2019-2020年高考數(shù)學(xué) 2.8 函數(shù)與方程練習(xí) (25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.函數(shù)f(x)=ln(x+1)-的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】選B.由題意知,函數(shù)f(x)=ln(x+1)- 的定義域?yàn)?-1,0)(0,+),結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,又f(1)<0,f(2)>0,所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)-的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).2.(xx天津模擬)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(xR)的部分對(duì)應(yīng)值如下表:x-3-2-101234y6m-4-6-6-4n6可以判斷方程ax2+bx+c=0的兩根所在的區(qū)間是()A.(-3,-1)和(2,4)B.(-3,-1)和(-1,1)C.(-1,1)和(1,2)D.(-1,3)和(4,+)【解析】選A.由表格可得二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為y=,a>0,再根據(jù)f(-3)f(-1)<0,f(2)f(4)<0,可得f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(-3,-1)和(2,4),即方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根所在的區(qū)間是(-3,-1)和(2,4).3.(xx合肥模擬)函數(shù)f(x)=log2x-x+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.3D.2【解析】選D.轉(zhuǎn)化為判斷y=log2x與y=x-2兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),作圖象如下:圖象有兩個(gè)交點(diǎn),因此函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).4.(xx湖北高考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-3x.則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合為()A.1,3B.-3,-1,1,3C.2-,1,3D.-2-,1,3【解題提示】考查函數(shù)的奇偶性、零點(diǎn)及函數(shù)的方程思想.首先根據(jù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),求出函數(shù)在R上的解析式,再求出g(x)的解析式,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的解,問題得以解決.【解析】選D.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-3x,所以f(x)=所以g(x)=由解得x1=3,x2=1,由解得x=-2-,故選D.5.已知函數(shù)f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-1的零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是()A.x2<x1<x3B.x1<x2<x3C.x1<x3<x2D.x3<x2<x1【解析】選B.依據(jù)零點(diǎn)的意義,轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x分別和y=-2x,y=-ln x,y=+1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大小問題,作出草圖,易得x1<0<x2<1<x3.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若函數(shù)f(x)=ax+b(a0)有一個(gè)零點(diǎn)是2,那么函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點(diǎn)是.【解析】由已知條件得2a+b=0,即b=-2a,g(x)=-2ax2-ax=-2ax(x+),則g(x)的零點(diǎn)是x=0,x=-.答案:0,-7.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2 015x+log2 015x,則在R上,函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.【解析】函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),因此f(0)=0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2 015x+log2 015x在區(qū)間(0,)內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn),又f(x)為增函數(shù),因此在(0,+)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)在(-,0)內(nèi)有且僅有一解,從而函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.答案:38.函數(shù)f(x)=3x-7+ln x的零點(diǎn)位于區(qū)間(n,n+1)(nN)內(nèi),則n=.【解析】求函數(shù)f(x)=3x-7+ln x的零點(diǎn),可以大致估算兩個(gè)相鄰自然數(shù)的函數(shù)值,如f(2)=-1+ln 2,由于ln 2<ln e=1,所以f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于ln 3>1,所以f(3)>0,所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi),故n=2.答案:2【加固訓(xùn)練】若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,且a1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(1,+)B.