2019-2020年高考數學專題復習 第13講 導數的概念及其運算練習 新人教A版考情展望1.利用導數的幾何意義求曲線在某點處的切線方程.2.考查導數的有關計算一、導數的概念1函數yf(x)在xx0處的導數：(1)定義：稱函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率 為函數yf(x)在xx0處的導數，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)幾何意義：函數f(x)在點x0處的導數f(x0)的幾何意義是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線斜率(瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數)相應地，切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2函數f(x)的導函數：稱函數f(x) 為f(x)的導函數二、基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)三、導數的運算法則1f(x)g(x)f(x)g(x)；2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；3.(g(x)0)導數的運算法則特例及推廣(1)af(x)bg(x)af(x)bg(x)，其中a，b為常數(2)(f(x)0)(3)導數的加法與減法法則，可由兩個可導函數推廣到任意有限個可導函數的情形，即u(x)v(x)(x)u(x)v(x)(x)四、復合函數的導數設uv(x)在點x處可導，yf(u)在點u處可導，則復合函數fv(x)在點x處可導，且f(x)f(u)v(x)，即yxyuux.“分解求導回代”法求復合函數的導數(1)分解適當選定中間變量，正確分解復合關系，即說明函數關系yf(u)，ug(x)；(2)求導分步求導(弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導)，要特別注意中間變量對自變量求導，即先求yu，再求ux；(3)回代計算yuux，并把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數1某汽車的路程函數是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，則當t2 s時，汽車的加速度是()A14 m/s2B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2【解析】由題意知，汽車的速度函數為v(t)s(t)6t2gt，則v(t)12tg，故當t2 s時，汽車的加速度是v(2)1221014 m/s2.【答案】A2函數yxcos xsin x的導數為()Axsin x Bxsin xCxcos x Dxcos x【解析】f(x)cos xxsin xcos xxsin x.【答案】B3已知f(x)xln x，若f(x0)2，則x0等于()Ae2 BeC. Dln 2【解析】f(x)的定義域為(0，)，f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.【答案】B4曲線yx311在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是()A9 B3C9 D15【解析】yx311，y3x2，y|x13，曲線yx311在點P(1,12)處的切線方程為y123(x1)令x0，得y9.【答案】C5(xx江西高考)若曲線yx1(R)在點(1,2)處的切線經過坐標原點，則_.【解析】因為yx1，所以在點(1,2)處的切線斜率k，則切線方程為y2(x1)又切線過原點，故02(01)，解得2.【答案】26(xx廣東高考)若曲線ykxln x在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k_.【解析】函數ykxln x的導函數為yk，由導數y|x10，得k10，則k1.【答案】1考向一 036導數的計算求下列函數的導數：(1)yexsin x；(2)yx；(3)yxsin cos ；(4)y.【思路點撥】(1)利用積的導數運算法則求解，(2)(3)先化簡再求導，(4)利用商的導數運算法則和復合函數求導法則求解【嘗試解答】(1)y(ex)sin xex(sin x)exsin xexcos x.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)y.規(guī)律方法11.本例在解答過程易出現商的求導中，符號判定錯誤.2.求函數的導數的方法(1)連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導.(2)根式形式：先化為分數指數冪，再求導.(3)復雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導.(4)復合函數：確定復合關系，由外向內逐層求導.(5)不能直接求導的：適當恒等變形，轉化為能求導的形式再求導.對點訓練求下列函數的導數：(1)y(1)；(2)y3xexln xe；(3)ye2x.【解】(1)y(1)2xx，yxx.(2)y(3x)ex3x(ex)3xexln 33xex3xexln(3e).(3)y(3x)(3x)e2x(2x)(3x)2e2x.考向二 037導數幾何意義的應用設函數f(x)ax，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值【思路點撥】(1)(2)【嘗試解答】(1)方程7x4y120可化為yx3.當x2時，y.又f(x)a，于是，解得，故f(x)x.(2)設P(x0，y0)為曲線yf(x)上任一點，由y1知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為yy0(xx0)，即y(xx0)令x0得y，從而得切線與直線x0的交點坐標為.令yx得yx2x0，從而得切線與直線yx的交點坐標為(2x0,2x0)所以點P(x0，y0)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為|2x0|6.故曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.規(guī)律方法21.切點(2，f(2)既在切線上，又在曲線f(x)上，從而得到關于a，b的方程組.2.在求切線方程時，應先判斷已知點Q(a，b)是否為切點，若已知點Q(a，b)不是切點，則應求出切點的坐標，其求法如下：(1)設出切點的坐標P(x0，y0)；(2)解方程組(3)利用點斜式寫出切線方程.對點訓練已知f(x)ln x，g(x)x3x2mxn，直線l與函數f(x)，g(x)的圖象都相切于點(1,0)(1)求直線l的方程；(2)求函數g(x)的解析式【解】(1)l是f(x)ln x在點(1,0)處的切線，其斜率kf(1)1，因此直線l的方程為yx1.(2)又l與g(x)相切于點(1,0)，g(1)1，且g(1)0.因此所以函數g(x)x3x2x.易錯易誤之四求切線方程“在”、“過”兩重天1個示范例1個防錯練已知曲線yx3上一點P，求過點P的切線方程【解】(1)當P為切點時，由yx2，得y|x24，即過點P的切線方程的斜率為4.則所求的切線方程是y4(x2)，即12x3y160.(2)當P點不是切點時，設切點為Q(x0，y0)，此處誤認為點P即為切點，而直接利用導數的幾何意義求切線方程，出現此種錯誤的原因是審題不清，不明確導致的幾何意義.則切線方程為yxx(xx0)，因為切線過點P，把P點的坐標代入以上切線方程，求得x01或x02(即點P，舍去)，所以切點為Q，即所求切線方程為3x3y20；綜上所述，過點P的切線方程為12x3y160或3x3y20.【防范措施】(1)“在”曲線上一點處的切線問題，先對函數求導，代入點的橫坐標得到斜率.(2)“過”曲線上一點的切線問題，此時該點未必是切點，故應先設切點，求切點坐標.(xx蘭州模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線yx3和yax2x9都相切，則a等于()A1或B1或C或 D或7【解析】設過(1,0)的直線與yx3相切于點(x0，x)，所以切線方程為yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切線上，則x00或x0，當x00時，由y0與yax2x9相切可得a，當x0時，由yx與yax2x9相切可得a1，所以選A.【答案】A