2019-2020年高考數(shù)學專題復習 第15講 導數(shù)的應用（二）練習 新人教A版考情展望1.利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題.2.導數(shù)與方程、函數(shù)零點、不等式等知識交匯命題，綜合考查分析問題和解決問題的能力考向一 041導數(shù)在方程(函數(shù)零點)中的應用(xx長沙模擬)已知函數(shù)f(x)ex(x2axa)，其中a是常數(shù)(1)當a1時，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)若存在實數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f(x)k在0，)上有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍【思路點撥】(1)先求切點、切線斜率，再求切線方程；(2)利用導數(shù)判斷函數(shù)f(x)在0，)上的變化情況，數(shù)形結(jié)合求解【嘗試解答】(1)由f(x)ex(x2axa)可得f(x)ex x2(a2)x當a1時，f(1)e，f(1)4e.所以曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為ye4e(x1)，即y4ex3e.(2)令f(x)exx2(a2)x0，解得x(a2)或x0.當(a2)0，即a2時，在區(qū)間0，)上，f(x)0，所以f(x)是0，)上的增函數(shù)，所以方程f(x)k在0，)上不可能有兩個不相等的實數(shù)根當(a2) 0，即a2時，f(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x0(0，(a2)(a2)(a2)，)f(x)00f(x)a由上表可知函數(shù)f(x)在0，)上的最小值為f(a2).因為函數(shù)f(x)是(0，(a2)上的減函數(shù)，是(a2)，)上的增函數(shù)，且當xa時，有f(x)ea(a)a，又f(0)a.所以要使方程f(x)k在0，)上有兩個不相等的實數(shù)根，k的取值范圍是.規(guī)律方法11.在解答本題(2)時應判斷f(x)f(0)是否成立，這是容易忽視的地方2該類問題的求解，一般利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，根據(jù)零點或圖象的交點情況，建立含參數(shù)的方程(或不等式)組求解，實現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一對點訓練(xx威海模擬)設(shè)f(x)ln x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)的零點個數(shù)【解】(1)f(x)的定義域是(0，)f(x)當a0時，f(x)0，(0，)是f(x)的增區(qū)間，當a0時，令f(x)0，x，(負舍去)當0x時，f(x)0；當x時，f(x)0所以(0，)是f(x)的減區(qū)間，(，)是f(x)的增區(qū)間，綜合：當a0時，f(x)的增區(qū)間是(0，)，當a0時，f(x)的減區(qū)間是(0，)，f(x)的增區(qū)間是(，)(2)由(1)知，當a0時，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，當a0時有零點x1，當a0時，f(ea)a(e2a1)0，f(ea)a(e2a1)0，(或當x0時，f(x)，當x時，f(x)，所以f(x)在(0，)上有一個零點，當a0時，由(1)f(x)在(0，)上是減函數(shù)，f(x)在(，)上是增函數(shù)，所以當x時，f(x)有極小值，即最小值f()(ln 2a1)當(ln 2a1)0，即a時f(x)無零點，當(ln 2a1)0，即a時，f(x)有一個零點，當(ln 2a1)0，即0a時f(x)有2個零點綜上：當a時f(x)無零點，當a或a0時f(x)有一個零點，當0a時f(x)有2個零點考向二 042導數(shù)在不等式中的應用(xx遼寧高考)已知函數(shù)f(x)(1x)e2x，g(x)ax12xcos x當x0,1時，(1)求證：1xf(x)；(2)若f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【思路點撥】利用構(gòu)造法，分別判斷f(x)與1x，f(x)與的大小關(guān)系；利用比較法或構(gòu)造函數(shù)，通過導數(shù)求解未知數(shù)范圍【嘗試解答】(1)證明：要證x0,1時，(1x)e2x1x，只需證明(1x)ex(1x)ex.記h(x)(1x)ex(1x)ex，則h(x)x(exex)，當x(0,1)時，h(x)>0，因此h(x)在0,1上是增函數(shù)，故h(x)h(0)0.所以f(x)1x，x0,1要證x0,1時，(1x)e2x，只需證明exx1.記K(x)exx1，則K(x)ex1，當x(0,1)時，K(x)>0，因此K(x)在0,1上是增函數(shù)，故K(x)K(0)0.所以f(x)，x0,1綜上，1xf(x)，x0,1(2)法一：f(x)g(x)(1x)e2x1xax12xcos xx，設(shè)G(x)2cos x，則G(x)x2sin x.記H(x)x2sin x，則H(x)12cos x，當x(0,1)時，H(x)<0，于是G(x)在0,1上是減函數(shù)，從而當x(0,1)時，G(x)<G(0)0，故G(x)在0,1上是減函數(shù)于是G(x)G(0)2，從而a1G(x)a3.所以，當a3時，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面證明，當a>3時 ，f(x)g(x)在0,1上不恒成立f(x)g(x)1ax2xcos xax2xcos xx，記I(x)a2cos xaG(x)，則I(x)G(x)，當x(0,1)時，I(x)<0.故I(x)在0,1上是減函數(shù)，于是I(x)在0,1上的值域為a12cos 1，a3因為當a>3時，a3>0，所以存在x0(0,1)，使得I(x0)>0，此時f(x0)<g(x0)，即f(x)g(x)在0,1上不恒成立綜上，實數(shù)a的取值范圍是(，3法二：先證當x0,1時，1x2cos x1x2.記F(x)cos x1x2，則F(x)sin xx.記G(x)sin xx，則G(x)cos x1，當x(0,1)時，G(x)>0，于是G(x)在0,1上是增函數(shù)，因此當x(0,1)時，G(x)>G(0)0，從而F(x)在0,1上是增函數(shù)，因此F(x)F(0)0，所以當x0,1時，1x2cos x.同理可證，當x0,1時，cos x1x2.綜上，當x0,1時，1x2cos x1x2.因為當x0,1時，f(x)g(x)(1x)e2x(1x)ax12x(a3)x.所以當a3時，f(x)g(x)在0,1上恒成立下面證明，當a3時，f(x)g(x)在0,1上不恒成立因為f(x)g(x)(1x)e2x1ax2x(a3)xx，所以存在x0(0,1)滿足f(x0)<g(x0)，即f(x)g(x)在0,1上不恒成立綜上，實數(shù)a的取值范圍是(，3規(guī)律方法21.本例第(1)問不等式的證明利用構(gòu)造函數(shù)法，通過導數(shù)證明，考查簡單的轉(zhuǎn)化化歸能力，第(2)問的兩種解法都對轉(zhuǎn)化化歸能力進一步升級考查，法一利用第一問的結(jié)論進行轉(zhuǎn)化，法二通過構(gòu)造函數(shù)，兩次利用導數(shù)轉(zhuǎn)化.2.