2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第32講 二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標(biāo)函數(shù)最值(或取值范圍).2.考查約束條件、目標(biāo)函數(shù)中的參變量的取值范圍.3.利用線性規(guī)劃方法設(shè)計(jì)解決實(shí)際問題的最優(yōu)方案一、二元一次不等式表示的平面區(qū)域及其判斷方法1二元一次不等式表示的平面區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線AxByC0分成三類：(1)滿足AxByC0的點(diǎn)；(2)滿足AxByC>0的點(diǎn)；(3)滿足AxByC<0的點(diǎn)2二元一次不等式表示平面區(qū)域的判斷方法直線l：AxByC0把坐標(biāo)平面內(nèi)不在直線l上的點(diǎn)分為兩部分，當(dāng)點(diǎn)在直線l的同一側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)使式子AxByC的值具有相同的符號(hào)，當(dāng)點(diǎn)在直線l的兩側(cè)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)使AxByC的值具有相反的符號(hào)二、線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題二元一次函數(shù)zaxby(ab0)的最值同直線zaxby0在y軸上截距的關(guān)系求二元一次函數(shù)zaxby(ab0)的最值，利用其幾何意義，通過求yx的截距的最值間接求出z的最值(1)當(dāng)b0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值(2)當(dāng)b0時(shí)，結(jié)論與b0的情形恰好相反1不等式組表示的平面區(qū)域是()【解析】x3y60表示直線x3y60及左下方部分，xy2<0表示直線xy20右上方部分故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)B所示部分【答案】B2已知變量x，y滿足約束條件則z3xy的最大值為()A12B11C3D1【解析】可行域如圖中陰影部分所示先畫出直線l0：y3x，平移直線l0，當(dāng)直線過A點(diǎn)時(shí)z3xy的值最大，由得A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)z最大33211.【答案】B3某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為()A甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱【解析】設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，則，甲、乙兩車間每天能夠獲得的利潤(rùn)為280x200y，畫出可行域，由線性規(guī)劃可知當(dāng)直線z280x200y經(jīng)過xy70與10x6y480的交點(diǎn)(15,55)時(shí)，z280x200y取到最大值，因此，甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱時(shí)，每天能夠獲得的利潤(rùn)最大【答案】B4在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是_【解析】不等式組表示的區(qū)域如圖中的陰影部分所示，由得A(1，1)，由得B(1，3)，由得C(2，2)，|AB|2，SABC211.【答案】15(xx福建高考)若變量x，y滿足約束條件則z2xy的最大值和最小值分別為()A4和3B4和2C3和2 D2和0【解析】作出可行域如圖陰影部分作直線2xy0，并向右上平移，過點(diǎn)A時(shí)z取最小值，過點(diǎn)B時(shí)z取最大值，可求得A(1,0)，B(2,0)，zmin2，zmax4.【答案】B6(xx山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動(dòng)點(diǎn)，則直線OM斜率的最小值為()A2 B1C D【解析】如圖所示，所表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分由得A(3，1)當(dāng)M點(diǎn)與A重合時(shí)，OM的斜率最小，kOM.【答案】C考向一 109二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為()A4B1C5D6(2)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分，則k的值是()A. B. C. D.【思路點(diǎn)撥】(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，確定平面區(qū)域的形狀，從而求出面積(2)畫出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點(diǎn)，結(jié)合圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可【嘗試解答】(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，ABC的面積即為所求，求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則ABC的面積為S(21)21.(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由于直線ykx過定點(diǎn).因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線ykx能平分平面區(qū)域因?yàn)锳(1,1)，B(0,4)，所以AB中點(diǎn)D.當(dāng)ykx過點(diǎn)時(shí)，所以k.【答案】(1)B(2)A規(guī)律方法11.解答本例(2)的關(guān)鍵是根據(jù)直線ykx過定點(diǎn)，利用面積相等確定直線所經(jīng)過的邊界上的點(diǎn).2.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判定方法：(1)同號(hào)上，異號(hào)下.當(dāng)B(AxByC)>0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的上方，當(dāng)B(AxByC)<0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€AxByC0的下方.(2)直線定界、特殊點(diǎn)定域.應(yīng)注意是否包括邊界，若不包括邊界，則應(yīng)將邊界畫成虛線；若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知關(guān)于x，y的不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為4，則k的值為()A1B3C1或3D0【解析】其中平面區(qū)域kxy20是含有坐標(biāo)原點(diǎn)的半平面，直線kxy20又過定點(diǎn)(0,2)，這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為4，確定一個(gè)封閉的區(qū)域，作出平面區(qū)域即可求解平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)平面區(qū)域面積為4，得A(2,4)，代入直線方程，得k1.【答案】A考向二 110求目標(biāo)函數(shù)的最值(xx課標(biāo)全國(guó)卷改編)設(shè)x，y滿足約束條件(1)求z2xy的最大值(2)若z，求z的取值范圍【思路點(diǎn)撥】明確目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找最優(yōu)解，代入求值【嘗試解答】(1)作出可行域，進(jìn)一步探索最大值作出可行域如圖陰影部分作直線2xy0，并向右平移，當(dāng)平移至直線過點(diǎn)B時(shí)，z2xy取最大值而由得B(3,3)zmax2333.