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2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)53 不等式選講（含解析） 一、選擇題 1.（xx安徽高考文科Ｔ9）與（xx安徽高考理科Ｔ9）相同 若函數(shù)的最小值為3，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A.5或8 B.或5 C.或 D.或8 【解題提示】 以a為目標(biāo)進(jìn)行分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)。 【解析】選D.（1）當(dāng)a<2時(shí)， ； （2）當(dāng)a>2時(shí)，， 由（1）（2）可得，解得a=-4或8。 二、填空題 2. （xx 湖南高考理科Ｔ13）若關(guān)于的不等式的解集為，則 【解題提示】求解絕對(duì)值不等式。 【解析】由得到，，又知道解集為 所以。 答案： 3.(xx廣東高考理科)不等式+≥5的解集為　　　　　　. 【解析】方法一:由得x≤-3; 由無(wú)解; 由得x≥2. 即所求的解集為{x|x≤-3或x≥2}. 方法二:在數(shù)軸上,點(diǎn)-2與點(diǎn)1的距離為3, 所以往左右邊界各找距離為1的兩個(gè)點(diǎn), 即點(diǎn)-3到點(diǎn)-2與點(diǎn)1的距離之和為5, 點(diǎn)2到點(diǎn)-2與點(diǎn)1的距離之和也為5, 原不等式的解集為{x|x≤-3或x≥2}. 答案:{x|x≤-3或x≥2}. 【誤區(qū)警示】易出現(xiàn)解集不全或錯(cuò)誤.對(duì)于含絕對(duì)值的不等式不論是分段去絕對(duì)值號(hào)還是利用幾何意義,都要不重不漏. 4.(xx陜西高考文科T15)（文理共用）A.(不等式選做題)設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則的最小值為　　　　　　　. 【解題指南】本題考查運(yùn)用柯西不等式求最值的問(wèn)題. 【解析】由柯西不等式得 (a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2, 即5(m2+n2)≥25, (m2+n2)≥5, 所以的最小值為. 答案: 5.(xx江西高考文科T15)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,則x+y的取值范圍為　　　　. 【解題指南】利用絕對(duì)值不等式及絕對(duì)值的幾何意義求解. 【解析】由|a|+|b|≥|a-b|知,|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,同理|y|+|y-1|≥1, 故|x|+|y|+|x-1|+|y-1|=2, 所以0≤x≤1且0≤y≤1,即0≤x+y≤2. 答案:[0,2] 三、解答題 6. (xx福建高考理科Ｔ21)不等式選講 已知定義在上的函數(shù)的最小值為． (1)求的值； (2)若是正實(shí)數(shù)，且滿足，求證：． 【解析】(1)∵， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， ∴的最小值為；…………………………………………………3分 (2)由(1)知，又是正實(shí)數(shù)， ∴， 即.……………………………………………………………7分 7. (xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ高考文科數(shù)學(xué)T24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講 設(shè)函數(shù)f(x) =+ (a>0) (1)證明:f≥2. (2)若f<5,求a的取值范圍. 【解題提示】(1)利用絕對(duì)值不等式和均值不等式的性質(zhì)證明. (2)通過(guò)討論脫去絕對(duì)值號(hào),解不等式求得a的取值范圍. 【解析】(1)由a＞0，有f（x）= +|x-a|≥ = +a≥2.所以f(x)≥2. （2）f(3)= +|3-a|. 當(dāng)a＞3時(shí)，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜. 當(dāng)0＜a≤3時(shí)，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3. 綜上，a的取值范圍是. 8.(xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)T24)(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講 設(shè)函數(shù)f(x) =+ (a>0) (1)證明:f≥2. (2)若f<5,求a的取值范圍. 【解題提示】(1)利用絕對(duì)值不等式和均值不等式的性質(zhì)證明. (2)通過(guò)討論脫去絕對(duì)值號(hào),解不等式求得a的取值范圍. 【解析】(1)由a＞0，有f（x）= +|x-a|≥ = +a≥2. 所以f(x)≥2. （2）f(3)= +|3-a|. 當(dāng)a＞3時(shí)，f(3)=a+,由f(3)＜5,得3＜a＜. 當(dāng)0＜a≤3時(shí)，f(3)=6-a+,由f(3)＜5，得＜a≤3. 綜上，a的取值范圍是.