2019年高中數(shù)學(xué) 2.5 特征值與特征向量綜合檢測 蘇教版選修4-21求矩陣M的特征值和特征向量【解】矩陣M的特征多項式f()(1)(6)令f()0，解得矩陣M的特征值11，26.將11代入方程組易求得為屬于11的一個特征向量將26代入方程組易求得為屬于26的一個特征向量綜上所述，M的特征值為11，26，屬于11的一個特征向量為，屬于26的一個特征向量為.2已知矩陣M的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量【解】矩陣M的特征多項式為f()(1)(x)4因為13為方程f()0的一根，所以x1由(1)(1)40得21，設(shè)21對應(yīng)的一個特征向量為，則由得xy令x1，則y1.所以矩陣M的另一個特征值為1，對應(yīng)的一個特征向量為.3已知矩陣M，向量，.(1)求向量23在矩陣M表示的變換作用下的象；(2)向量是矩陣M的特征向量嗎？為什么？【解】(1)因為2323，所以M(23)，所以向量23在矩陣M表示的變換作用下的象為.(2)向量不是矩陣M的特征向量理由如下：M，向量與向量不共線，所以向量不是矩陣M的特征向量4已知矩陣A，設(shè)向量，試計算A5的值【解】矩陣A的特征多項式為f()2560，解得12，23.當(dāng)12時，得1；當(dāng)23時，得2，由m1n2，得，得m3，n1，A5A5(312)3(A51)A523(1)232535.5已知矩陣A，其中aR，若點P(1,1)在矩陣A的變換下得到點P(0，3)(1)求實數(shù)a的值；(2)求矩陣A的特征值及特征向量【解】(1)，a4.(2)A，f()223.令f()0，得11，23，對于特征值11，解相應(yīng)的線性方程組得一個非零解，因此1是矩陣A的屬于特征值11的一個特征向量對于特征值23，解相應(yīng)的線性方程組得一個非零解，因此2是矩陣A的屬于特征值23的一個特征向量矩陣A的特征值為11，23，屬于特征值11，23的特征向量分別為，.6已知矩陣A，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量1，屬于特征值1的一個特征向量2，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣【解】由矩陣A屬于特征值6的一個特征向量1，可知6，所以cd6，由矩陣A屬于特征值1的一個特征向量2，可知，所以3c2d2.聯(lián)立可得解得即A，A的逆矩陣A1.7已知矩陣A對應(yīng)的變換是先將某平面圖形上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90.(1)求矩陣A及A的逆矩陣B；(2)已知矩陣M，求M的特征值和特征向量；(3)若在矩陣B的作用下變換為，求M50.(結(jié)果用指數(shù)式表示)【解】(1)A；BA1.(2)設(shè)M的特征值為，則由條件得0，即(3)(4)62760.解得11，26.當(dāng)11時，由，得M屬于1的特征向量為1；當(dāng)26時，由6，得M屬于6的特征向量為2.(3)由B，得，設(shè)m1n2mn，則由解得所以122.所以M50M50(122)M5012M5022650.8已知二階矩陣M的一個特征值8及與其對應(yīng)的一個特征向量1，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(1,2)變換成(2,4)(1)求矩陣M；(2)求矩陣M的另一個特征值及與其對應(yīng)的另一個特征向量2的坐標(biāo)之間的關(guān)系；(3)求直線l：xy10在矩陣M的作用下的直線l的方程【解】(1)設(shè)矩陣M，則8，故由題意得，故聯(lián)立以上兩方程組可解得故M.(2)由(1)知矩陣M的特征多項式f()(6)(4)821016.令f()0，解得矩陣M的另一個特征值2.設(shè)矩陣M的屬于特征值2的一個特征向量2，則M22，解得2xy0.(3)設(shè)點(x，y)是直線l上的任一點，其在矩陣M的作用下對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(x，y)，則，即代入直線l的方程并化簡得xy20，即直線l的方程為xy20.9給定矩陣M，N及向量1，2.(1)求證M和N互為逆矩陣；(2)求證1和2都是矩陣M的特征向量【證明】(1)因為MN，NM，所以M和N互為逆矩陣(2)向量1在矩陣M的作用下，其象與其共線，即，向量2在矩陣M的作用下，其象與其共線，即，所以1和2都是M的特征向量10給定矩陣M及向量.(1)求矩陣M的特征值及與其對應(yīng)的特征向量1，2；(2)確定實數(shù)a，b，使向量可以表示為a1b2；(3)利用(2)中的表達(dá)式計算M3，Mn；(4)從(3)中的運算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？【解】(1)矩陣M的特征多項式f()(2)(1)30(7)(4)令f()0，解得矩陣M的特征值14，27.易求得屬于特征值14的一個特征向量1，屬于特征值27的一個特征向量2.(2)由(1)可知ab，解得a1，b3，所以132.(3)M3M3(132)M313M32(4)3373.MnMn(132)Mn13Mn2(4)n37n.(4)在Mn的結(jié)果中，隨著n的增加，特征向量1對結(jié)果的影響越來越小