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2019-2020年高考數(shù)學(xué)備考試題庫 第九章 第3節(jié) 幾何概型（含解析） 1．(xx遼寧，5分)若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　由幾何概型的概率公式可知，質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率P＝＝＝，故選B. 2．(xx湖南，5分)在區(qū)間 [－2,3]上隨機選取一個數(shù)X ，則 X≤1的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B　區(qū)間[－2,3]的長度為3－(－2)＝5，[－2,1]的長度為1－(－2)＝3，故滿足條件的概率p＝. 3．(xx福建，5分)如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________． 解析：依題意，得＝，所以＝，解得S陰影＝0.18. 答案：0.18 4．(xx重慶，5分)某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________(用數(shù)字作答)． 解析：設(shè)小張與小王的到校時間分別為7：00后第x分鐘，第y分鐘．根據(jù)題意可畫出圖形，如圖所示，則總事件所占的面積為(50－30)2＝400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A＝{(x，y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50}，如圖中陰影部分所示，陰影部分所占的面積為1515＝，所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)＝＝. 答案： 5．（xx湖南，5分）已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為，則＝(　　) A.　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：本題主要考查幾何概型與三角形的最大角的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，意在考查考生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力．由已知，點P的分界點恰好是邊CD的四等分點，由勾股定理可得AB2＝2＋AD2，解得2＝，即＝. 答案：D 6．（xx福建，4分）利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a－1>0”發(fā)生的概率為________． 解析：本題考查了幾何概型與隨機模擬等知識，意在考查考生的轉(zhuǎn)化和化歸能力、運算求解能力． 因為0≤a≤1，由3a－1>0得0”發(fā)生的概率為＝. 答案： 7．（xx湖北，5分）在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. 解析：本題以非常簡單的區(qū)間和不等式的解集立意，考查幾何概型．由幾何概型知：＝?m＝3. 答案：3 8．（xx北京，5分）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是(　　) A.　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：不等式組表示坐標平面內(nèi)的一個正方形區(qū)域，設(shè)區(qū)域內(nèi)點的坐標為(x，y)，則隨機事件：在區(qū)域D內(nèi)取點，此點到坐標原點的距離大于2表示的區(qū)域就是圓x2＋y2＝4的外部，即圖中的陰影部分，故所求的概率為. 答案：D 9．（xx湖北，5分）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓，在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是(　　) A.－ B. C．1－ D. 解析：設(shè)OA＝OB＝r，則兩個以為半徑的半圓的公共部分面積為2[π()2－()2]＝，兩個半圓外部的陰影部分面積為πr2－[π()22－]＝，所以所求概率為＝1－. 答案：C 10．（2011福建，5分）如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　) A.　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：點E為邊CD的中點，故所求的概率P＝＝. 答案：C 11．（2011湖南，5分）已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25. (1)圓C的圓心到直線l的距離為________； (2)圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為________． 解析：根據(jù)點到直線的距離公式得d＝＝5；設(shè)直線4x＋3y＝c到圓心的距離為3，則＝3，取c＝15，則直線4x＋3y＝15把圓所截得的劣弧的長度和整個圓的周長的比值即是所求的概率，由于圓半徑是2，則可得直線4x＋3y＝15截得的圓弧所對的圓心角為60，故所求的概率是. 答案：5　 12．(xx福建，12分)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1，D1C1上的點(點E與B1不重合)，且EH∥A1D1.過EH的平面與棱BB1，CC1相交，交點分別為F，G. (1)證明：AD∥平面EFGH； (2)設(shè)AB＝2AA1＝2a，在長方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自幾何體A1ABFE－D1DCGH內(nèi)的概率為P.當(dāng)點E，F(xiàn)分別在棱A1B1，B1B上運動且滿足EF＝a，求P的最小值． 解：法一：(1)證明：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD∥A1D1. 又∵EH∥A1D1，∴AD∥EH. ∵AD?平面EFGH，EH?平面EFGH， ∴AD∥平面EFGH. (2)設(shè)BC＝b，則長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝ABBCAA1＝2a2b， 幾何體EB1F－HC1G的體積V1＝(EB1B1F)B1C1＝EB1B1F. ∵EB＋B1F2＝a2， ∴EB1B1F≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)EB1＝B1F＝a時等號成立． 從而V1≤. ∴p＝1－≥1－＝，當(dāng)且僅當(dāng)EB1＝B1F＝a時等號成立． 所以P的最小值等于. 法二：(1)同解法一． (2)設(shè)BC＝b，則長方體ABCD－A1B1C1D1的體積V＝ABBCAA1＝2a2b， 幾何體EB1F－HC1G的體積 V1＝(EB1B1F)B1C1＝EB1B1F. 設(shè)∠B1EF＝θ(0≤θ≤90)，則EB1＝acosθ，B1F＝asinθ. 故EB1B1F＝a2sinθcosθ＝sin2θ≤，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝1，即θ＝45時等號成立． 從而V1≤. ∴P＝1－≥1－＝，當(dāng)且僅當(dāng)sin2θ＝1，即θ＝45時等號成立． 所以P的最小值等于.