2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第12講 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查二次函數(shù)模型的建立及最值問(wèn)題.2.考查分段函數(shù)模型的建立及最值問(wèn)題.3.考查指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)、“對(duì)勾”型函數(shù)模型的建立及最值問(wèn)題.4.合理選擇變量，構(gòu)造函數(shù)模型，求兩變量間的函數(shù)關(guān)系式，從而研究其最值一、三種函數(shù)模型之間增長(zhǎng)速度的比較函數(shù)性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)大小比較存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有l(wèi)ogaxxnax二、常見(jiàn)的幾種函數(shù)模型1一次函數(shù)模型：ykxb(k0)2反比例函數(shù)模型：y(k0)3指數(shù)函數(shù)模型：yabxc(b0，b1，a0)4對(duì)數(shù)函數(shù)模型：ymlogaxn(a0，a1，m0)5冪函數(shù)模型：yaxnb(a0)6分段函數(shù)模型求解近似函數(shù)模型的步驟1一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的()【解析】由題意知h205t，故選B.【答案】B2擬定甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)f(m)0.5m1(單位：元)，其中m>0，m表示不大于m的最大整數(shù)(如3.623，44)，當(dāng)m0.5,3.2時(shí)，函數(shù)f(m)的值域是()A1,2,3,4B1,1.5,2,2.5C1,1.5,2.5,3 D1.5,2,2.5【解析】當(dāng)m0.5,3.2時(shí)，m所有可能值為0,1,2,3共四個(gè)，故f(m)的值域?yàn)?,1.5,2,2.5【答案】B3生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬(wàn)件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)x22x20(萬(wàn)元)一萬(wàn)件售價(jià)是20萬(wàn)元，為獲取更大利潤(rùn)，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A36萬(wàn)件 B18萬(wàn)件C22萬(wàn)件 D9萬(wàn)件【解析】利潤(rùn)L(x)20xC(x)(x18)2142，當(dāng)x18時(shí)，L(x)有最大值【答案】B4某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是_【解析】已知本金為a元，利率為r，則1期后本利和為yaara(1r)，2期后本利和為ya(1r)a(1r)ra(1r)2，3期后本利和為ya(1r)3，x期后本利和為ya(1r)x，xN.【答案】ya(1r)x，xN5(2011湖北高考)里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為：Mlg Alg A0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅假設(shè)在一次地震中測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為_(kāi)級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的_倍【解析】由題意，假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則Mlg Alg A0lg 1 000lg 0.0013(3)6.設(shè)9級(jí)地震的最大振幅是x,5級(jí)地震的最大振幅是y，9lg x3,5lg y3，解得x106，y102.所以10 000.【答案】610 0006(xx陜西高考)在圖291如圖291所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)(m)【解析】設(shè)矩形花園的寬為y m，則，即y40x，矩形花園的面積Sx(40x)x240x(x20)2400，當(dāng)x20 m時(shí)，面積最大【答案】20考向一 033一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用(xx鹽城模擬)某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖292所示的拋物線一段，已知跳水板AB長(zhǎng)為2 m，跳水板距水面CD的高BC為3 m為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓(xùn)練時(shí)跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)A處水平距hm(h1)時(shí)達(dá)到距水面最大高度4 m規(guī)定：以CD為橫軸，BC為縱軸建立直角坐標(biāo)系(1)當(dāng)h1時(shí)，求跳水曲線所在的拋物線方程；(2)若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域EF內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果，求此時(shí)h的取值范圍圖292【思路點(diǎn)撥】(1)利用頂點(diǎn)式求拋物線方程(2)利用拋物線方程在區(qū)間5,6內(nèi)有解，求h的取值范圍【嘗試解答】由題意，最高點(diǎn)為(2h,4)(h1)設(shè)拋物線方程為yax(2h)24(1)當(dāng)h1時(shí)，最高點(diǎn)為(3,4)，方程為ya(x3)24(*)將點(diǎn)A(2,3)代入(*)式得a1.即所求拋物線的方程為yx26x5.(2)將點(diǎn)A(2,3)代入yax(2h)24，得ah21.由題意，方程ax(2h)240在區(qū)間5,6內(nèi)有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24，則解得1h.答：達(dá)到比較好的訓(xùn)練效果時(shí)的h的取值范圍是.規(guī)律方法1 1.本例(1)在求解時(shí)，巧設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式方程，從而使運(yùn)算量大大簡(jiǎn)化(2)在求解時(shí)巧用零點(diǎn)定理避免了直接求零點(diǎn)而帶來(lái)的繁瑣計(jì)算.2.(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò).(2)解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖293(1)；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖293(2)(注：利潤(rùn)和投資單位：萬(wàn)元)(1)(2)圖293(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬(wàn)元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，可獲得多少利潤(rùn)？問(wèn)：如果你是廠長(zhǎng)，怎樣分配這18萬(wàn)元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)約為多少萬(wàn)元？【解】(1)設(shè)A、B兩種產(chǎn)品分別投資x萬(wàn)元(x0)，所獲利潤(rùn)分別為f(x)、g(x)萬(wàn)元，由題意可設(shè)f(x)k1x，g(x)k2，根據(jù)圖象可解得f(x)0.25x(x0)，g(x)2(x0)(2)由(1)得f(9)2.25，g(9)26，總利潤(rùn)y8.25(萬(wàn)元)設(shè)B產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，A產(chǎn)品投入(18x)萬(wàn)元，該企業(yè)可獲總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y(18x)2，0x18.令t，t0,3，則y(t28t18)(t4)2.當(dāng)t4時(shí)，ymax8.5，此時(shí)x16,18x2.當(dāng)A、B兩種產(chǎn)品分別投入2萬(wàn)元、16萬(wàn)元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)8.5萬(wàn)元考向二 034三種函數(shù)模型的應(yīng)用某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖294所示的曲線圖294(1)寫(xiě)出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(t)；(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間【思路點(diǎn)撥】本題考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知條件確定函數(shù)解析式，然后解不等式【嘗試解答】(1)由圖象，設(shè)y當(dāng)t1時(shí)，由y4得k4，由1a4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間是5(小時(shí))規(guī)律方法2三種函數(shù)模型的應(yīng)用技巧(1)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)三類函數(shù)模型有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，在求解時(shí)，要先學(xué)會(huì)合理選擇模型，在三類模型中，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快(底數(shù)大于1)的一類函數(shù)模型，與增長(zhǎng)率、銀行利率有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)函數(shù)模型.