2019年高中數(shù)學 第一章 推理與證明綜合檢測 北師大版選修2-2一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1“蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴等爬行動物是用肺呼吸的，所以所有的爬行動物都是用肺呼吸的”此推理方法是()A演繹推理B歸納推理C類比推理 D以上都不對【解析】由部分推斷全體，是歸納推理【答案】B2在數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，中，第25項為()A25B6 C7D8【解析】將數(shù)列分組得(1)，(2,2)，(3,3,3)，(4,4,4,4)，這樣每一組的個數(shù)為1,2,3,4，；其和為，令n6，則有21，所以第25項在第7組，因此第25項是7.【答案】C3證明<1<n1(n>1)，當n2時，中間式等于()A1 B1C1 D1【解析】中間的式子共有2n項，故n2時，中間的式子等于1.【答案】D4否定結(jié)論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()A有一個解 B有兩個解C至少有三個解 D至少有兩個解【解析】“至多有兩個解”包含有兩解，僅有一解，和無解，故其否定為至少有三個解【答案】C5已知c>1，a，b，則正確的結(jié)論是()Aa>b Ba<bCab Da，b大小不定【解析】a，b，顯然a<b.【答案】B6三角形的面積為S(abc)r，a，b，c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為()AVabcBVShCV(S1S2S3S4)r(S1，S2，S3，S4為四個面的面積，r為內(nèi)切球的半徑)DV(abbcac)h(h為四面體的高)【解析】設(shè)ABC的內(nèi)心為O，連接OA，OB，OC，將ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a，b，c；類比：設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的球心為O，連接OA，OB，OC，OD，將四面體分割為四個以O(shè)為頂點，以原來面為底面的四面體，高都為r，所以有V(S1S2S3S4)r.【答案】C7某人在上樓梯時，一步上一個臺階或兩個臺階，設(shè)他從平地上到第一級臺階時有f(1)種走法，從平地上到第二級臺階時有f(2)種走法則他從平地上到第n級(n3)臺階時的走法f(n)等于()Af(n1)1 Bf(n2)2Cf(n2)1 Df(n1)f(n2)【解析】要到達第n級臺階有兩種走法：(1)在第n2級的基礎(chǔ)上到達；(2)在第n1級的基礎(chǔ)上到達【答案】D8已知f(x)x3x，a，b，cR，且ab>0，ac>0，bc>0，則f(a)f(b)f(c)的值一定()A大于零 B等于零C小于零 D正負都可能【解析】f(x)x3x是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，由ab>0，得a>b，故f(a)>f(b)，可得f(a)f(b)>0.同理f(a)f(c)>0，f(b)f(c)>0.所以f(a)f(b)f(c)>0.【答案】A9(xx江西高考)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28 B76C123 D199【解析】記anbnf(n)，則f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，則f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.【答案】C10數(shù)列an滿足a1，an11，則a2 013等于()A. B1C2 D3【解析】a1，an11，a211，a312，a41，a511，a612，an3kan(nN*，kN*)a2 013a33670a32.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在橫線上)11一個數(shù)列an的前n項為，.則猜想它的一個通項公式為an_.【解析】數(shù)列可寫成，.猜想通項公式an.【答案】12觀察下列的圖形中小正方形的個數(shù)，則第6個圖中有_個小正方形，第n個圖中有_個小正方形圖1【解析】根據(jù)規(guī)律和第6個圖形中有123456728.第n個圖形中有12(n1).【答案】2813用反證法證明命題“若x2(ab)xab0，則xa且xb”時，應(yīng)假設(shè)為_【解析】就x是否等于a，b而言有四種情形：xa，xb；xa，xb；xa，xb；xa，xb.故應(yīng)假設(shè)xa或xb.【答案】xa或xb14已知等差數(shù)列an中，有，則在等比數(shù)列bn中，會有類似的結(jié)論：_.【解析】根據(jù)等差、等比數(shù)列中運算的性質(zhì)知：在等比數(shù)列bn中會有.【答案】三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)用反證法證明：如果x>，那么x22x10.【證明】假設(shè)x22x10，則解得x11，x21.又x1<，x2<，這與已知x>矛盾故假設(shè)不成立，x22x10成立16(本小題滿分12分)試比較2n與n2(nN*)的大小關(guān)系，并用數(shù)學歸納法證明【證明】當n1時，21>12，即2n>n2，當n2時，2222，即2nn2，當n3時，23<32，即2n<n2，當n4時，2442，即2nn2，當n5時，25>52，即2n>n2，當n6時，26>62，即2n>n2，猜測，當n5時，2n>n2.下面用數(shù)學歸納法證明猜測成立當n5時，由上可知猜測成立設(shè)nk(k5)時，命題成立，即2k>k2.2k122k>2k2k2k2>k2(2k1)(k1)2，即nk1時命題也成立由和可得，n5時，2n>n2(nN*)17(本小題滿分12分)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖2為她們刺繡中最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形圖2(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f(n1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達式；(3)求的值【解】(1)f(5)41.(2)因為f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由以上規(guī)律，可得出f(n1)f(n)4n，因為f(n1)f(n)4n，所以f(n1)f(n)4n，所以f(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)fn(n1)4(n1)4(n2)4(n3)4n(n1)2n22n1.(3)當n2時，()，所以1(1)1(1).18(本小題滿分14分)已知a、b、c0，求證：a3b3c3(a2b2c2)(abc)【證明】a、b、c0，a2b22ab，(a2b2)(ab)2ab(ab)，a3b3a2bab22ab(ab)2a2b2ab2，a3b3a2bab2.同理，b3c3b2cbc2，a3c3a2cac2，將三式相加得，2(a3b3c3)a2bab2b2cbc2a2cac2.3(a3b3c3)(a3a2ba2c)(b3b2ab2c)(c3c2ac2b)(a2b2c2)(abc)a3b3c3(a2b2c2)(abc)