2019-2020年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)6 應(yīng)用舉例（第2課時(shí)）正、余弦定理的綜合應(yīng)用 新人教版必修51已知方程x2sinA2xsinBsinC0有重根，則ABC的三邊a、b、c滿足關(guān)系式()AbacBb2acCabc Dcab答案B解析由0，得4sin2B4sinAsinC0，結(jié)合正弦定理得b2ac.2在ABC中，已知A30，且3ab12，則c的值為()A4 B8C4或8 D無解答案C解析由3ab12，得a4，b4，利用正弦定理可得B為60或120，從而解出c的值3在ABC中，A60，AB2，且ABC的面積SABC，則邊BC的長為()A. B3C. D7答案A解析由SABC，得ABACsinA.即2AC，AC1，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA22122213.BC.4在ABC中，2acosBc，則ABC是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等邊三角形答案A解析方法一由余弦定理，得2ac.所以a2c2b2c2.則ab.則ABC是等腰三角形方法二由正弦定理，得22RsinAcosB2RsinC，即2sinAcosBsinC.又sin(AB)sin(AB)2sinAcosB，所以sin(AB)sin(AB)sinC.又ABC，所以sin(AB)sinC.所以sin(AB)0.又0<A<，0<B<，則<AB<.所以有AB，則ABC是等腰三角形講評方法一是轉(zhuǎn)化為三角形的邊的關(guān)系，利用代數(shù)運(yùn)算獲得三角形的關(guān)系式；方法二是轉(zhuǎn)化為三角形的角的關(guān)系，利用三角函數(shù)知識獲得了三角形的角的關(guān)系方法二中，如果沒有想到等式sin(AB)sin(AB)2sinAcosB，那么就會(huì)陷入困境由于受三角函數(shù)知識的限制，提倡將已知條件等式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系來判斷三角形的形狀5(xx安徽)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，則角C()A. B.C. D.答案B解析3sinA5sinB，3a5b.又bc2a，由可得，ab，cb.cosC.C.6已知銳角三角形的邊長分別是3,5，x，則x的取值范圍是()A1<x< B4<x<C1<x<4 D4<x<答案D解析若5最大，則32x252>0，得x>4.若x最大，則3252x2>0，得0<x<.又2<x<8，則4<x<.7在ABC中，已知sinAsinB1，c2b2bc，則三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)依次是_答案45、30、105解析ab，a2b2c22bccosA.2b2b2c22bccosA，又c2b2bc，cosA，A45，sinB，B30，C105.8在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若(bc)cosAacosC，則cosA_.答案解析由正弦定理，得(sinBsinC)cosAsinAcosC.化簡得sinBcosAsin(AC)0<sinB1，cosA.9設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a2bsinA.(1)求B的大小；(2)若a3，c5，求b.解析(1)由a2bsinA，得sinA2sinBsinA，所以sinB.由ABC為銳角三角形，得B.(2)根據(jù)余弦定理，得b2a2c22acosB2725457，所以b.10在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大??；(2)若sinBsinC1，試判斷ABC的形狀解析(1)由已知，根據(jù)正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，得a2b2c22bccosA.故cosA，又A(0，)，故A120.(2)由(1)得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又sinBsinC1，得sinBsinC.因?yàn)?<B<90，0<C<90，故BC.所以ABC是等腰的鈍角三角形11在ABC中，已知B45，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD10，AC14，DC6，求AB的長解析在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理，得cosADC.ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理，得.AB5.12在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)S為ABC的面積，滿足S(a2b2c2)(1)求角C的大??；(2)求sinAsinB的最大值解析(1)由題意可知absinC2abcosC，所以tanC.因?yàn)?<C<，所以C.(2)由已知sinAsinBsinAsin(CA)sinAsin(A)sinAcosAsinAsin(A).當(dāng)ABC為正三角形時(shí)取等號，所以sinAsinB的最大值是.13在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大??；(2)求sinBsinC的最大值解析(1)由已知，根據(jù)正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，得a2b2c22bccosA.