2019年高考數(shù)學大一輪復習 第九章 第6講 拋物線訓練 理一、選擇題1拋物線x2(2a1)y的準線方程是y1，則實數(shù)a()A. B. C D解析 根據(jù)分析把拋物線方程化為x22y，則焦參數(shù)pa，故拋物線的準線方程是y，則1，解得a.答案D2若拋物線y22px(p>0)的焦點在圓x2y22x30上，則p()A. B1C2 D3解析 拋物線y22px(p>0)的焦點為(，0)在圓x2y22x30上，p30，解得p2或p6(舍去)答案 C3已知拋物線C：y24x的焦點為F，直線y2x4與C交于A，B兩點，則cosAFB()A. B. C D解析由得x25x40，x1或x4.不妨設A(4,4)，B(1，2)，則|5，|2，(3,4)(0，2)8，cosAFB.故選D.答案D4已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析1的離心率為2，2，即4，.x22py的焦點坐標為，1的漸近線方程為yx，即yx.由題意，得2，p8.故C2：x216y，選D.答案D5已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|12，P為C的準線上一點，則ABP的面積為()A18 B24 C36 D48解析如圖，設拋物線方程為y22px(p0)當x時，|y|p，p6.又P到AB的距離始終為p，SABP12636.答案C6已知P是拋物線y24x上一動點，則點P到直線l：2xy30和y軸的距離之和的最小值是()A. B. C2 D.1解析由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)設點P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點P到y(tǒng)軸的距離為|PF|1，所以點P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d|PF|1.易知d|PF|的最小值為點F到直線l的距離，故d|PF|的最小值為，所以d|PF|1的最小值為1.答案D二、填空題7已知動圓過點(1,0)，且與直線x1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_解析設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與其到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.答案y24x8已知拋物線y24x的焦點為F，準線與x軸的交點為M，N為拋物線上的一點，且滿足|NF|MN|，則NMF_.解析 過N作準線的垂線，垂足是P，則有PNNF，PNMN，NMFMNP.又cosMNP，MNP，即NMF.答案 9如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米水位下降1米后，水面寬_米解析如圖建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x22py.由題意A(2，2)代入x22py，得p1，故x22y.設B(x，3)，代入x22y中，得x，故水面寬為2米答案210過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|，|AF|<|BF|，則|AF|_.解析設過拋物線焦點的直線為yk，聯(lián)立得，整理得，k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得，k224，代入k2x2(k22)xk20得，12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|<|BF|，故|AF|x1.答案三、解答題11已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心、橢圓短半軸長為半徑的圓與直線yx2相切(1)求a與b；(2)設該橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l1過F2且與x軸垂直，動直線l2與y軸垂直，l2交l1于點P.求線段PF1的垂直平分線與l2的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型解(1)由e ，得.又由原點到直線yx2的距離等于橢圓短半軸的長，得b，則a.(2)法一由c1，得F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)設M(x，y)，則P(1，y)由|MF1|MP|，得(x1)2y2(x1)2，即y24x，所以所求的M的軌跡方程為y24x，該曲線為拋物線法二因為點M在線段PF1的垂直平分線上，所以|MF1|MP|，即M到F1的距離等于M到l1的距離此軌跡是以F1(1,0)為焦點，l1：x1為準線的拋物線，軌跡方程為y24x.12已知拋物線C：y24x，過點A(1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點，設.(1)若點P關于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F；(2)若，求|PQ|的最大值思維啟迪：(1)可利用向量共線證明直線MQ過F；(2)建立|PQ|和的關系，然后求最值(1)證明設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1)，x11(x21)，y1y2，y2y，y4x1，y4x2，x12x2，2x21(x21)，x2(1)1，1，x2，x1，又F(1,0)，(1x1，y1)(1，y2)，直線MQ經(jīng)過拋物線C的焦點F.(2)由(1)知x2，x1，得x1x21，yy16x1x216，y1y2>0，y1y24，則|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2xxyy2(x1x2y1y2)2412216，當，即時，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值為.13設拋物線C：x22py(p0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(1)若BFD90，ABD的面積為4 ，求p的值及圓F的方程；(2)若A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個公共點，求坐標原點到m，n距離的比值解(1)由已知可得BFD為等腰直角三角形，|BD|2p，圓F的半徑|FA|p.由拋物線定義可知A到l的距離d|FA| p.因為ABD的面積為4 ，所以|BD|d4 ，即2p p4 ，解得p2(舍去)或p2.所以F(0,1)，圓F的方程為x2(y1)28.(2)因為A，B，F(xiàn)三點在同一直線m上，所以AB為圓F的直徑，ADB90.由拋物線定義知|AD|FA|AB|.所以ABD30，m的斜率為或.當m的斜率為時，由已知可設n：yxb，代入x22py得x2px2pb0.由于n與C只有一個公共點，故p28pb0，解得b.因為m的縱截距b1，3，所以坐標原點到m，n距離的比值為3.當m的斜率為時，由圖形對稱性可知，坐標原點到m，n距離的比值為3.綜上，坐標原點到m，n距離的比值為3.14如圖所示，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y1y2的值及直線AB的斜率解(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y22px(p0)點P(1,2)在拋物線上，222p1，解得p2.故所求拋物線的方程是y24x，準線方程是x1.(2)設直線PA的斜率為kPA，直線PB的斜率為kPB，則kPA(x11)，kPB(x21)，PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，kPAkPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上，得y4x1，y4x2，y12(y22)y1y24.由得，yy4(x1x2)，kAB1(x1x2)