2019-2020年高中數(shù)學 第一章 空間幾何體綜合檢測題 新人教A版必修2 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的) 1．(xx全國高考卷Ⅰ) 某幾何體的三視圖，如圖所示，則這個幾何體是(　　) A．三棱錐　　　　　 B．三棱柱 C．四棱錐 D．四棱柱 [答案]　B 2．如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直觀圖，則△OAB的面積為(　　) A．6 B．3 C．6 D．12 [答案]　D [解析]　△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90，∴S△OAB＝64＝12. 3．已知一個底面是菱形的直棱柱的側(cè)棱長為5，菱形的對角線的長分別是9和15，則這個棱柱的側(cè)面積是(　　) A．30 B．60 C．30＋135 D．135 [答案]　A [解析]　由菱形的對角線長分別是9和15，得菱形的邊長為＝，則這個菱柱的側(cè)面積為45＝30. 4．半徑為R的半圓卷成一個圓錐，則它的體積為(　　) A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3 [答案]　A [解析]　依題意，得圓錐的底面周長為πR，母線長為R，則底面半徑為，高為R，所以圓錐的體積為π()2R＝πR3. 5．已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則V1V2＝(　　) A．13 B．11 C．21 D．31 [答案]　D [解析]　V1V2＝(Sh)(Sh)＝31. 6．若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如右圖所示，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為(　　) A．π B．π C．π D．π [答案]　B [解析]　設球半徑是R，依題意知，該三棱柱是一個底面邊長為2，側(cè)棱長為1的正三棱柱，記上，下底面的中心分別是O1，O，易知球心是線段O1O的中點，于是R2＝()2＋(2)2＝，因此所求球的表面積是4πR2＝4π＝，選B． 7．一個正方體的體積是8，則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是(　　) A．8π B．6π C．4π D．π [答案]　C [解析]　設正方體的棱長為a，則a3＝8，所以a＝2，而此正方體內(nèi)的球直徑為2，所以S表＝4πr2＝4π. 8．如圖是一個空間幾何體的三視圖，如果直角三角形的直角邊長均為1，那么這個幾何體的體積為(　　) A．1 B． C． D． [答案]　C [解析]　該幾何體的直觀圖為如圖所示的四棱錐P－ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，PA⊥AB，PA⊥AD，四邊形ABCD為正方形，則V＝121＝，故選C． 9．(xx全國卷)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有(　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 [答案]　B [解析]　設圓錐底面半徑為r，則23r＝8，∴r＝，所以米堆的體積為3()25＝，故堆放的米約為1.62≈22，故選B． 9．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 [答案]　A [解析]　設上，下底面半徑為r，R.則2πR＝32πr，所以R＝3r.又π(r1＋r2)l＝S側(cè)，所以S側(cè)＝π(3r＋r)3＝84π，所以r＝7. 10．正三棱柱有一個半徑為 cm的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是(　　) A．9 cm3 B．54 cm3 C．27 cm3 D．18 cm3 [答案]　B [解析]　由題意知棱柱的高為2 cm，底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為 cm，∴底面正三角形的邊長為6 cm，正三棱柱的底面面積為9 cm2，∴此三棱柱的體積V＝92＝54(cm3)． 11．(xx課標全國Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　由零件的三視圖可知，該幾何體為兩個圓柱組合而成，如圖所示． 切削掉部分的體積V1＝π326－π224－π322＝20π(cm3)， 原來毛坯體積V2＝π326＝54π(cm3)． 故所求比值為＝＝. 12．(xx全國Ⅰ理科)如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為(　　) A． cm3 B． cm3 C． cm3 D． cm3 [答案]　A [解析]　設球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R－2，則R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5.∴球的體積為＝ cm3. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．在幾何體①圓錐；②正方體；③圓柱；④球；⑤正四面體中，三視圖完全一樣的是__________ ________. [答案]?、冖? 14．用斜二測畫法畫邊長為2的正三角形的直觀圖時，如果在已知圖形中取的x軸和正三角形的一邊平行，則這個正三角形的直觀圖的面積是__________ ________. [答案]　 15．棱錐的高為16，底面積為512，平行于底面的截面面積為50，則截得的棱臺的高為__________ ________. [答案]　11 [解析]　設棱臺的高為x，則有()2＝，解之，得x＝11. 16．如圖是一個組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是__________ ________. [答案]　36＋128π [解析]　由三視圖可知該組合幾何體下面是一個圓柱，上面是一個三棱柱，故所求體積為V＝346＋16π8＝36＋128π. 三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比是14，母線長為10 cm.求圓錐的母線長． [解析]　如圖，設圓錐母線長為l，則＝，所以l＝cm. 18．(本小題滿分12分)如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖． (1)試判斷該幾何體是什么幾何體？ (2)畫出其側(cè)視圖，并求該平面圖形的面積； (3)求出該幾何體的體積． [解析]　(1)由該幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體是一個正六棱錐． (2)該幾何體的側(cè)視圖如圖．其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的長是俯視圖正六邊形對邊的距離，即BC＝a，AD是正六棱錐的高，即AD＝a，所以該平面圖形的面積為aa＝a2. (3)設這個正六棱錐的底面積是S，體積為V， 則S＝6a2＝a2， 所以V＝a2a＝a3. 19．(本小題滿分12分)如下圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由． [解析]　因為V半球＝πR3＝π43≈134(cm3)， V圓錐＝πr2h＝π4212≈201(cm3)， 134<201， 所以V半球<V圓錐， 所以，冰淇淋融化了，不會溢出杯子． 20．(本小題滿分12分)(xx湖南常德上學期期末) 已知某幾何體的側(cè)視圖與其正視圖相同，相關(guān)的尺寸如圖所示，求這個幾何體的體積． [解析]　由三視圖可知，該幾何體是大圓柱內(nèi)挖掉了小圓柱，兩個圓柱高均為1，底面是半徑為2和的同心圓，故該幾何體的體積為4π1－π()21＝. 21．(本題滿分12分)如圖所示，設計一個四棱錐形冷水塔塔頂，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，已知底面邊長為2 m，高為 m，制造這個塔頂需要多少鐵板？ [解析]如圖所示，連接AC和BD交于O，連接SO.作SP⊥AB，連接OP. 在Rt△SOP中，SO＝(m)，OP＝BC＝1(m)， 所以SP＝2(m)， 則△SAB的面積是22＝2(m2)． 所以四棱錐的側(cè)面積是42＝8(m2)， 即制造這個塔頂需要8m2鐵板． 22．(本小題滿分12分)如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個三棱錐．求： (1)三棱錐A′－BC′D的表面積與正方體表面積的比值； (2)三棱錐A′－BC′D的體積． [解析]　(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方體， ∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a， ∴三棱錐A′－BC′D的表面積為 4aa＝2a2. 而正方體的表面積為6a2，故三棱錐A′－BC′D的表面積與正方體表面積的比值為＝. (2)三棱錐A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一樣的． 故V三棱錐A′－BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′－ABD ＝a3－4a2a＝.