2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 10.3 拋物線及其性質(zhì) 理考點(diǎn)一拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.(xx湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(a<b),原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn),拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過(guò)C,F兩點(diǎn),則=.答案1+2.(xx大綱全國(guó),21,12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=|PQ|.(1)求C的方程;(2)過(guò)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點(diǎn),且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.解析(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由題設(shè)得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(5分)(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率為-m,所以l的方程為x=-y+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點(diǎn)為E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=.化簡(jiǎn)得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)考點(diǎn)二拋物線的幾何性質(zhì)