9.3圓的方程,知識梳理,考點自診,1.圓的定義及方程,2.點與圓的位置關系圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2,點M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2點在圓上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2點在圓外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2點在圓內(nèi).,定點,定長,(a,b),r,=>0.(),知識梳理,考點自診,2.若圓C的半徑為1,其圓心與點(1,0)關于直線y=x對稱,則圓C的標準方程為()A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1,C,解析:由題得圓心坐標為(0,1),所以圓的標準方程為x2+(y-1)2=1.故選C.,3.(2018河南南陽聯(lián)考,6)以(a,1)為圓心,且與兩條直線2x-y+4=0與2x-y-6=0同時相切的圓的標準方程為()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=5,A,解析:由題意,得圓心在直線2x-y-1=0上,將點(a,1)代入可得a=1,即圓心為(1,1),半徑為,圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=5,故選A.,知識梳理,考點自診,4.若曲線C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的點均在第二象限內(nèi),則a的取值范圍為()A.(-,-2)B.(-,-1)C.(1,+)D.(2,+),D,解析:曲線C的方程可以化為(x+a)2+(y-2a)2=4,則該方程表示圓心為(-a,2a),半徑等于2的圓.因為圓上的點均在第二象限,所以a>2.,5.(2018四川成都三診,14)在平面直角坐標系中,已知三點O(0,0),A(2,4),B(6,2),則三角形OAB的外接圓方程是.,x2+y2-6x-2y=0,解析:設三角形OAB的外接球方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,由點O(0,0),A(2,4),B(6,2)在圓上可得,故三角形OAB的外接球方程為x2+y2-6x-2y=0.,考點1,考點2,考點3,求圓的方程例1(1)過點A(4,1)的圓C與直線x-y-1=0相切于點B(2,1),則圓C的方程為.(2)已知圓C經(jīng)過P(-2,4),Q(3,-1)兩點,且在x軸上截得的弦長等于6,則圓C的方程為.,(x-3)2+y2=2,x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0,考點1,考點2,考點3,解析:(1)方法一由已知得kAB=0,所以線段AB的中垂線方程為x=3.過點B且垂直于直線x-y-1=0的直線方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0,考點1,考點2,考點3,(2)設圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),在圓C的方程中令y=0,得x2+Dx+F=0.設x1,x2是方程的兩根,由|x1-x2|=6,即(x1+x2)2-4x1x2=36,得D2-4F=36,由解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.故圓C的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.,考點1,考點2,考點3,思考求圓的方程有哪些常見方法?解題心得求圓的方程時,應根據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說,求圓的方程有兩種方法:(1)幾何法,通過研究圓的性質進而求出圓的基本量.確定圓的方程時,常用到的圓的三個性質:圓心在過切點且垂直切線的直線上;圓心在任一弦的垂直平分線上;兩圓內(nèi)切或外切時,切點與兩圓圓心共線;(2)代數(shù)法,即設出圓的方程,用待定系數(shù)法求解.,考點1,考點2,考點3,C,x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,(2)方法一所求圓的圓心在直線x-3y=0上,設所求圓的圓心為(3a,a),又所求圓與y軸相切,半徑r=3|a|,故所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,與圓有關的軌跡問題例2(1)(2018廣東廣州期末,6)當點P在圓x2+y2=1上變動時,它與定點Q(3,0)相連,線段PQ的中點M的軌跡方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1(2)已知點A(-4,0),直線l:x=-1與x軸交于點B,動點M到A,B兩點的距離之比為2.則動點M的軌跡C的方程為.,C,x2+y2=4,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考求與圓有關的軌跡方程都有哪些常用方法?解題心得1.求與圓有關的軌跡問題時,根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根據(jù)題目提供的條件列出方程;(2)定義法,根據(jù)圓、直線等定義列方程;(3)幾何法,利用圓的幾何性質列方程;(4)代入法,找到要求點與已知點的關系,代入已知點滿足的關系式等.2.求與圓有關的軌跡問題時,題目的設問有兩種常見形式,作答也應不同.若求軌跡方程,則把方程求出化簡即可;若求軌跡,則必須根據(jù)軌跡方程,指出軌跡是什么曲線.,考點1,考點2,考點3,對點訓練2已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點.則M的軌跡方程為.,(x-1)2+(y-3)2=2,解析:圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.設M(x,y),故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于點P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,考點1,考點2,考點3,與圓有關的最值問題(多考向)考向1斜率型最值問題例3已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.,考點1,考點2,考點3,考向2截距型最值問題例4在例3的條件下求y-x的最大值和最小值.,思考如何求解形如ax+by的最值問題?,考點1,考點2,考點3,考向3距離型最值問題例5在例3的條件下求x2+y2的最大值和最小值.,解如圖所示,x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方,由平面幾何知識知,在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值.,考點1,考點2,考點3,思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題?,考點1,考點2,考點3,考向4建立目標函數(shù)求最值問題例6設圓x2+y2=2的切線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于點A,B,當|AB|取最小值時,切線l的方程為.,x+y-2=0,考點1,考點2,考點3,思考如何借助圓的幾何性質求有關線段長的最值?解題心得求解與圓有關的最值問題的兩大規(guī)律:(1)借助幾何性質求最值形如的最值問題,可轉化為定點(a,b)與圓上的動點(x,y)的斜率的最值問題;形如t=ax+by的最值問題,可轉化為動直線的截距的最值問題;形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題.(2)建立函數(shù)關系式求最值根據(jù)題目條件列出關于所求目標式子的函數(shù)關系式,然后根據(jù)關系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等求解,其中利用基本不等式求最值是比較常用的方法.,考點1,考點2,考點3,D,0,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,(3)因為動點P在直線a:x-2y-2=0上,動點Q在直線b:x-2y-6=0上,直線a:x-2y-2=0與直線b:x-2y-6=0互相平行,動點P在直線a上,動點Q在直線b上,所以PQ的中點M在與a,b平行,且到a,b的距離相等的直線上,設該直線為l,其方程為x-2y+m=0,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,求半徑常有以下方法:(1)若已知直線與圓相切,則圓心到切點(或切線)的距離等于半徑;(2)若已知弦長、弦心距,則可利用弦長的一半、弦心距、半徑三者滿足勾股定理的關系求得.,1.求圓的方程需要三個獨立條件,因此不論選用哪種形式的圓的方程都要列出三個獨立的關系式.2.解答與圓有關的最值問題一般要結合代數(shù)式的幾何意義進行,注意數(shù)形結合,充分運用圓的性質.3.解決與圓有關的軌跡問題,一定要看清要求,是求軌跡方程還是求軌跡.,易錯警示軌跡問題易忘記特殊點的檢驗而致誤典例設定點M(-3,4),動點N在圓x2+y2=4上運動,以OM,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,求點P的軌跡.,反思提升1.本題易忘記四邊形MONP為平行四邊形,導致忘記除去兩個特殊點.2.本題也容易把求點P的軌跡理解成只求點P的軌跡方程,要知道,求一動點滿足的軌跡除了要求出軌跡方程,還要說明方程對應的是什么曲線.,