對于該類問題，可從不等式的結(jié)構(gòu)特點出發(fā)，構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì)，借助單調(diào)性或最值實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.對點訓練設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當aln 21且x0時，exx22ax1.【解】(1)由f(x)ex2x2a，xR，f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln 2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)設(shè)g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當aln 21時，g(x)最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)又g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.考向三 043導數(shù)與生活中的優(yōu)化問題(xx重慶高考)某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大【思路點撥】(1)借助圓柱形的體積公式求V與r間的等量關(guān)系，利用h0，r0求定義域(2)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值【嘗試解答】(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為1002rh200rh(元)，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元又根據(jù)題意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)因為r>0，又由h>0可得r<5，故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5)(2)因為V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因為r25不在定義域內(nèi)，舍去)當r(0,5)時，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當r(5,5)時，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時h8.即當r5，h8時，該蓄水池的體積最大規(guī)律方法3利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，構(gòu)造出實際問題的數(shù)學模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系yf(x)，并根據(jù)實際意義確定定義域；(2)求函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)，解方程f(x)0得出定義域內(nèi)的實根，確定極值點；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值大小，獲得所求的最大(小)值；(4)還原到實際問題中作答.對點訓練(xx濰坊模擬)已知一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元，設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品x千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為f(x)萬元，且(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)品x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤最大？(注：年利潤年銷售收入年總成本)【解】(1)由題意得W即W(2)當0x10時，W8.1xx310，則W8.1x2.0x10，當0x9時，W0，則W遞增；當9x10時，W0，則W遞減當x9時，W取最大值38.6萬元當x10時，W9898238.當且僅當2.7x，即x10取最大值38.綜上，當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大思想方法之八轉(zhuǎn)化與化歸思想在導數(shù)研究函數(shù)中的巧用所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而得到解決的一種方法一般總是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題該思想在導數(shù)研究函數(shù)中的應用具體體現(xiàn)在以下三個方面：(1)與恒成立有關(guān)的參數(shù)范圍問題(2)用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題(3)證明不等式問題1個示范例1個對點練已知函數(shù)f(x)x3ax2a2xm(a0)(1)若a1時函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若對任意的a3,6，不等式f(x)1在2,2上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍【解】(1)當a1時，f(x)x3x2xm.函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點，x3x2xm0即mx3x2x有三個互不相等的實數(shù)根令g(x)x3x2x，則g(x)3x22x1(3x1)(x1)，g(x)在(，1)和上均為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，g(x)極小值g(1)1，g(x)極大值g，m的取值范圍是.(2)f(x)3x22axa23(xa)，且a0，當xa或x時，f(x)0；當ax時，f(x)0.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，a)和，單調(diào)遞減區(qū)間為.當a3,6時，1,2，a3.又x2,2，f(x)maxmaxf(2)，f(2)，又f(2)f(2)164a20，f(x)maxf(2)84a2a2m.又f(x)1在2,2上恒成立，f(x)max1即84a2a2m1，即當a3,6時，m94a2a2恒成立94a2a2在3,6上的最小值為87，m的取值范圍是(，87,(xx北京高考)設(shè)L為曲線C：y在點(1,0)處的切線(1)求L的方程；(2)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線L的下方【解】(1)設(shè)f(x)，則f(x).所以f(1)1，所以L的方程為yx1.(2)證明：令g(x)x1f(x)，則除切點之外，曲線C在直線L的下方等價于g(x)>0(x>0，x1)g(x)滿足g(1)0，且g(x)1f(x).當0<x<1時，x21<0，ln x<0，所以g(x)<0，故g(x)單調(diào)遞減；當x>1時，x21>0，ln x>0，所以g(x)>0，故g(x)單調(diào)遞增所以，g(x)>g(1)0(x>0，x1)所以除切點之外，曲線C在直線L的下方