各測量值的分散性小，重復性好。反之，值越大，曲線較平坦，各測量值的分散性大，重復性差。,不同的概率密度曲線,定義3為極限誤差，其概率含義是在1000次測量中只有3次測量的誤差絕對值會超過3。由于在一般測量中次數(shù)很少超過幾十次，因此，可以認為測量誤差超3出范圍的概率是很小的，故稱為極限誤差，一般可作為可疑值取舍的判定標準。,代替誤差來估算有限次測量中的標準差，得到的結果就是單次測量的標準差，用表示，它只是的一個估算值。由誤差理論可知單次測量的標準差的計算式為,這一公式稱為貝塞爾公式。,2)單次測量值的標準差的估計,由于真值未知時，隨機誤差不可求，可用各次測量值與算術平均值之差剩余誤差,實驗數(shù)據(jù)分析中，常常采用去偏差并歸一化的前處理方法，即設標準單位利用標準正態(tài)分布進行分析考察，如式下表給出了標準正態(tài)分布的一些與的代表數(shù)值。,正態(tài)分布的概率密度和置信概率的數(shù)值表,實驗數(shù)據(jù)分析中，常常采用去偏差并歸一化的前處理方法，即設標準單位利用標準正態(tài)分布進行分析考察，如式下表給出了標準正態(tài)分布的一些與的代表數(shù)值。,正態(tài)分布的概率密度和置信概率的數(shù)值表,在研究隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律時，不僅要知道隨機變量在哪個范圍內(nèi)取值，而且要知道在該范圍內(nèi)取值的概率，兩者是相互關連的。置信區(qū)間：定義為隨機變量取值的范圍，常用正態(tài)分布的標準誤差的倍數(shù)來表示，即，其中為置信系數(shù)。置信概率：隨機變量在置信區(qū)間內(nèi)取值的概率，即置信水平：表示隨機變量在置信區(qū)間以外取值的概率，即,置信系數(shù)取不同典型值時，正態(tài)分布的置信概率數(shù)值如表2.1所示。由此可知，置信系數(shù)越大，置信區(qū)間越寬，置信概率越大，隨機誤差的范圍也越大，對測量精度的要求越低。在實際測量中，如有95%的置信概率時，其可靠性已經(jīng)足夠了，此時的置信區(qū)間是，置信水平為5%。（2）隨機誤差的非正態(tài)分布隨機誤差的概率分布有多種類型，除正態(tài)分布外，在計量和測量中經(jīng)常遇到的非正態(tài)分布有均勻分布、分布等。1）均勻分布均勻分布特點是：在某一區(qū)域內(nèi)，隨機誤差出現(xiàn)的概率處處相等，而在該區(qū)域外隨機誤差出現(xiàn)的概率為零。均勻分布的概率密度函數(shù)為：,式中隨機誤差的極限值。均勻分布是一種常見的誤差分布，如圖2.4所示。例如，儀器刻度差引起的誤差，儀器最小分辨率限制引起的誤差，數(shù)字儀表的量化誤差（），數(shù)字計算中的舍入誤差等等。此外，對一些只知道誤差出現(xiàn)的大致范圍，而不知道其分布規(guī)律的誤差，在處理時常按均勻分布的誤差對待。,圖2.4均勻分布曲線,2）分布分布主要用來處理小樣本（即測量數(shù)據(jù)比較少）的測量數(shù)據(jù)。正態(tài)分布理論只適合于大樣本的測量數(shù)據(jù)，而對小樣本的測量數(shù)據(jù)通常采用分布理論來處理。分布的概率密度函數(shù)為：式中的估計值；測得值的平均值；N測量次數(shù)；=N-1稱為自由度；是伽馬函數(shù)。,分布的概率密度曲線如下圖所示，它與標準正態(tài)分布的圖形相似，其特點在于分布與標準差的估計值無關，但與自由度N-1有關。當N較大（大于30）時，分布和正態(tài)分布的差異就很小了，當時，兩者就完全相同。,圖2.5分布曲線,分布曲線,根據(jù)分布置信系數(shù)列表，當測量數(shù)據(jù)較少時，由給定的置信概率P和自由度，可查表得出分布置信系數(shù)，再根據(jù)小樣本數(shù)據(jù)的和值，可確定被測量真值的置信區(qū)間，即式中小樣本數(shù)據(jù)均值的極限誤差或隨機不確定度。,（1）隨機誤差的表示方法由前面分析可知，在一定的置信概率P下，真值一定落在以測得值為中心，以誤差限為區(qū)間的一個范圍內(nèi)，即式中由于所取置信概率不同，以及表示誤差的習慣差異，誤差有各種表示方法，但以下面兩種情況最為常見。,1)標準偏差標準偏差所對應的置信度P=68.3%，置信系數(shù)，即真值處于范圍內(nèi)的可信程度為68.3%。從正態(tài)分布曲線的幾何圖形上看，當處正好是曲線的拐點，也即當以后，概率密度變化比較慢，這就是選用標準差作為誤差限的理由之一。2)極限偏差當置信系數(shù)時，置信度P=99.73%，故可以認為真值落在范圍內(nèi)的概率已接近100%。因此，在工程測試中常以這個參數(shù)來表示測量精度，稱為極限誤差或最大誤差，用表示，即值得提醒的是，對于不同學科，不同測量對象和測量的目的而言，極限誤差所取的置信系數(shù)是不同的。例如，在某些與人身事故有直接關系的場合，；而在一般工程和貿(mào)易中，；在統(tǒng)計學中，,（2）真值的估計與標準偏差測量的主要任務是求得被測量的真值，前面介紹了真值是對同一檢測量在同樣條件下進行無限多次測量所取得的測量平均值。由于實際測量中的測量次數(shù)是有限的，所以測量平均值并不等于真值。那么，如何估計測量平均值的正態(tài)分布情況。當每個測量結果按正態(tài)分布時，一組測量數(shù)據(jù)的平均值為：其期望值恰好就是真值，即由于也屬于正態(tài)分布，因此可以用的標準偏差來表征測量結果的離散度。,由其標準偏差為：此式表明，子樣平均值的方差并不等于母體方差，而只是它的N分之一。由這一結論可推論到等精度測量條件下，多批次測量（即分組多次測量）所獲得的平均值（也即分組平均值的平均值）要比單批次測量所獲得的結果精確，而且測量次數(shù)越多，越小，越向母體真值集中，即用作為的最佳估計值的離散度越小。然而，由于與成反比，隨著測量次數(shù)增加，值的減小逐漸不顯著了，故并非N越大越好。,（3）標準偏差的估計因為數(shù)學平均值就是真值的無偏估計，即當時，。為了求得標準偏差的無偏估計，需要先考慮殘差平方和S則S的期望值為：即,所以，方差的無偏估計為：無偏標準偏差為：將公式代入可得數(shù)據(jù)平均值的方差的無偏估計值，即平均值的標準偏差的無偏估計值為：應當注意的是，測量數(shù)據(jù)的方差為：它不是母體方差的無偏估計值。因為無偏方差的計算中沒有用真值，而用的是平均值，因此自由度減少了一個。,