2019年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 2.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 理考點一函數(shù)的單調(diào)性1.(xx北京,2,5分)下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+)上為增函數(shù)的是()A.y= B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1)答案A2.(xx山東,5,5分)已知實數(shù)x,y滿足ax<ay(0<a<1),則下列關(guān)系式恒成立的是()A.> B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sin x>sin y D.x3>y3答案D3.(xx陜西,7,5分)下列函數(shù)中,滿足“f(x+y)=f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是()A.f(x)= B.f(x)=x3C.f(x)= D.f(x)=3x答案D4.(xx課標,15,5分)已知偶函數(shù)f(x)在0,+)上單調(diào)遞減, f(2)=0.若f(x-1)>0,則x的取值范圍是.答案(-1,3)考點二函數(shù)的奇偶性與周期性5.(xx課標,3,5分)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)答案C6.(xx湖南,3,5分)已知f(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且f(x)-g(x)=x3+x2+1,則f(1)+g(1)=()A.-3 B.-1 C.1 D.3答案C7.(xx安徽,6,5分)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x+)=f(x)+sin x.當(dāng)0x<時, f(x)=0,則f =()A. B. C.0 D.-答案A8.(xx湖北,10,5分)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若xR, f(x-1)f(x),則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.答案B9.(xx四川,12,5分)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)x-1,1)時, f(x)=則f=.答案110.(xx江蘇,19,16分)已知函數(shù)f(x)=ex+e-x,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明:f(x)是R上的偶函數(shù);(2)若關(guān)于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0,+)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;(3)已知正數(shù)a滿足:存在x01,+),使得f(x0)<a(-+3x0)成立.試比較ea-1與ae-1的大小,并證明你的結(jié)論.解析(1)證明:因為對任意xR,都有f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+ex=f(x),所以f(x)是R上的偶函數(shù).(2)由條件知m(ex+e-x-1)e-x-1在(0,+)上恒成立,令t=ex(x>0),則t>1,所以m-=-對任意t>1成立.因為t-1+12+1=3,所以-,當(dāng)且僅當(dāng)t=2,即x=ln 2時等號成立.因此實數(shù)m的取值范圍是.(3)令函數(shù)g(x)=ex+-a(-x3+3x),則g(x)=ex-+3a(x2-1).當(dāng)x1時,ex->0,x2-10,又a>0,故g(x)>0,所以g(x)是1,+)上的單調(diào)增函數(shù),因此g(x)在1,+)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.由于存在x01,+),使+-a(-+3x0)<0成立,當(dāng)且僅當(dāng)最小值g(1)<0,故e+e-1-2a<0,即a>.令函數(shù)h(x)=x-(e-1)ln x-1,則h(x)=1-.令h(x)=0,得x=e-1.當(dāng)x(0,e-1)時,h(x)<0,故h(x)是(0,e-1)上的單調(diào)減函數(shù);當(dāng)x(e-1,+)時,h(x)>0,故h(x)是(e-1,+)上的單調(diào)增函數(shù).所以h(x)在(0,+)上的最小值是h(e-1).注意到h(1)=h(e)=0,所以當(dāng)x(1,e-1)(0,e-1)時,h(e-1)h(x)<h(1)=0;當(dāng)x(e-1,e)(e-1,+)時,h(x)<h(e)=0.所以h(x)<0對任意的x(1,e)成立.當(dāng)a(1,e)時,h(a)<0,即a-1<(e-1)ln a,從而ea-1<ae-1;當(dāng)a=e時,ea-1=ae-1;當(dāng)a(e,+)(e-1,+)時,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)ln a,故ea-1>ae-1.綜上所述,當(dāng)a時,ea-1<ae-1;當(dāng)a=e時,ea-1=ae-1;當(dāng)a(e,+)時,ea-1>ae-1.