2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第42課 數(shù)列的綜合應(yīng)用要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)數(shù)列與新背景、新定義的綜合問題(xx東莞一模)如圖,有一個形如六邊形的點(diǎn)陣,它的中心是1個點(diǎn)(算第1層),第2層每邊有2個點(diǎn),第3層每邊有3個點(diǎn),依次類推.(1) 第n(n2)層的點(diǎn)數(shù)為;(2) 如果一個六邊形點(diǎn)陣共有169個點(diǎn),那么它一共有層.(例1)思維引導(dǎo)(1) 可將第1,2,3,4,5層的點(diǎn)數(shù)一一列出,組成數(shù)列,然后判斷數(shù)列的特點(diǎn),猜出結(jié)論;(2) 根據(jù)(1)的結(jié)果求解.答案(1) 6(n-1)(2) 8解析(1) 第1層的點(diǎn)數(shù)為1,第2層的點(diǎn)數(shù)為6,第3層的點(diǎn)數(shù)為12,第4層的點(diǎn)數(shù)為18,第5層的點(diǎn)數(shù)為24,它們組成數(shù)列:1,6,12,18,24,分別記為a1,a2,a3,a4,a5.因?yàn)閍3-a2=6,a4-a3=6,a5-a4=6,猜想an-an-1=6(n2),所以當(dāng)n2時,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可知an=a2+(n-2)d=6+(n-2)6=6(n-1),即an=6(n-1)(n2).(2) 由(1)得+1=169,解得n=8.精要點(diǎn)評(1) 對于數(shù)列與新背景、新定義的綜合問題,此類問題出題背景廣、新穎,解題的關(guān)鍵是讀懂題意,有效地將信息轉(zhuǎn)化,能較好地考查學(xué)生分析、解決問題的能力和知識的遷移能力.一般以客觀題或解答題的形式出現(xiàn),屬于低、中檔題.(2) 解決數(shù)列與新背景、新定義的綜合問題,可通過對新數(shù)表、圖象、新定義的分析、探究,將問題轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列的問題.根據(jù)圖中的5個圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個數(shù)的變化規(guī)律,試猜測第n個圖中有個點(diǎn).(變式)答案n2-n+1解析序號n決定了每個圖的分支數(shù),而第n個分支有(n-1)個點(diǎn),中心再加1點(diǎn),故有n(n-1)+1=n2-n+1個點(diǎn).數(shù)列與函數(shù)、不等式等綜合問題若數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,nN*.(1) 當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時,數(shù)列an是等比數(shù)列?(2) 在(1) 的結(jié)論下,設(shè)bn=log3an+1,Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和,求T2 015的值.思維引導(dǎo)解答本題需要掌握以下幾個關(guān)鍵的知識點(diǎn):(1) 利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系;(2) 用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解答(1) 由題意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),兩式相減,得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2),所以當(dāng)n2時,an是等比數(shù)列.要使an是等比數(shù)列,則需=3,從而得出t=1.(2) 由(1)知an=3n-1,bn=log3an+1=n,=-,T2 015=+=+=.精要點(diǎn)評本題以函數(shù)為背景,考查數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系、等比數(shù)列、對數(shù)知識、裂項(xiàng)求前n項(xiàng)和等問題,內(nèi)容較綜合,但難度一般.(xx揚(yáng)州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),數(shù)列an滿足a1=1,an=f(nN*,n2),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解答因?yàn)閍n=f=an-1+(nN*,且n2),所以an-an-1=(n2).因?yàn)閍1=1,所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列,所以an=.數(shù)列型的實(shí)際應(yīng)用問題某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金xx萬元,將其投入生產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始,每年年底上繳資金d萬元,并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.(1) 用d表示a1,a2,并寫出an+1與an的關(guān)系式;(2) 若公司希望經(jīng)過n(n3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元,試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用n表示).解答(1)由題意得a1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d,an+1=an(1+50%)-d=an-d.(2) 由(1)得an=an-1-d=an-2-d-d=-d=a1-d,整理得an=(3 000-d)-2d=(3 000-3d)+2d.由題意知an=4 000,所以(3 000-3d)+2d=4 000,解得d=.故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時,經(jīng)過n(n3)年企業(yè)的剩余資金為4 000元.精要點(diǎn)評與一般應(yīng)用題類似,審清題意是解決此類問題的前提.本題中出現(xiàn)了等差數(shù)列與等比數(shù)列的常見問題,即求通項(xiàng)公式,分清類別是解題的關(guān)鍵.題中還出現(xiàn)了數(shù)列的項(xiàng)的值與某數(shù)值的大小比較等,也屬常規(guī)問題,僅需常規(guī)處理即可.(xx北京房山區(qū)模擬)xx年,我國南方省市遭遇旱澇災(zāi)害,為防洪抗旱,某地區(qū)大面積植樹造林.如圖,在區(qū)域(x,y)|x0,y0內(nèi)植樹,第一棵樹在點(diǎn)A1(0,1),第二棵樹在點(diǎn)B1(1,1),第三棵樹在點(diǎn)C1(1,0),第四棵樹在點(diǎn)C2(2,0),接著按圖中箭頭方向,每隔一個單位種一棵樹,那么第xx棵樹所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是.(變式)答案(10,44)解析OA1B1C1設(shè)為第一個正方形,種植3棵樹,依次下去,第二個正方形種植5棵樹,第三個正方形種植7棵樹它們構(gòu)成一個首項(xiàng)為3、公差為2的等差數(shù)列,所以前n項(xiàng)和Sn=3n+2=n2+2n,因?yàn)镾43=1 935,S44=2 024,所以2 024-xx=10,根據(jù)圖象知第2 014棵樹所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是(10,44).1. 已知an為等差數(shù)列,若a1+a5+a9=2,則cos(a2+a8)的值為.答案-解析a1+a5+a9=3a5=2,則a5=,a2+a8=2a5=.所以cos(a2+a8)=cos=-.2. 某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n=.答案63. (xx鹽城模擬)在數(shù)列an中,a1=0,-=1,設(shè)bn=,記Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,則S99=.答案解析由題意可得,數(shù)列是以1為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列,所以=n,從而有an=,所以bn=-,所以數(shù)列bn的前99項(xiàng)的和S99=+=1-=.4. (xx湖北模擬)在ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,且不等式-x2+6x-8>0的解集為x|a<x<c,則SABC=.答案2解析由于不等式-x2+6x-8>0的解集為x|2<x<4,所以a=2,c=4,又角A,B,C依次成等差數(shù)列,所以B=,于是SABC=24sin=2.溫馨提醒趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成配套檢測與評估中的練習(xí)(第83-84頁).