2019-2020年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第31講 一元二次不等式及其解法練習(xí) 新人教A版考情展望1.考查一元二次不等式的解法及其“三個(gè)二次”間的關(guān)系問題.2.會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型.3.以函數(shù)、導(dǎo)數(shù)為載體，考查不等式的參數(shù)范圍問題一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表判別式b24ac>00<0二次函數(shù)yax2bxc (a>0)的圖象一元二次方程ax2bxc0 (a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1x2沒有實(shí)數(shù)根ax2bxc>0 (a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx1Rax2bxc<0 (a>0)的解集x|x1<x<x2不等式恒成立問題的解法不等式ax2bxc0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a0時(shí)，b0，c0；當(dāng)a0時(shí)，不等式ax2bxc0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a0時(shí)，b0，c0；當(dāng)a0時(shí)，1不等式2x2x10的解集是()A.B(1，)C(，1)(2，) D.(1，)【解析】2x2x1(x1)(2x1)0，x1或x.故原不等式的解集為(1，)【答案】D2不等式0的解集為()A. B.C. D.【解析】原不等式等價(jià)于(x1)(2x1)0或x10.原不等式的解集為.【答案】A3函數(shù)y的定義域是_【解析】要使函數(shù)有意義，只需6xx20，x2x60，3x2，f(x)的定義域?yàn)閤|3x2【答案】x|3x24一元二次不等式ax2bx20的解集是，則ab的值是_【解析】由已知得方程ax2bx20的兩根為，.則解得ab14.【答案】145(xx重慶高考)關(guān)于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2x115 ，則a ()A.B.C.D.【解析】由x22ax8a2<0(a>0)得(x2a)(x4a)<0(a>0)，即2a<x<4a，故原不等式的解集為(2a,4a)由x2x115得4a(2a)15，即6a15，所以a.故選A.【答案】A6(xx福建高考)已知關(guān)于x的不等式x2ax2a>0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【解析】x2ax2a>0在R上恒成立，a242a<0，0<a<8.【答案】(0,8)考向一 102一元二次不等式的解法已知不等式ax23x64的解集為x|x1或xb(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2(acb)xbc0.【思路點(diǎn)撥】(1)先化簡(jiǎn)不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式，再依據(jù)解集確定a的符號(hào)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列出a，b的方程組，求a，b的值(2)所給不等式含有參數(shù)c，因此需對(duì)c討論寫出解集【嘗試解答】(1)因?yàn)椴坏仁絘x23x64的解集為x|x1或xb，所以x11與x2b是方程ax23x20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，b1且a0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得解得(2)不等式ax2(acb)xbc0，即x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)0.當(dāng)c2時(shí)，不等式(x2)(xc)0的解集為x|2xc；當(dāng)c2時(shí)，不等式(x2)(xc)0的解集為x|cx2；當(dāng)c2時(shí)，不等式(x2)(xc)0的解集為.所以，當(dāng)c2時(shí)，不等式ax2(acb)xbc0的解集為x|2xc；當(dāng)c2時(shí)，不等式ax2(acb)xbc0的解集為x|cx2；當(dāng)c2時(shí)，不等式ax2(acb)xbc0的解集為.規(guī)律方法11.解一元二次不等式時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)要先化為正，再根據(jù)判別式符號(hào)判斷對(duì)應(yīng)方程根的情況，然后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集.2.解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論；首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類，其次根據(jù)根是否存在，即的符號(hào)進(jìn)行分類，最后當(dāng)根存在時(shí)，根據(jù)根的大小進(jìn)行分類.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)不等式ax2bxc0的解集為x|2x3，則不等式ax2bxc0的解集為_(2)(xx濰坊模擬)aR，解關(guān)于x的不等式xa(x1)【解析】(1)令f(x)ax2bxc，則f(x)ax2bxc，結(jié)合圖象，可得ax2bxc0的解集為x|3x2【答案】x|3x2(2)原不等式可轉(zhuǎn)化為0(*)(1)當(dāng)a1時(shí)，(*)式為0，解得x0或x1.(2)當(dāng)a1時(shí)，(*)式為0若a1，則a10，0，解得x0，或x1；若1a2，則1a0，1，解得x0，或1x；若a2，則a11,01,1a0，解得x0，或x1；綜上，當(dāng)a1時(shí)，不等式解集為x|x0或x1當(dāng)a1時(shí)，不等式解集為.當(dāng)1a2時(shí)，不等式解集為.當(dāng)a2時(shí)，不等式解集為.