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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.5橢圓課時(shí)作業(yè) 文（含解析）新人教版 一、選擇題 1．(xx浙江金麗衢十二校聯(lián)考)若橢圓C：＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓C上，且|PF1|＝4，則∠F1PF2＝(　　) A．30　　　　　　　　 B．60 C．120 D．150 解析：由題意得a＝3，c＝，則|PF2|＝2. 在△F2PF1中，由余弦定理得 cos∠F2PF1＝＝－. 又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝. 答案：C 2．(xx河北邯鄲一模)橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF2的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF2|是|PF1|的(　　) A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 解析：設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為D， 則|OD|＝|PF1|，OD∥PF1，OD⊥x軸， ∴PF1⊥x軸． ∴|PF1|＝＝＝. 又∵|PF1|＋|PF2|＝4， ∴|PF2|＝4－＝. ∴|PF2|是|PF1|的7倍． 答案：A 3．(xx北京豐臺(tái)期末)在同一平面直角坐標(biāo)系中，方程ax2＋by2＝ab與方程ax＋by＋ab＝0表示的曲線可能是(　　) A 　B 　C 　D 解析：直線方程變形為y＝－x－a，在選項(xiàng)B和C中，解得 所以ax2＋by2＝ab表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線， 故B和C都是錯(cuò)誤的； 在選項(xiàng)A中，解得 所以ax2＋by2＝ab表示的曲線是橢圓； 在選項(xiàng)D中， 解得所以ax2＋by2＝ab不可能表示雙曲線，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 答案：A 4．(xx福建福州期末)已知實(shí)數(shù)4，m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為(　　) A. B. C.或 D.或 解析：因?yàn)橐阎獙?shí)數(shù)4，m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以可得m2＝36，解得m＝6或m＝－6. 當(dāng)圓錐曲線為橢圓時(shí)，即＋y2＝1的方程為＋y2＝1. 所以a2＝6，b2＝1，則c2＝a2－b2＝5. 所以離心率e＝＝＝. 當(dāng)是雙曲線時(shí)可求得離心率為. 答案：C 5．(xx河北唐山二模)已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與圓C2：x2＋y2＝b2，若在橢圓C1上存在點(diǎn)P，使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直，則橢圓C1的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：從橢圓上長(zhǎng)軸端點(diǎn)向圓引兩條切線P′A，P′B，則兩切線形成的角∠AP′B最小． 若橢圓C1上存在點(diǎn)P′.令切線互相垂直，則只需∠AP′B≤90，即α＝∠AP′O≤45， ∴sinα＝≤sin45＝. 又b2＝a2－c2，∴a2≤2c2， ∴e2≥，即e≥. 又∵0＜e＜1，∴≤e＜1，即e∈. 答案：C 6．(xx大綱全國(guó)卷)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為，過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：∵＋＝1(a＞b＞0)的離心率為， ∴＝，∴a∶b∶c＝3∶∶. 又∵過(guò)F2的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△AF1B的周長(zhǎng)為4，∴4a＝4，∴a＝.故c＝1， ∴b＝，∴橢圓方程為＋＝1，選A. 答案：A 二、填空題 7．(xx江西卷)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作x軸的垂線與C相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓C的離心率等于__________． 解析：由題意知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝，因?yàn)檫^(guò)F2且與x軸垂直的直線為x＝c，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)它與橢圓的交點(diǎn)為A，B.因?yàn)锳B平行于y軸，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D為線段F1B的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，又AD⊥F1B，所以kADKF1B＝－1，即＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去)． 答案： 8．(xx四川綿陽(yáng)二診)已知P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的任意一點(diǎn)，若∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，且cosα＝，sin(α＋β)＝，則此橢圓的離心率為__________． 解析：cosα＝?sinα＝， 所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝， ∴sinβ＝或－(舍去)． 設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2， 由正弦定理，得＝＝?＝?e＝＝. 答案： 9．(xx遼寧卷)已知橢圓C：＋＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝__________. 解析：取MN的中點(diǎn)G，G在橢圓C上，因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于C的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12. 答案：12 三、解答題 10．(xx北京卷)已知橢圓C：x2＋2y2＝4. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)O為原點(diǎn)．若點(diǎn)A在直線y＝2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長(zhǎng)度的最小值． 解析：(1)由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 所以a2＝4，b2＝2，從而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝.故橢圓C的離心率e＝＝. (2)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0. 因?yàn)镺A⊥OB，所以＝0，即tx0＋2y0＝0， 解得t＝－. 又x＋2y＝4，所以 |AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2 ＝2＋(y0－2)2 ＝x＋y＋＋4 ＝x＋＋＋4 ＝＋＋4(0＜x≤4)． 因?yàn)椋?(0＜x≤4)，且當(dāng)x＝4時(shí)等號(hào)成立，所以|AB|2≥8. 故線段AB長(zhǎng)度的最小值為2. 11．(xx天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知|AB|＝|F1F2|. (1)求橢圓的離心率； (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與該圓相切于點(diǎn)M，|MF2|＝2.求橢圓的方程． 解析：(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，又b2＝a2－c2，則＝. 所以，橢圓的離心率e＝. (2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故橢圓方程為＋＝1. 設(shè)P(x0，y0)．由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)． 由已知，有＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.?、? 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故＋＝1.?、? 由①和②可得3x＋4cx0＝0. 而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，故x0＝－c，代入①得y0＝，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 設(shè)圓的圓心為T(x1，y1)，則x1＝＝－c， y1＝＝c，進(jìn)而圓的半徑 r＝＝c. 由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，又|MF2|＝2，故有2＋2＝8＋c2， 解得c2＝3. 所以，所求橢圓的方程為＋＝1. 12．(xx安徽卷)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周長(zhǎng)為16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求橢圓E的離心率． 解析：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因?yàn)椤鰽BF2的周長(zhǎng)為16，所以由橢圓定義可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)設(shè)|F1B|＝k，則k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由橢圓定義可得， |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得， |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)． 化簡(jiǎn)可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2為等腰直角三角形． 從而c＝a，所以橢圓E的離心率e＝＝.