(2)在解決冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需要通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問(wèn)題，必要時(shí)可借助導(dǎo)數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練一片森林原來(lái)面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來(lái)的.(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？【解】(1)設(shè)每年降低的百分比為x(0x1)則a(1x)10a，即(1x)10.解得x1.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)m年剩余面積為原來(lái)的，則a(1x)ma，即，解得m5.故到今年為止，已砍伐了5年(3)設(shè)從今年開(kāi)始，以后砍了n年，則n年后剩余面積為a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多還能砍伐15年考向三 035分段函數(shù)模型的應(yīng)用(xx杭州模擬)提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/小時(shí))是車(chē)流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/小時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/小時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/小時(shí))【思路點(diǎn)撥】(1)當(dāng)20x200時(shí)，運(yùn)用待定系數(shù)法求v(x)的解析式，進(jìn)而確定當(dāng)0x200時(shí)，分段函數(shù)v(x)(2)根據(jù)(1)求出f(x)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與基本不等式求最值【嘗試解答】(1)由題意：當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb.再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60201 200；當(dāng)20x200時(shí)，f(x)x(200x)2.當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時(shí)，等號(hào)成立所以，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333.即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/小時(shí)規(guī)律方法3 1.理解題意，由待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出v(x)，是求解本例的關(guān)鍵.要注意分段函數(shù)各段變量的取值范圍，特別是端點(diǎn)值.2.實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車(chē)票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(xx廣州市培正中學(xué)月考)由于濃酸泄漏對(duì)河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿.1個(gè)單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度y與時(shí)間x的關(guān)系，可近似地表示為y只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時(shí)，才能對(duì)污染產(chǎn)生有效的抑制作用(1)如果只投放1個(gè)單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間有多長(zhǎng)？(2)當(dāng)河中的堿濃度開(kāi)始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，此后，每一時(shí)刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時(shí)刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值【解】(1)x2，2x3.綜上，得x3.即若1個(gè)單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時(shí)間為3.(2)當(dāng)0x2時(shí)，yx8單調(diào)遞增，當(dāng)2x4時(shí)，y4x單調(diào)遞減所以當(dāng)河中的堿濃度開(kāi)始下降時(shí)，即刻第二次投放1個(gè)單位的固體堿，即2x4時(shí)，y4x14142148.故當(dāng)且僅當(dāng)2x，即x2時(shí)，y有最大值148.規(guī)范解答之二函數(shù)建模在實(shí)際問(wèn)題中的妙用解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建模將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：求模求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義；第五步：反思回顧對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性1個(gè)示范例1個(gè)規(guī)范練(12分)(xx江蘇高考)如圖295，建圖295立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程ykx(1k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)(1)求炮的最大射程(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由【規(guī)范解答】(1)令y0，得kx(1k2)x20，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，3分故x10，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)所以炮的最大射程為10千米.6分(2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)存在k>0，使3.2ka(1k2)a2成立8分關(guān)于k的方程a2k220aka2640有正根10分判別式(20a)24a2(a264)0a6.所以當(dāng)a不超過(guò)6千米時(shí)，可擊中目標(biāo).12分【名師寄語(yǔ)】(1)求解函數(shù)實(shí)際問(wèn)題，審題是關(guān)鍵，要弄清相關(guān)“名詞”準(zhǔn)確尋求各量之間的關(guān)系，如本例中的“炮彈射程”.(2)在求解過(guò)程中應(yīng)分清變量x、y及k之間的辨證關(guān)系，結(jié)合所求，用k表示x.(3)把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題；進(jìn)而把方程有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有正根，最后列不等式求解，用數(shù)學(xué)結(jié)果回答實(shí)際問(wèn)題.(xx上海高考)甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時(shí)可獲得的利潤(rùn)是100元(1)求證：生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100a元；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問(wèn)：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤(rùn)【解】(1)生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品，所用的時(shí)間是小時(shí)，所獲得的利潤(rùn)為100.所以，生產(chǎn)a千克該產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)為100a元(2)生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品，所用的時(shí)間是小時(shí)，獲得的利潤(rùn)為90 000，1x10.記f(x)5,1x10，則f(x)325，當(dāng)且僅當(dāng)x6時(shí)，f(x)取到最大值f(6).獲得最大利潤(rùn)90 000457 500(元)因此甲廠應(yīng)以6千克/小時(shí)的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤(rùn)457 500元