故cosA，A120.(2)由(1)，得sinBsinCsinBsin(60B)cosBsinBsin(60B)故當(dāng)B30時(shí)，sinBsinC取得最大值1.重點(diǎn)班選作題14在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a2,2sinAsinC時(shí)，求b及c的長解析(1)因?yàn)閏os2C12sin2C，及0<C<，所以sinC.(2)當(dāng)a2,2sinAsinC時(shí)，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1，及0<C<得cosC.由余弦定理c2a2b22abcosC，得b2b120，解得b或2.所以或1(xx遼寧)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asinBcosCcsinBcosAb，且a>b，則B()A.B.C. D.答案A解析根據(jù)正弦定理，得asinBcosCcsinBcosAb等價(jià)于sinAcosCsinCcosA，即sin(AC).又a>b，AC，B.故選A項(xiàng)2(xx北京)在ABC中，若a2，bc7，cosB，則b_.答案4解析由余弦定理，得cosB，解得b4.3(2011湖北)設(shè)ABC的內(nèi)角，A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若(abc)(abc)ab，則角C_.答案解析由(abc)(abc)ab，整理，可得a2b2c2ab.cosC，C.4(xx北京)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cosA的值；(2)若c的值解析(1)因?yàn)閍3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理，得.所以.故cosA.(2)由(1)知，cosA，所以sinA.又因?yàn)锽2A，所以cosB2cos2A1.所以sinB.在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.所以c5.5(xx江西)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC(cosAsinA)cosB0.(1)求角B的大?。?2)若ac1，求b的取值范圍解析(1)由已知得cos(AB)cosAcosBsinAcosB0，即有sinAsinBsinAcosB0.因?yàn)閟inA0，所以sinBcosB0.又cosB0，所以tanB，又0<B<，所以B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accosB.因?yàn)閍c1，cosB，所以b23(a)2.又0<a<1，于是有b2<1，即b<1.6(xx四川)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cosBsin(AB)sinBcos(AC)，(1)求cosA的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解析(1)由2cos2cosBsin(AB)sinBcos(AC)，得cos(AB)1cosBsin(AB)sinBcosB，即cos(AB)cosBsin(AB)sinB.則cos(ABB)，即cosA.(2)由cosA，0<A<，得sinA.由正弦定理，有，所以，sinB.由題知a>b，則A>B，故B.根據(jù)余弦定理，有(4)252c225c()，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影為|cosB.7(xx重慶)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)設(shè)a，S為ABC的面積，求S3cosBcosC的最大值，并指出此時(shí)B的值解析(1)由余弦定理，得cosA.又因0<A<，所以A.(2)由(1)得sinA，又由正弦定理及a，得SbcsinAasinC3sinBsinC.因此，S3cosBcosC3(sinBsinCcosBcosC)3cos(BC)所以，當(dāng)BC，即B時(shí)，S3cosBcosC取最大值3.8(xx新課標(biāo)全國)已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.解析(1)由acosCasinCbc0及正弦定理，得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因?yàn)锽AC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin(A).又0<A<，故A.(2)ABC的面積SbcsinA，故bc4.而a2b2c22bcosA，故b2c28.解得bc2.9(xx遼寧)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.角A，B，C成等差數(shù)列(1)求cosB的值；(2)邊a，b，c成等比數(shù)列，求sinAsinC的值解析(1)由已知2BAC，ABC180，解得B60，所以cosB.(2)方法一由已知b2ac，及cosB，根據(jù)正弦定理，得sin2BsinAsinC.所以sinAsinC1cos2B.方法二由已知b2ac，及cosB，根據(jù)余弦定理，得cosB，解得ac.所以ACB60，故sinAsinC.1已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊若a1，b，AC2B，則sinC_.答案1解析由AC2B，且ABC得B，AC.