考向二 103不等式恒成立問題設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍；(2)若對(duì)于x1,3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范圍【思路點(diǎn)撥】本題(1)可討論m的取值，利用判別式來解決對(duì)于(2)含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內(nèi)恒成立問題，常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)區(qū)間上的最值來處理；二是先分離出參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般方法二比較簡(jiǎn)單【嘗試解答】(1)要使mx2mx1<0恒成立，若m0，顯然1<0；若m0，則4<m<0.所以m的取值范圍為m|4<m0(2)要使f(x)<m5在1,3上恒成立，只需mx2mxm6恒成立(x1,3)，又因x2x120，所以m<.因?yàn)閥，由t2在1,3上是增函數(shù)，y在1,3上是減函數(shù)因此函數(shù)的最小值ymin.所以，m的取值范圍是m|m<規(guī)律方法21.對(duì)于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值.2.解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練若x1，)時(shí)，x22ax2a恒成立，試求a的取值范圍【解】 法一令f(x)x22ax2，x1，)，f(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為xa.(1)當(dāng)a(，1)時(shí)，結(jié)合圖象知，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a<1；(2)當(dāng)a1，)時(shí)，f(x)minf(a)2a2，由2a2a，解得2a1，1a1.綜上所述，所求a的取值范圍為3a1.法二由已知得x22ax2a0在1，)上恒成立，令f(x)x22ax2a，即4a24(2a)0或解得3a1.故a的取值范圍為a|3a1考向三 104一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用圖621行駛中的汽車，在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離在某種路面上，某種型號(hào)汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速v(km/h)滿足下列關(guān)系：s(n為常數(shù)，且nN)，做了兩次剎車試驗(yàn)，有關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖621所示，其中(1)求n的值；(2)要使剎車距離不超過12.6 m，則行駛的最大速度是多少？【思路點(diǎn)撥】(1)由圖象信息，將v40，v70代入求s1，s2，得關(guān)于n的不等式組；(2)解關(guān)于v的不等式，求最大值【嘗試解答】(1)由試驗(yàn)數(shù)據(jù)知，s1n4，s2n，解之得又nN，取n6.(2)由(1)知，s，v0.依題意，s12.6，即v224v5 0400，解之得84v60.注意到v0，所以0v60.故行駛的最大速度為60 km/h.規(guī)律方法31.(1)求解本例的關(guān)鍵是文字語言、圖形語言，符號(hào)語言之間的合理轉(zhuǎn)化.(2)避免忽視v0的限制條件，及12.6中的等號(hào).2.解不等式的實(shí)際應(yīng)用中，常以函數(shù)模型為載體，解題時(shí)要理清題意，準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)恰當(dāng)表示，最后用不等式的解回答實(shí)際問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練某種商品，現(xiàn)在定價(jià)p元，每月賣出n件，設(shè)定價(jià)上漲x成，每月賣出數(shù)量減少y成，每月售貨總金額變成現(xiàn)在的z倍(1)用x和y表示z；(2)若yx，求使每月售貨總金額有所增加的x值的范圍【解】 (1)按現(xiàn)在的定價(jià)上漲x成時(shí)，上漲后的定價(jià)為p元，每月賣出數(shù)量為n件，每月售貨總金額是npz元，因而npzpn，所以z.(2)當(dāng)yx時(shí)，z， 要使每月售貨總金額有所增加，即z>1，應(yīng)有(10x)>100，即x(x5)<0，所以0<x<5，所以，要使每月售貨總金額有所增加，則x的取值范圍是(0,5)思想方法之十四數(shù)形結(jié)合巧解不等式不等式中的數(shù)形結(jié)合問題，在解題時(shí)既要想形又要以形助數(shù)，常見的“以形助數(shù)”的方法有：(1)借助數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)軸的有關(guān)概念，解決與絕對(duì)值有關(guān)的問題，解決數(shù)集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算非常有效(2)借助函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象分析問題和解決問題是數(shù)形結(jié)合的基本方法，需注意的問題是準(zhǔn)確把握代數(shù)式的幾何意義，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化1個(gè)示范例1個(gè)對(duì)點(diǎn)練(xx四川高考)已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)<5的解集是_【解析】設(shè)x<0，則x>0.當(dāng)x0時(shí)，f(x)x24x，f(x)(x)24(x)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x24x(x<0)，f(x)由f(x)5得或x5或x5.觀察圖象可知f(x)<5，得5<x<5.由f(x2)<5，得5<x2<5，7<x<3.不等式f(x2)<5的解集是x|7<x<3已知f(x)，則滿足不等式f(1x)f(x)的x的取值范圍是_【解析】畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示由圖可知，若f(1x)f(x)，只需解之得x.即滿足要求的x的取值范圍是.【答案】