2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 2-9 函數(shù)的模型及其應(yīng)用備選練習(xí) 文（含解析）新人教A版 1.(xx年石家莊模擬)如圖，有一塊邊長(zhǎng)為1(單位：百米)的正方形區(qū)域ABCD，在點(diǎn)A處有一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的探照燈，其照射角∠PAQ始終為45(其中點(diǎn)P，Q分別在邊BC，CD上)，設(shè)∠PAB＝θ，tan θ＝t. (1)用t表示出PQ的長(zhǎng)度，并探求△CPQ的周長(zhǎng)l是否為定值； (2)問(wèn)探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S最大為多少？ 解析：(1)由tan θ＝＝t，得BP＝t(0≤t≤1)，可得CP＝1－t. ∵∠DAQ＝45－θ，∴DQ＝tan (45－θ)＝，CQ＝1－＝，∴PQ＝＝ ＝， ∴△CPQ的周長(zhǎng)l＝CP＋PQ＋CQ＝1－t＋＋＝2為定值． (2)∵S＝S正方形ABCD－S△ABP－S△ADQ＝1－－＝2－(t＋1＋)≤2－，當(dāng)且僅當(dāng)t＋1＝，即t＝ －1時(shí)等號(hào)成立． ∴探照燈照射在正方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積S最大為(2－)平方百米． 2．因發(fā)生意外交通事故，一輛貨車(chē)上的某種液體泄漏到一魚(yú)塘中，為了治污，根據(jù)環(huán)保部門(mén)的建議，現(xiàn)決定在魚(yú)塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學(xué)反應(yīng)的藥劑．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)個(gè)單位的藥劑，它在水中釋放的濃度y(克/升)隨著時(shí)間x(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝af(x)，其中f(x)＝，若多次投放，則某一時(shí)刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時(shí)，它才能起到有效治污的作用． (1)若一次投放4個(gè)單位的藥劑，則有效治污時(shí)間可達(dá)幾天？ (2)若第一次投放2個(gè)單位的藥劑，6天后再投放a個(gè)單位的藥劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求a的最小值．(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4)． 解析：(1)因?yàn)閍＝4， 所以y＝. 則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由－4≥4，解得x≥0，所以此時(shí)0≤x≤4； 當(dāng)4＜x≤10時(shí)，由20－2x≥4，解得x≤8，所以此時(shí)4＜x≤8. 綜上，可得0≤x≤8，即一次投放4個(gè)單位的藥劑，有效治污時(shí)間可達(dá)8天． (2)當(dāng)6≤x≤10時(shí)， y＝2＋a ＝10－x＋－a ＝(14－x)＋－a－4， 因?yàn)?4－x∈[4,8]，而1≤a≤4， 所以4∈[4,8]， 故當(dāng)且僅當(dāng)14－x＝4時(shí)，y有最小值為8－a－4. 令8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4， 所以a的最小值為24－16≈1.6.