2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 11.3 隨機抽樣、用樣本估計總體 文考點一隨機抽樣1.(xx重慶,3,5分)某中學(xué)有高中生3 500人,初中生1 500人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n為()A.100 B.150 C.200 D.250答案A2.(xx湖南,3,5分)對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本,當(dāng)選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時,總體中每個個體被抽中的概率分別為p1,p2,p3,則()A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3答案D3.(xx四川,2,5分)在“世界讀書日”前夕,為了了解某地5 000名居民某天的閱讀時間,從中抽取了200名居民的閱讀時間進(jìn)行統(tǒng)計分析.在這個問題中,5 000名居民的閱讀時間的全體是()A.總體 B.個體C.樣本的容量 D.從總體中抽取的一個樣本答案A4.(xx廣東,6,5分)為了解1 000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,采用系統(tǒng)抽樣的方法,從中抽取容量為40的樣本,則分段的間隔為()A.50 B.40 C.25 D.20答案C5.(xx天津,9,5分)某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向,擬采用分層抽樣的方法,從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查.已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4556,則應(yīng)從一年級本科生中抽取名學(xué)生.答案606.(xx湖北,11,5分)甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共4 800件,采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測.若樣本中有50件產(chǎn)品由甲設(shè)備生產(chǎn),則乙設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為件.答案1 8007.(xx山東,16,12分)海關(guān)對同時從A,B,C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測,從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.(1)求這6件樣品中來自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量;(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件商品來自相同地區(qū)的概率.地區(qū)ABC數(shù)量50150100解析(1)因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是=,所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是:50=1,150=3,100=2,所以A,B,C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)6件來自A,B,C三個地區(qū)的樣品分別為:A;B1,B2,B3;C1,C2,則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為:A,B1,A,B2,A,B3,A,C1,A,C2,B1,B2,B1,B3,B1,C1,B1,C2,B2,B3,B2,C1,B2,C2,B3,C1,B3,C2,C1,C2,共15個.每個樣品被抽到的機會均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.記事件D:“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”,則事件D包含的基本事件有B1,B2,B1,B3,B2,B3,C1,C2,共4個.所以P(D)=,即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為.考點二統(tǒng)計圖表8.(xx山東,8,5分)為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗.所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa)的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,第五組.如圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數(shù)為()A.6B.8C.12D.18答案C9.(xx北京,18,13分)從某校隨機抽取100名學(xué)生,獲得了他們一周課外閱讀時間(單位:小時)的數(shù)據(jù),整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖:組號分組頻數(shù)10,2)622,4)834,6)1746,8)2258,10)25610,12)12712,14)6814,16)2916,18)2合計100(1)從該校隨機選取一名學(xué)生,試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率;(2)求頻率分布直方圖中的a,b的值;(3)假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替,試估計樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組.(只需寫出結(jié)論)解析(1)根據(jù)頻數(shù)分布表知,100名學(xué)生中一周課外閱讀時間不少于12小時的學(xué)生共有6+2+2=10名,所以樣本中的學(xué)生一周課外閱讀時間少于12小時的頻率是1-=0.9.故從該校隨機選取一名學(xué)生,估計其該周課外閱讀時間少于12小時的概率為0.9.(2)課外閱讀時間落在組4,6)內(nèi)的有17人,頻率為0.17,所以a=0.085.課外閱讀時間落在組8,10)內(nèi)的有25人,頻率為0.25,所以b=0.125.(3)樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第4組.10.(xx課標(biāo),18,12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值分組75,85)85,95)95,105)105,115)115,125)頻數(shù)62638228(1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?解析(1)(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為=800.06+900.26+1000.38+1100.22+1200.08=100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2=(-20)20.06+(-10)20.26+00.38+1020.22+2020.08=104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計值為100,方差的估計值為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計值為0.38+0.22+0.08=0.68.由于該估計值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定.考點三樣本的數(shù)字特征11.(xx陜西,9,5分)某公司10位員工的月工資(單位:元)為x1,x2,x10,其均值和方差分別為和s2,若從下月起每位員工的月工資增加100元,則這10位員工下月工資的均值和方差分別為()A.,s2+1002B.+100,s2+1002C.,s2D.+100,s2答案D12.(xx課標(biāo),19,12分)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況,隨機訪問了50位市民.