(2)z表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，觀察可行域知，可行域內(nèi)的點(diǎn)A和點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離分別為最大和最小又由得A(1,1)由得C(3,4)故|OA|，|OC|5.z的取值范圍為，5 規(guī)律方法21.本例求解的關(guān)鍵在于：(1)準(zhǔn)確作出可行域；(2)明確目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.2.(1)線性目標(biāo)函數(shù)zaxby的幾何意義與直線axbyz0在y軸上的截距有關(guān)，當(dāng)b0時(shí)，直線axbyz0在y軸上的截距越大，z值越大；當(dāng)b0時(shí)，情況相反.(2)常見的非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義：表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率；表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3xy的取值范圍是_【解析】作不等式組表示的可行域，如圖所示，作直線l0：3xy0，并上下平移當(dāng)直線過點(diǎn)A、B時(shí)，z分別取得最大值、最小值由得A(2,0)由得點(diǎn)B，zmax3206，zmin33.故z的取值范圍是.【答案】考向三 111線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動(dòng)力、煤和電耗如下表：產(chǎn)品品種勞動(dòng)力(個(gè))煤(噸)電(千瓦)A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品的利潤(rùn)是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤(rùn)是12萬元，現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有勞動(dòng)力300個(gè)，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦，試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤(rùn)？【思路點(diǎn)撥】題目的設(shè)問是“該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤(rùn)”，這個(gè)利潤(rùn)是由兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)所決定的，因此A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤(rùn)，故可以設(shè)出A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，列不等式組和建立目標(biāo)函數(shù)【嘗試解答】設(shè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤(rùn)為z萬元，依題意，得目標(biāo)函數(shù)為z7x12y.作出可行域，如圖陰影所示當(dāng)直線7x12y0向右上方平行移動(dòng)時(shí)，經(jīng)過M時(shí)z取最大值解方程組得因此，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(20,24)該企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時(shí)，才能獲得最大利潤(rùn)規(guī)律方法31.求解本例的關(guān)鍵是找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.為尋找各量之間的關(guān)系，最好是列出表格.2.解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟是：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元0.3萬元為使一年的種植總利潤(rùn)(總利潤(rùn)總銷售收入總種植成本)最大，求黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別是多少畝？【解】 設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝，由題意得即設(shè)總利潤(rùn)為z，則zx0.9y.作可行域如圖所示，由得A(30,20)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線l向右平移，移至點(diǎn)A(30,20)處時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植30畝，韭菜種植20畝時(shí)，種植總利潤(rùn)最大黃瓜和韭菜分別種植30畝、20畝時(shí)，一年種植的總利潤(rùn)最大思想方法之十五數(shù)形結(jié)合破解線性規(guī)劃中參變量問題線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，從圖形上找思路恰好體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用含參變量的線性規(guī)劃問題，其參變量的設(shè)置形式通常有以下兩種：(1)條件中的參變量：條件不等式組中含有參變量，由于不能明確可行域的形狀，因此增加了解題時(shí)畫圖分析的難度求解這類問題時(shí)要有全局觀念，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)逆向分析題意，整體把握解題的方向(2)目標(biāo)函數(shù)中的參變量：目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參變量，旨在增加探索問題的動(dòng)態(tài)性和開放性從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，對(duì)圖形的動(dòng)態(tài)進(jìn)行分析，對(duì)變化過程中的相關(guān)量準(zhǔn)確定位，這是求解這類問題的主要思維方法1個(gè)示范例1個(gè)對(duì)點(diǎn)練(xx課標(biāo)全國(guó)卷)已知a0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A.B.C1D2【解析】作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)易知直線z2xy過交點(diǎn)A時(shí)，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故選B.(xx大綱全國(guó)卷)記不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若直線ya(x1)與D有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_【解析】直線ya(x1)恒過定點(diǎn)P(1,0)且斜率為a，作出可行域后數(shù)形結(jié)合可解不等式組所表示的平面區(qū)域D為如圖所示陰影部分(含邊界)，且A(1,1)，B(0,4)，C.直線ya(x1)恒過定點(diǎn)P(1,0)且斜率為a.由斜率公式可知kAP，kBP4.若直線ya(x1)與區(qū)域D有公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a4.【答案】