(0,1)C.(-1,0)D.(-,-1)【解析】選A.令g(x)=ax(a>0,且a1),h(x)=x+a,分0<a<1,a>1兩種情況,在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖,若函數(shù)f(x)=ax-x-a有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則函數(shù)g(x),h(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),根據(jù)畫出的圖象只有當(dāng)a>1時(shí)符合題目要求.三、解答題9.(10分)已知二次函數(shù)f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a:(1)判斷命題:“對(duì)于任意的aR,方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”的真假,并寫出判斷過程.(2)若y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的范圍.【解析】(1)“對(duì)于任意的aR,方程f(x)=1必有實(shí)數(shù)根”是真命題;依題意:f(x)=1有實(shí)根,即x2+(2a-1)x-2a=0有實(shí)根,因?yàn)?(2a-1)2+8a=(2a+1)20對(duì)于任意的aR恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有實(shí)根,從而f(x)=1必有實(shí)根.(2)依題意:要使y=f(x)在區(qū)間(-1,0)及(0,)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn),只需即解得:.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【方法技巧】二次函數(shù)零點(diǎn)問題的解題技巧對(duì)于二次函數(shù)零點(diǎn)問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題來解決,結(jié)合二次函數(shù)的圖象從判別式,根與系數(shù)的關(guān)系、對(duì)稱軸、端點(diǎn)函數(shù)值、開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件,這里涉及三個(gè)“二次”問題的全面考慮和“數(shù)形結(jié)合思想”的靈活運(yùn)用.【加固訓(xùn)練】1.是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使函數(shù)f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在區(qū)間-1,3上與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).若存在,求出a的范圍;若不存在,說明理由.【解析】因?yàn)?(3a-2)2-4(a-1)= +>0,所以若存在實(shí)數(shù)a滿足條件,則只需f(-1)f(3)0即可.f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)0,所以a-或a1.檢驗(yàn):當(dāng)f(-1)=0時(shí),a=1.所以f(x)=x2+x.令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.方程在-1,3上有兩根,不合題意,故a1.當(dāng)f(3)=0時(shí),a=-,此時(shí)f(x)=x2-x-.令f(x)=0,即x2-x-=0,解得x=-或x=3.方程在-1,3上有兩根,不合題意,故a-.綜上所述,a的取值范圍是(-,-)(1,+).2.已知函數(shù)f(x)=4x+m2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍,并求出該零點(diǎn).【解析】因?yàn)閒(x)=4x+m2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即方程(2x)2+m2x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根.設(shè)2x=t(t>0),則t2+mt+1=0.當(dāng)=0時(shí),即m2-4=0,m=2,所以m=-2時(shí),t=1;m=2時(shí),t=-1(不合題意,舍去).所以2x=1,x=0符合題意.當(dāng)>0時(shí),即m>2或m<-2時(shí),t2+mt+1=0有兩正或兩負(fù)根,即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒有零點(diǎn).所以這種情況不符合題意.綜上可知:m=-2時(shí),f(x)有唯一零點(diǎn),該零點(diǎn)為x=0.(20分鐘40分)1.(5分)(xx長沙模擬)如圖是函數(shù)f(x)=x2+ax+b的部分圖象,則函數(shù)g(x)=ln x+f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A.B.(1,2)C.D.(2,3)【解析】選C.由圖象可知故f(x)=x2+ax-a-1,a(-2,-1),所以函數(shù)g(x)=ln x+f(x)的零點(diǎn)為函數(shù)y=ln x與函數(shù)y=-f(x)=-2x-a交點(diǎn)的橫坐標(biāo),分析兩函數(shù)圖象得函數(shù)g(x)=ln x+f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.2.(5分)(xx石家莊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=若互不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,x3滿足f(x1)=f(x2)=f(x3),則x1+x2+x3的取值范圍是()A.B.C.D.【解析】選D.函數(shù)f(x)=的圖象如圖,不妨設(shè)x1<x2<x3,則x2,x3關(guān)于直線x=3對(duì)稱,故x2+x3=6,且x1滿足-<x1<0,則x1+x2+x3的取值范圍是-+6<x1+x2+x3<0+6,即x1+x2+x3.3.