2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 第1講 幾何概型訓(xùn)練 理一、選擇題1、如圖，在邊長(zhǎng)為25cm的正方形中挖去邊長(zhǎng)為23cm的兩個(gè)等腰直角三角形，現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，問(wèn)粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少？A. B.C. D. 解析 因?yàn)榫鶆虻牧Ｗ勇湓谡叫蝺?nèi)任何一點(diǎn)是等可能的所以符合幾何概型的條件。設(shè)A“粒子落在中間帶形區(qū)域”則依題意得正方形面積為：2525625兩個(gè)等腰直角三角形的面積為：22323529帶形區(qū)域的面積為：62552996P（A）答案A2.一只螞蟻在如圖所示的地板磚(除顏色不同外，其余全部相同)上爬來(lái)爬去，它最后隨意停留在黑色地板磚上的概率是()A. B. C. D. 解析 每個(gè)小方塊的面積相等，而黑色地板磚占總體的，故螞蟻停留在黑色地板磚上的概率是答案B3. 如圖的矩形長(zhǎng)為5，寬為2，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，由此我們可以估計(jì)出陰影部分的面積約為()A. B. C. D.解析由幾何概型的概率公式，得，所以陰影部分面積約為，故選C.答案C4在長(zhǎng)為12 cm的線段AB上任取一點(diǎn)C.現(xiàn)作一矩形，鄰邊長(zhǎng)分別等于線段AC，CB的長(zhǎng)，則該矩形面積小于32 cm2的概率為 ()A. B. C. D.解析設(shè)出AC的長(zhǎng)度，先利用矩形面積小于32 cm2求出AC長(zhǎng)度的范圍，再利用幾何概型的概率公式求解設(shè)ACx cm，CB(12x)cm，0x12，所以矩形面積小于32 cm2即為x(12x)320x4或8x12，故所求概率為.答案C5. 分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為 ()A. B.C. D.解析設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，陰影區(qū)域的面積的一半等于半徑為1的圓減去圓內(nèi)接正方形的面積，即為2，則陰影區(qū)域的面積為24，所以所求概率為P.答案B6若利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個(gè)不等的隨機(jī)數(shù)a和b，則方程x2有不等實(shí)數(shù)根的概率為 ()A. B. C. D.解析方程x2，即x22x2b0，原方程有不等實(shí)數(shù)根，則需滿足(2)242b>0，即a>b.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，(a，b)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為1的正方形(不包括邊界)，而事件A“方程x2有不等實(shí)數(shù)根”的可能結(jié)果為圖中陰影部分(不包括邊界)由幾何概型公式可得P(A).故選B.答案B二、填空題7在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，cos x的值介于0至之間的概率為_(kāi)解析根據(jù)題目條件，結(jié)合幾何概型的概率公式可得所求的概率為P.答案8小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小波周末不在家看書的概率為_(kāi)解析設(shè)A小波周末去看電影，B小波周末去打籃球，C小波周末在家看書，D小波周末不在家看書，如圖所示，則P(D)1.答案9有一個(gè)底面圓的半徑為1，高為3的圓柱，點(diǎn)O1，O2分別為這個(gè)圓柱上底面和下底面的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率為_(kāi)解析確定點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離小于等于1的點(diǎn)的集合為，以點(diǎn)O1，O2為球心，1為半徑的兩個(gè)半球，求得體積為V213，圓柱的體積為VSh3，所以點(diǎn)P到點(diǎn)O1，O2的距離都大于1的概率為V1.答案10已知正三棱錐SABC的底邊長(zhǎng)為4，高為3，在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VPABC<VSABC的概率是_解析三棱錐PABC與三棱錐SABC的底面相同，VPABC<VSABC就是三棱錐PABC的高小于三棱錐SABC的高的一半，過(guò)高的中點(diǎn)作一平行底面的截面，這個(gè)截面下任取一點(diǎn)都符合題意，設(shè)底面ABC的面積為S，三棱錐SABC的高為h，則所求概率為：P.答案三、解答題11已知|x|2，|y|2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，求當(dāng)x，yR時(shí)，P滿足(x2)2(y2)24的概率思路分析由題意畫出圖象可求面積之比解如圖，點(diǎn)P所在的區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD的內(nèi)部(含邊界)，滿足(x2)2(y2)24的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐?2,2)為圓心，2為半徑的圓面(含邊界)所求的概率P1.12已知關(guān)于x的一次函數(shù)ymxn.(1)設(shè)集合P2，1,1,2,3和Q2,3，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為m和n，求函數(shù)ymxn是增函數(shù)的概率；(2)實(shí)數(shù)m，n滿足條件求函數(shù)ymxn的圖象經(jīng)過(guò)一、二、三象限的概率解(1)抽取的全部結(jié)果的基本事件有：(2，2)，(2,3)，(1，2)，(1,3)，(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共10個(gè)基本事件設(shè)使函數(shù)為增函數(shù)的事件為A，則A包含的基本事件有：(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共6個(gè)基本事件，所以，P(A).(2)m，n滿足條件的區(qū)域如圖所示，要使函數(shù)的圖象過(guò)一、二、三象限，則m0，n0，故使函數(shù)圖象過(guò)一、二、三象限的(m，n)的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙薜年幱安糠?，所求事件的概率為P.13已知集合A2,0,2，B1,1，設(shè)M(x，y)|xA，yB，在集合M內(nèi)隨機(jī)取出一個(gè)元素(x，y)(1)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2y21上的概率；(2)求以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域D：內(nèi)(含邊界)的概率解(1)記“以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在圓x2y21上”為事件A，則基本事件總數(shù)為6.因落在圓x2y21上的點(diǎn)有(0，1)，(0,1)2個(gè)，即A包含的基本事件數(shù)為2，所以P(A).(2)記“以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)”為事件B，則基本事件總數(shù)為6，由圖知位于區(qū)域D內(nèi)(含邊界)的點(diǎn)有：(2，1)，(2，1)，(0，1)，(0,1)，共4個(gè)，即B包含的基本事件數(shù)為4，故P(B).14甲、乙兩艘船都要?？客粋€(gè)泊位，它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)甲、乙兩船?？坎次坏臅r(shí)間分別為4小時(shí)與2小時(shí)，求有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率解甲比乙早到4小時(shí)內(nèi)乙需等待，甲比乙晚到2小時(shí)內(nèi)甲需等待以y和x分別表示甲、乙兩船到達(dá)泊位的時(shí)間，則有一艘船?？坎次粫r(shí)需等待一段時(shí)間的充要條件為2xy4，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，(x，y)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為24的正方形，而事件A“有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間”的可能結(jié)果由陰影部分表示由幾何概型公式，得P(A).故有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率是.