2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 第27課 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)三角函數(shù)的定義域與值域問題(1) 求下列函數(shù)的定義域:f(x)=lg(sinx-cosx); f(x)=.(2) 求下列函數(shù)的值域:y=; y=(0<x<).思維引導(dǎo)(1) 利用函數(shù)有意義轉(zhuǎn)化為三角不等式問題.(2) 是由三角函數(shù)構(gòu)成的一次分式函數(shù),考查三角函數(shù)與一次分式函數(shù)的性質(zhì),可以利用sinx的有界性和一次分式函數(shù)y=的有關(guān)性質(zhì)求解.利用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,采用換元法令t=sinx-cosx,從而sinxcosx=,然后再化簡(jiǎn)考慮,轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解.解答(1) 由題意知sinx-cosx>0,解得x(kZ).由題意知解得xx|2k-x2k+,且xk,xk+,kZ.(2) 因?yàn)閥=1-,所以當(dāng)sinx=-1時(shí),ymin=1+=,所以值域?yàn)?令t=sinx-cosx,則t=sin,由于0<x<,所以-<x-<,所以-1<t.sinxcosx=,由于0<x<,所以-<x-<,所以y=,故y<1.所以值域?yàn)?精要點(diǎn)評(píng)求函數(shù)定義域的題型,關(guān)鍵是根據(jù)使式子有意義的x的取值范圍,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式,此題是解三角不等式,常用的方法:利用單位圓中的三角函數(shù);利用三角函數(shù)的圖象;利用函數(shù)單調(diào)性,一定要與相應(yīng)三角函數(shù)的周期聯(lián)系.求三角函數(shù)值域的常用方法有:將函數(shù)式化為y=Asin(x+)的形式,然后根據(jù)定義域求出值域即可;采用反函數(shù)法,利用sinx和cosx的有界性求值域;采用換元法,轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求解,但應(yīng)特別注意所換元的范圍.求函數(shù)y=+的定義域.解答由題意知解得x,4.已知函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx,求x時(shí)函數(shù)的最值.解答令sinx+cosx=t,則sinxcosx=,因?yàn)閤,所以t=sinx+cosx=sin1,所以y=t+=t2+t-=(t+1)2-1,所以ymax=+,ymin=1.三角函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性問題已知函數(shù)f(x)=-1+2sinxcosx+2cos2x.(1) 求f(x)的單調(diào)減區(qū)間;(2) 求f(x)圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo).思維引導(dǎo)利用三角公式將函數(shù)化為y=Asin(x+)的形式再研究性質(zhì).解答f(x)=sin2x+cos2x=2sin.(1) 令2k+2x+2k+(kZ),得k+xk+(kZ),所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ).(2) 由sin=0,得2x+=k(kZ),即x=-(kZ),所以f(x)圖象上與原點(diǎn)最近的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是.精要點(diǎn)評(píng)形如y=Asin(x+)(A>0,>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,基本思路是把x+看作一個(gè)整體;三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心往往不止一個(gè).(xx蘇州期末)若函數(shù)f(x)=sin(x+)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,則=.答案解析因?yàn)閒(x)=sin(x+)關(guān)于直線x=對(duì)稱,所以f=sin=1或-1,所以=+k(kZ),又0<<,所以=.三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(xx福建卷)已知函數(shù)f(x)=cosx(sinx+cosx)-.(1) 若0<<,且sin=,求f()的值;(2) 求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間.思維引導(dǎo)(1) 根據(jù)sin求出cos,即可求出f()的值;(2) 先將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(x+)的形式,然后再求出周期和單調(diào)區(qū)間.解答方法一:(1) 因?yàn)?