2019年高考數(shù)學大一輪復習 第四章 第6講 正弦定理和余弦定理訓練 理一、選擇題1在ABC中，C60，AB，BC，那么A等于()A135 B105 C45 D75解析由正弦定理知，即，所以sin A，又由題知，BCAB，A45.答案C2已知a，b，c是ABC三邊之長，若滿足等式(abc)(abc)ab，則角C的大小為()A60 B90 C120 D150解析由(abc)(abc)ab，得(ab)2c2ab，c2a2b2aba2b22abcos C，cos C，C120.答案C3在ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a1，b，則SABC ()A. B. C. D2解析A，B，C成等差數(shù)列，AC2B，B60.又a1，b，sin A，A30，C90.SABC1.答案C4在ABC中，AC，BC2，B60，則BC邊上的高等于 ()A. B. C. D.解析設ABc，BC邊上的高為h.由余弦定理，得AC2c2BC22BCccos 60，即7c244ccos 60，即c22c30，c3(負值舍去)又hcsin 603，故選B.答案B5在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a，b(>0)，A45，則滿足此條件的三角形個數(shù)是()A0 B1C2 D無數(shù)個解析 直接根據(jù)正弦定理可得，可得sin B>1，沒有意義，故滿足條件的三角形的個數(shù)為0.答案 A6已知ABC的面積為，AC，ABC，則ABC的周長等于 ()A3 B3C2 D.解析由余弦定理得b2a2c22accos B，即a2c2ac3.又ABC的面積為acsin ，即ac2，所以a2c22ac9，所以ac3，即acb3，故選A.答案A二、填空題7如圖，ABC中，ABAC2，BC2，點D在BC邊上，ADC45，則AD的長度等于_解析在ABC中，ABAC2，BC2，cos C，sin C；在ADC中，由正弦定理得，AD.答案8已知ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_解析依題意得，ABC的三邊長分別為a，a,2a(a>0)，則最大邊2a所對的角的余弦值為：.答案9在RtABC中，C90，且A，B，C所對的邊a，b，c滿足abcx，則實數(shù)x的取值范圍是_解析xsin Acos Asin.又A，<A<，<sin1，即x(1，答案(1，10若AB2，ACBC，則SABC的最大值_解析(數(shù)形結合法)因為AB2(定長)，可以令AB所在的直線為x軸，其中垂線為y軸建立直角坐標系，則A(1,0)，B(1,0)，設C(x，y)，由ACBC，得 ，化簡得(x3)2y28，即C在以(3,0)為圓心，2為半徑的圓上運動，所以SABC|AB|yC|yC|2，故答案為2.答案2三、解答題11敘述并證明余弦定理解余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍或：在ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，有a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C，法一如圖(1)，圖(1)a2()()22222|cos A2b22bccos Ac2，即a2b2c22bccos A.同理可證b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.法二圖(2)已知ABC中A，B，C所對邊分別為a，b，c，以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系，如圖(2)則C(bcos A，bsin A)，B(c,0)，a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A)2b2cos2A2bccos Ac2b2sin2Ab2c22bccos A.同理可證b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.12在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cos A，sin Bcos C.(1)求tan C的值；(2)若a ，求ABC的面積解(1)因為0A，cos A，得sin A .又cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C.所以tan C.(2)由tan C，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a 及正弦定理，得c .設ABC的面積為S，則Sacsin B.13 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(a，b)在直線x(sin Asin B)ysin Bcsin C上(1)求角C的值；(2)若a2b26(ab)18，求ABC的面積解(1)由題意得a(sin Asin B)bsin Bcsin C，由正弦定理，得a(ab)b2c2，即a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，結合0<C<，得C.(2)由a2b26(ab)18，得(a3)2(b3)20，從而得ab3，所以ABC的面積S32sin .14 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求證：BC；(2)若a ，求ABC的面積(1)證明由bsincsina應用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，sin Bsin C，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1.由于0B，C，從而BC.(2)解BCA，因此B，C.由a ，A，得b2sin ，c2sin ，所以ABC的面積Sbcsin A sinsin cossin