根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價越高),繪制莖葉圖如下:甲部門乙部門4979766533211098877766555554443332100665520063222034567891059044812245667778901123468800113449123345011456000(1)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數(shù);(2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率;(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.解析(1)由所給莖葉圖知,50位市民對甲部門的評分由小到大排序,排在第25,26位的是75,75,故樣本中位數(shù)為75,所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75.50位市民對乙部門的評分由小到大排序,排在第25,26位的是66,68,故樣本中位數(shù)為=67,所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67.(2)由所給莖葉圖知,50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為=0.1,=0.16,故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1,0.16.(3)由所給莖葉圖知,市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù),而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對乙部門的評分的標(biāo)準(zhǔn)差,說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致,對乙部門的評價較低、評價差異較大.13.(xx廣東,17,13分)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:年齡(歲)工人數(shù)(人)191283293305314323401合計20(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極差;(2)以十位數(shù)為莖,個位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;(3)求這20名工人年齡的方差.解析(1)由題表中的數(shù)據(jù)易知,這20名工人年齡的眾數(shù)是30,極差為40-19=21.(2)這20名工人年齡的莖葉圖如下:123498889990000011112220(3)這20名工人年齡的平均數(shù)=(191+283+293+305+314+323+401)=30,故方差s2=1(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-30)2+1(40-30)2=(121+12+3+0+4+12+100)=12.6.14.(xx湖南,17,12分)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組,為了比較他們的研發(fā)水平,現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下:(a,b),(a,),(a,b),(,b),(,),(a,b),(a,b),(a,),(,b),(a,),(,),(a,b),(a,),(,b),(a,b),其中a,分別表示甲組研發(fā)成功和失敗;b,分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.(1)若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品,則給該組記1分,否則記0分.試計算甲、乙兩組研發(fā)新產(chǎn)品的成績的平均數(shù)和方差,并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平;(2)若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品,試估計恰有一組研發(fā)成功的概率.解析(1)甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均數(shù)為=;方差為=.乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績?yōu)?,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均數(shù)為=;方差為=.因為>,<,所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組.(2)記E=恰有一組研發(fā)成功.在所抽得的15個結(jié)果中,恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是(a,),(,b),(a,),(,b),(a,),(a,),(,b),共7個,故事件E發(fā)生的頻率為.將頻率視為概率,即得所求概率為P(E)=.考點四統(tǒng)計與概率15.(xx重慶,17,13分)20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:(1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)分別求出成績落在50,60)與60,70)中的學(xué)生人數(shù);(3)從成績在50,70)的學(xué)生中任選2人,求此2人的成績都在60,70)中的概率.解析(1)據(jù)題中直方圖知組距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)10=1,解得a=0.005.(2)成績落在50,60)中的學(xué)生人數(shù)為20.0051020=2.成績落在60,70)中的學(xué)生人數(shù)為30.0051020=3.(3)記成績落在50,60)中的2人為A1,A2,成績落在60,70)中的3人為B1,B2,B3,則從成績在50,70)的學(xué)生中任選2人的基本事件共有10個:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中2人的成績都在60,70)中的基本事件有3個:(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),故所求概率為P=.16.(xx福建,20,12分)根據(jù)世行xx年新標(biāo)準(zhǔn),人均GDP低于1 035美元為低收入國家;人均GDP為1 035 4 085美元為中等偏下收入國家;人均GDP為4 085 12 616美元為中等偏上收入國家;人均GDP不低于12 616美元為高收入國家.某城市有5個行政區(qū),各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表:行政區(qū)區(qū)人口占城市人口比例區(qū)人均GDP(單位:美元)A25%8 000B30%4 000C15%6 000D10%3 000E20%10 000(1)判斷該城市人均GDP是否達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn);(2)現(xiàn)從該城市5個行政區(qū)中隨機抽取2個,求抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率.解析(1)設(shè)該城市人口總數(shù)為a,則該城市人均GDP為=6 400.因為6 4004 085,12 616),所以該城市人均GDP達(dá)到了中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn).(2)“從5個行政區(qū)中隨機抽取2個”的所有的基本事件是A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共10個.設(shè)事件“抽到的2個行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)”為M,則事件M包含的基本事件是A,C,A,E,C,E,共3個,所以所求概率為P(M)=.