由正弦定理，可得sinA.又因?yàn)閍<b，所以A，故CA，sinC1.2(xx四川)在ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且sinA，sinB.(1)求AB的值；(2)若ab1，求a、b、c的值解析(1)A、B為銳角，sinA，sinB，cosA，cosB.cos(AB)cosAcosBsinAsinB.0<AB<，AB.(2)由(1)知C，sinC.由正弦定理，得abc，即ab，cb.ab1，bb1，b1.a，c.3.如圖所示，已知圓O的半徑為1，點(diǎn)C在直徑AB的延長線上，BC1，點(diǎn)P是圓O上半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以PC為邊作等邊三角形PCD，且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè)(1)若POB，試將四邊形OPDC的面積y表示成的函數(shù)；(2)求四邊形OPDC面積的最大值解析(1)在POC中，由余弦定理，得PC2OP2OC22OPOCcos1222212cos54cos.ySOPCSPCD12sin(54cos)sincos2sin().(2)當(dāng)，即時(shí)，ymax2.4已知周長l18，S6，C60，求a、b邊解析周長l18，S6，C60，(方程思想的應(yīng)用)整理(從解這個(gè)方程組的過程中掌握方法)將代入，得c2a2b224.、聯(lián)立：消去c，整理得ab11.由、得a3，b8或a8，b3.5(xx浙江)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos，3.(1)求ABC的面積；(2)若c1，求a的值解析(1)因?yàn)閏os，所以cosA2cos21，sinA.又由3，得bccosA3，所以bc5.因此SABCbcsinA2.(2)由(1)知，bc5.又c1，所以b5.由余弦定理，得a2b2c22bccosA20.所以a2.6(xx江蘇)在ABC中，已知3.(1)求證：tanB3tanA；(2)若cosC，求A的值解析(1)證明：因?yàn)?，所以ABACcosA3BABCcosB.即ACcosA3BCcosB，由正弦定理知，從而sinBcosA3sinAcosB.又因?yàn)?<AB<，所以cosA>0，cosB>0.所以tanB3tanA.(2)因?yàn)閏osC，0<C<，所以sinC.從而tanC2，于是tan(AB)2，即tan(AB)2.亦即2，由(1)得2，解得tanA1或.因?yàn)閏osA>0，故tanA1，所以A.7在ABC中，已知內(nèi)角A，邊BC2.設(shè)內(nèi)角Bx，周長為y.(1)求函數(shù)yf(x)的解析式和定義域；(2)求y的最大值解析(1)ABC的內(nèi)角和ABC.由A，B>0，C>0，得0<B<應(yīng)用正弦定理，知ACsinBsinx4sinx，ABsinC4sin(x)因?yàn)閥ABBCAC，所以y4sinx4sin(x)2(0<x<)(2)因?yàn)閥4(sinxcosxsinx)24sin(x)2(<x<)，所以，當(dāng)x，即x時(shí)，y取得最大值6.8(xx安徽)設(shè)ABC是銳角三角形，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對邊長，并且sin2Asin(B)sin(B)sin2B.(1)求角A的值；(2)若12，a2，求b，c(其中bc)解析(1)因?yàn)閟in2A(cosBsinB)(cosBsinB)sin2Bcos2Bsin2Bsin2B，所以sinA.又A為銳角，所以A.(2)由12，可得cbcosA12.由(1)知A，所以cb24.由余弦定理知a2c2b22cbcosA，將a2及代入，得c2b252.由2，得(cb)2100，所以cb10.因此，c，b是一元二次方程t210t240的兩個(gè)根解此方程并由cb知c6，b4.9(xx大綱全國)已知ABC的內(nèi)角A，B及其對邊a，b滿足abacotAbcotB，求內(nèi)角C.解析由abacotAbcotB及正弦定理，得sinAsinBcosAcosB，sinAcosAcosBsinB.從而sinAcoscosAsincosBsinsinBcos，sin(A)sin(B)又0<AB<，故AB，AB.所以C.10在ABC中，B45，AC，cosC.(1)求BC邊的長；(2)記AB的中點(diǎn)為D，求中線CD的長解析(1)由cosC，得sinC.sinAsin(18045C)(cosCsinC).由正弦定理知BCsinA3.(2)ABsinC2.BDAB1.由余弦定理知CD.11已知函數(shù)f(x)2sinxcos2cosxsinsinx(0<<)在x處取最小值(1)求的值；(2)在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊已知a1，b，f(A)，求角C.解析(1)f(x)2sinxcosxsinsinxsinxsinxcoscosxsinsinxsinxcoscosxsinsin(x)，因?yàn)閒(x)在x處取最小值，所以sin()1.故sin1.又0<<，所以.(2)由(1)知f(x)sin(x)cosx.因?yàn)閒(A)cosA，且A為ABC的內(nèi)角，所以A.由正弦定理，得sinB.所以B或B.當(dāng)B時(shí)，CAB，當(dāng)B時(shí)，CAB.綜上所述，C或C.12(1)在銳角ABC中，已知A2B，試求的取值范圍(2)在ABC中，已知c1，b2，求角C的最大值解析(1)ABC是銳角三角形，B<90，A<90，C<90.由題意，得解得30<B<45.由正弦定理，得2cosB.又<cosB<，<<.(2)由正弦定理，得sinCsinB.c<b，即角C為銳角，C30，即角C的最大值為30.