<<,sin=,所以cos=,所以f()=-=.(2) 因?yàn)閒(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin,所以T=.由2k-2x+2k+,kZ,得k-. xk+,kZ.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,kZ.方法二:f(x)=sinxcosx+cos2x-=sin2x+-=sin2x+cos2x=sin.(1) 因?yàn)?<<,sin=,所以=,從而f()=sin=sin=.(2) T=.由-2x+2k+,kZ,得k-xk+,kZ.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,kZ.精要點(diǎn)評(píng)一般地,此類問題需要把較為復(fù)雜的三角函數(shù)形式都化為f(x)=Asin(x+)+C的形式,然后再求周期、最值或是單調(diào)區(qū)間等.其中周期T=,單調(diào)區(qū)間與相應(yīng)正弦(或余弦、正切)函數(shù)的性質(zhì)有關(guān),求最值時(shí)可借助三角函數(shù)的圖象.【題組強(qiáng)化重點(diǎn)突破】1. (xx南通期末)將函數(shù)f(x)=sin(2x+)(0<<)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則=.答案解析函數(shù)f(x)=sin(2x+)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=sin的圖象,由題意得g(0)=0,所以-=k,即=k+(kZ),又因?yàn)?<<,所以=.2. (xx蘇州暑假調(diào)查)已知函數(shù)f(x)=3sin（x-）(>0)和g(x)=2cos(2x+)(0<<)的圖象的對(duì)稱軸完全相同,那么g的值是.答案-2解析由兩函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸完全相同知周期必須相同,所以=2,f(x)=3sin圖象的一條對(duì)稱軸為x=,所以cos=1(0<<),得=,所以g=2cos=-2.3. (xx蘇北四市期末)已知函數(shù)f(x)=2sin(>0)的最大值與最小正周期相同,那么函數(shù)f(x)在-1,1上的單調(diào)增區(qū)間為.答案解析由題意得函數(shù)f(x)=2sin(>0)的最小正周期為2,所以=2,=,所以f(x)=2sin（x-）,由2k-x-2k+,得2k-x2k+(kZ).當(dāng)k=0時(shí),-x,即函數(shù)f(x)在-1,1上的單調(diào)增區(qū)間為.4. 設(shè)函數(shù)f(x)=cos+sin2x.(1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2) 設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意的xR,有g(shù)=g(x),且當(dāng)x時(shí),g(x)=-f(x),求函數(shù)g(x)在-,0上的解析式.解答f(x)=cos+sin2x=cos2x-sin2x+(1-cos2x)=-sin2x.(1) 函數(shù)f(x)的最小正周期T=.(2) 當(dāng)x時(shí),g(x)=-f(x)=sin2x.當(dāng)x時(shí),x+ ,g(x)=g=sin=-sin2x.當(dāng)x時(shí),x+, g(x)=g(x+)=sin2(x+)=sin2x.綜上,g(x)=已知函數(shù)f(x)=2cos（cos-sin）.(1) 設(shè),且f()=+1,求的值;(2) 在ABC中,AB=1,f(C)=+1,且ABC的面積為,求sin A+sin B的值.規(guī)范答題(1) f(x)=2cos2-2sincos=(1+cos x)-sin x=2cos+. (3分)由2cos+=+1,得cos=. (5分)于是x+=2k(kZ),因?yàn)閤,所以x=-或. (7分)(2) 因?yàn)镃(0,),由(1)知C=. (9分)在ABC中,設(shè)角A,B的對(duì)邊分別是a,b.因?yàn)锳BC的面積為,所以=absin,于是ab=2. 由余弦定理,得1=a2+b2-2abcos=a2+b2-6,所以a2+b2=7.由可得或于是a+b=2+. (12分)由正弦定理,得=,所以sin A+sin B=(a+b)=1+. (14分)1. 函數(shù)y=|sin x|的單調(diào)增區(qū)間為.答案(kZ)解析作出y=|sin x|的圖象,由圖象可知,單調(diào)增區(qū)間為(kZ).2. 函數(shù)y=2sin2x-3sin 2x的最大值是.答案+1解析y=1-cos 2x-3sin 2x=-sin(2x+)+1,所以函數(shù)的最大值為+1.3. 函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值是.答案-4. 函數(shù)f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分別是.答案,溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成配套檢測(cè)與評(píng)估中的練習(xí)(第53-54頁(yè)).