(5分)(xx成都模擬)已知f(x)=-2|2|x|-1|+1和g(x)=x2-2|x|+m(mR)是定義在R上的兩個(gè)函數(shù),則下列命題:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱;關(guān)于x的方程f(x)-k=0恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件是k(0,1);關(guān)于x的方程f(x)=g(x)恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件是m0,1;若x1-1,1,x2-1,1,f(x1)<g(x2)成立,則m(-1,+).其中正確的命題有(寫出所有正確命題的序號(hào)).【解析】因?yàn)閒(x)=-2|2|x|-1|+1為偶函數(shù),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱,故正確;作出f(x)=-2|2|x|-1|+1的圖象,如圖所示,可知,關(guān)于x的方程f(x)-k=0恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的充要條件為k(-1,1),故錯(cuò)誤;在同一坐標(biāo)系中作出f(x)=-2|2|x|-1|+1和y=x2-2|x|的圖象,由圖象可知當(dāng)m時(shí)方程f(x)=g(x)恰有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根,故錯(cuò);由題可知,只需當(dāng)x-1,1時(shí),f(x)min<g(x)max即可.易得f(x)min=-1,g(x)max=m,所以m(-1,+),所以正確.答案:【加固訓(xùn)練】(xx南充模擬)已知函數(shù)f(x)=其中m>0,且函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x).若方程3f(x)-x=0恰有5個(gè)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【解題提示】根據(jù)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形后發(fā)現(xiàn)當(dāng)x(-1,1,3,5,7,9上時(shí),f(x)的圖象為半個(gè)橢圓.根據(jù)圖象推斷要使方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解,則需直線y=與第二個(gè)半橢圓相交,而與第三個(gè)半橢圓無公共點(diǎn).把直線分別代入橢圓方程,根據(jù)可求得m的范圍.【解析】因?yàn)楫?dāng)x(-1,1時(shí),將函數(shù)化為方程x2+ =1(y0),所以實(shí)質(zhì)上為一個(gè)半橢圓,同時(shí)在坐標(biāo)系中作出當(dāng)x(1,3時(shí)的圖象,再根據(jù)周期性作出函數(shù)其他部分的圖象,如圖,由圖易知直線y=與第二個(gè)半橢圓(x-4)2+=1(y0)相交,而與第三個(gè)半橢圓(x-8)2+=1(y0)無公共點(diǎn)時(shí),方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)根,將y=代入(x-4)2+=1(y0)得,(9m2+1)x2-72m2x+135m2=0,令t=9m2(t>0),則(t+1)x2-8tx+15t=0,由=(-8t)2-415t(t+1)>0,得t>15,由9m2>15,且m>0得m>,同樣由y=與第三個(gè)半橢圓(x-8)2+=1(y0)聯(lián)立所得方程<0可計(jì)算得m<,綜上可知m.答案: 4.(12分)(xx鄭州模擬)已知y=f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x0,+)時(shí),f(x)=x2-2x.(1)寫出函數(shù)y=f(x)的解析式.(2)若方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解,求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)x(-,0)時(shí),-x(0,+).因?yàn)閥=f(x)是奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x,所以f(x)=(2)當(dāng)x0,+)時(shí),f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,最小值為-1;當(dāng)x(-,0)時(shí),f(x)=-x2-2x=1-(x+1)2,最大值為1.所以據(jù)此可作出函數(shù)y=f(x)的圖象(如圖所示),根據(jù)圖象,若方程f(x)=a恰有3個(gè)不同的解,則a的取值范圍是(-1,1).5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)已知函數(shù)f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0).(1)若y=g(x)-m有零點(diǎn),求m的取值范圍.(2)確定m的取值范圍,使得g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.【解析】(1)因?yàn)閤>0時(shí)g(x)=x+=2e,等號(hào)成立的條件是x=e,故g(x)的值域是2e,+),因而只需m2e,則y=g(x)-m就有零點(diǎn).所以m的取值范圍是2e,+).【一題多解】本題(1)還可以采用如下解法:作出g(x)=x+ (x>0)的大致圖象如圖:可知若使y=g(x)-m有零點(diǎn),則只需m2e.所以m的取值范圍是2e,+).(2)若g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根,即g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),作出g(x)=x+ (x>0)的大致圖象.因?yàn)閒(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,所以其圖象的對(duì)稱軸為x=e,開口向下,最大值為m-1+e2.故當(dāng)m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1時(shí),g(x)與f(x)有兩個(gè)交點(diǎn),即g(x)-f(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根.所以m的取值范圍是(-e2+2e+1,+).