2019年高考數(shù)學總復習 第8章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時跟蹤檢測 理（含解析）新人教版1如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么，這條斜線與平面所成的角是()A.B.C.D.解析：選Dcosa，b且a，b(0，)，a，b. 2在正方形ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為棱AA1和BB1的中點，則 sin，的值為()A.B.C.D.解析：選B設正方體的棱長為2，以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標系，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，.故選B. 3(xx汕頭調(diào)研)如圖，在四面體ABCD中，AB1，AD2，BC3，CD2，ABCDCB，則二面角ABCD的大小為()A.B.C.D.解析：選B依題意可知，二面角ABCD的大小等于與所成角的大小，2|cos，即1214922 cos，cos，與所成的角為，所以二面角ABCD的大小為.故選B. 4如圖所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和CD所成的角是()A60B45C30D90解析：選B以D為原點，分別以射線DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸的非負半軸建立空間直角坐標系Dxyz，設正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，(0,1,0)，cos，135，異面直線EF和CD所成的角是45.故選B. 5(xx西安模擬)已知三棱錐SABC中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，SA底面ABC，SA3，那么直線AB與平面SBC所成的角的正弦值為()A.B.C.D.解析：選D建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則B(2,0,0)，A(0,0,0)，S(0,0,3)，C(1，0)設平面SBC的法向量為n(x，y，z)，由得，令x3，則n(3，2)又(2,0,0)設直線AB與平面SBC所成角為，則 sin |cos，n|.故選D. 6(xx金華十校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小為60，則AD的長為()A.B.C2D.解析：選A如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則C(0，0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0，0,2)設ADa，則D點坐標為(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)設平面B1CD的法向量為m(x，y，z)由，得，令z1，則m(a,1，1)又平面C1DC的一個法向量為n(0,1,0)，則由 cos 60，得，解得a，所以AD.故選A. 7設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是_解析：建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)設平面A1BD的一個法向量為n(x，y，z)則由得，令x1，則n(1，1，1)又(0,0,2)所以點D1到平面A1BD的距離d. 8(xx福州質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是邊長為1的正三角形，側(cè)棱AA1底面ABC，點D在棱BB1上，且BD1，若AD與平面AA1C1C的夾角為，則 sin 的值為_解析：如圖，建立空間直角坐標系，易知點D，平面AA1C1C的一個法向量是n(1,0,0)，所以cosn，所以sin . 9(xx昆明模擬)已知點E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為_解析：如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，設DA1，由已知條件得，A(1,0,0)，E，F(xiàn)，.設平面AEF的法向量為n(x，y，z)，平面AEF與平面ABC所成的二面角為，由，得.令y1，則n(1,1，3)又平面ABC的一個法向量為m(0,0，1)，則 cos |cosn，m|，所以tan . 10(xx湖南高考)如圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)求證：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值(1)證明：易知，AB，AD，AA1兩兩垂直如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系設ABt，則相關各點的坐標為：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因為ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因為3300，所以，即ACB1D.(2)解：由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)設n(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，由得，令x1，則n(1，)設直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin |cosn，|.所以直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. 11(xx東營模擬)如圖，四邊形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC4，AB2，點E，F(xiàn)分別在BC，AD上，且E為BC的中點，EFAB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使二面角AEFD等于60.(1)設P為AD的中點，求證：CP平面ABEF；(2)求直線AF與平面ACD所成角的正弦值(1)證明：取AF的中點Q，連QE，QP，則QP綊DF.又DF4，EC2，且DFEC，所以PQ綊EC，所以四邊形PQEC為平行四邊形，所以CPQE.又QE平面ABEF，CP平面ABEF，所以CP平面ABEF.(2)解：由題知折疊后仍有EFAF，EFFD，則EF平面AFD.AFD為二面角AEFD的平面角，所以AFD60.過A作AOFD于O，又AOEF，AO平面CDFE.作OGEF交EC于G，則OGFD，AOOG，分別以OG，OD，OA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，在RtAOF中，AF2，AFO60，則FO1，OA，F(xiàn)(0，1,0)，A (0,0，)，D(0,3,0)，C(2,1,0)，(0，1，)，(0,3，)，(2,2,0)，設平面ACD的一個法向量為n(x，y，z)，由得，令z，則n(1,1，)設直線AF與平面ACD所成的角為，則sin |cosn，|，即直線AF與平面ACD所成角的正弦值為.12(xx北京高考)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5，(1)求證：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)求證：在線段BC1上存在點D，使得ADA1B，并求的值(1)證明：因為AA1C1C為正方形，所以AA1AC.因為平面ABC平面AA1C1C，且AA1AC，所以AA1平面ABC.(2)解：由(1)知AA1AC，AA1AB.由題知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如圖，以A為原點建立空間直角坐標系Axyz，則B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)設平面A1BC1的法向量為n(x，y，z)，則得，令z3，則x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得平面B1BC1的法向量為m(3,4,0)所以 cosn，m.由圖形知二面角A1BC1B1為銳角，所以二面角A1BC1B1的余弦值為.(3)證明：設D(x，y，z)是直線BC1上一點，且，所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由0，得9250，解得.因為0,1，所以在線段BC1上存在點D，使得ADA1B，此時，. 1(xx唐山調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，AB3，BC4，沿對角線BD將ABD折起，使A點在平面BCD內(nèi)的射影O落在BC邊上，若二面角CABD的大小為，則 sin ()A.B.C.D.解析：選A由可求得BO，OC，AO，建立空間直角坐標系，如圖，則C，B，A，D，故(4,3,0)，.設m(x，y，z)是平面ABD的法向量，則，令z3，則m.又(0,3,0)是平面ABC的一個法向量，cosm，.sin .故選A. 2如圖，三棱錐ABCD中，E是BC的中點，DB4，DC2，BDDC，ABAD2，AE平面BCD，二面角ABDC的大小為60.則直線AC與平面ABD所成角的正弦值為_解析：取BD的中點M，連接ME，建立如圖所示的空間直角坐標系Mxyz，則A(0,1，)，B(2,0,0)，D(2,0,0)，C(2，2,0)，故(2，1，)，(2，1，)，(2,1，)設平面ABD的法向量為n(x，y，z)，則，令 z1，得n(0，1)，設直線AC與平面ABD所成的角為，則 sin ，所以直線AC與平面ABD所成角的正弦值為. 3(xx東北三校聯(lián)考)如圖，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱AA1底面ABC，ACB90，E是棱CC1上的動點，F(xiàn)是AB的中點，AC1，BC2，AA14.(1)當E是棱CC1的中點時，求證：CF平面AEB1；(2)在棱CC1上是否存在點E，使得二面角AEB1B的余弦值是？若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由解：(1)取AB1的中點G，連EG、FG.F，G分別是棱AB，AB1的中點，F(xiàn)GBB1，F(xiàn)GBB1，又ECBB1，ECCC1BB1，F(xiàn)GEC，F(xiàn)GEC，四邊形FGEC是平行四邊形，CFEG.CF平面AEB1，EG平面AEB1，CF平面AEB1.(2)以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,4)設E(0,0，m)(0m4)，平面AEB1的法向量n1(x，y，z)(1,2,4)，(1,0，m)由n1，n1，得解得.令z2，則n1(2m，m4,2)CA平面C1CBB1，是平面EBB1的一個法向量，令n2(1,0,0)，二面角AEB1B的余弦值為，cosn1，n2，解得m1滿足0m4.在棱CC1上存在點E，符合題意，此時CE1.4(xx衡水一中模擬)如圖，在三棱錐PABC中，PAPBPCAC4，ABBC2.(1)求證：平面ABC平面APC；(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；(3)若動點M在底面三角形ABC上，二面角MPAC的余弦值為，求B點到AM的最小值(1)證明：取AC中點O，因為APCP，所以OPOC.由已知易得三角形ABC為直角三角形，OAOBOC，POAPOBPOC，OPOB，OP平面ABC，又OP平面PAC，平面ABC平面APC.(2)解：以O為坐標原點，OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2)，(2,2,0)，(2,0，2)，(0,2,2)設平面PBC的法向量n1(x，y，z)，由得，令x，則n1(，1)，cos，n1.直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.(3)解：由題意平面PAC的法向量n2(2,0,0)，設平面PAM的法向量為n3(x，y，z)，M(m，n,0)(0,2,2)，(m，n2,0)，由得.令z1，則n3，cosn2，n3，整理得3232，(n2)4m，點M所在的直線方程為4mn20.B點到AM的距離的最小值為d.