3.3　幾何概型 第1課時(shí)　幾何概型(1) 1．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積大于的概率是________． 解析　 如圖，P為△ABC的邊AB上一點(diǎn)，S△PBC＝BCPBsin B， S△ABC＝BCABsin B＝S，欲使S△PBC＝BCPBsin B＞，，則PB＞AB.故△PBC的面積大于的概率為＝. 答案　 2．已知半徑為2的球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，若球內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)在正方體內(nèi)的概率為________． 解析　由題意可知，設(shè)正方體的棱長為a， 則a＝22， ∴a＝4， 故V球＝πR3＝π(2)3＝32π， V正方體＝a3＝64. 由幾何概型計(jì)算公式可知， 所求事件的概率P＝＝. 答案　 3．已知⊙O是等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，在△ABC內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在⊙O內(nèi)的概率為________． 解析　 設(shè)等邊三角形ABC的邊長為a，內(nèi)切圓半徑為r， 則S△ABC＝a2，tan 30＝＝＝， ∴r＝a， ∴S⊙O＝πr2＝πa2＝a2， ∴所求概率為P＝＝π. 答案　π 4. 如圖所示，有一瓶2升的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌．用一小杯從這瓶水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為________． 解析　記“小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌”為事件A，則事件A的概率只與取出的水的體積有關(guān)，符合幾何概型的條件． ∵小瓶中有0.1升水，原瓶中有2升水． ∴由幾何概型求概率的公式得P(A)＝＝0.05. 答案　0.05 5. 如圖，某人向圓內(nèi)投鏢，如果他每次都投在圓內(nèi)，那么他投中正方形區(qū)域的概率為________(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)． 解析　設(shè)圓的半徑為r，則圓的內(nèi)接正方形的邊長為r，由幾何概型的概率公式知，投中正方形區(qū)域的概率為P＝＝. 答案　 6．判斷下列試驗(yàn)是否為幾何概型？并說明理由． (1)在某月某日，某個(gè)市區(qū)降雨的概率． (2)在1 000 mL的水中有一個(gè)草履蟲，現(xiàn)從中隨機(jī)取出300 mL水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率． 解　(1)不是幾何概型，因?yàn)槠洳痪哂袩o限性、等可能性；(2)是幾何概型，因?yàn)槠渚哂孝贌o限性，②等可能性，符合幾何概型的特征． 7．如圖，靶子由三個(gè)半徑分別為R,2R,3R的同心圓組成，如果 你向靶子隨機(jī)地?cái)S一個(gè)飛鏢，命中M1區(qū)域，M2區(qū)域，M3區(qū)域的概率分別為P1，P2，P3，則P1∶P2∶P3＝________. 解析　可分別求得P1＝，P2＝，P3＝，故P1∶P2∶P3＝1∶3∶5. 答案　1∶3∶5 8．在一杯10 L的清水中，有一條小魚，現(xiàn)任意取出1 L清水，則小魚被取到的概率為________． 解析　以體積為測(cè)度，故P＝. 答案　 9．某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時(shí)一班，求此人等車時(shí)間不多于10 min的概率為________． 解析　以分鐘為單位，∴P＝＝. 答案　 10．函數(shù)f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任意x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率為________． 解析　由f(x0)≤0，解得－1≤x0≤2，∴P＝＝＝0.3. 答案　0.3 11．已知集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|2＜x＜3}，在集合A中任取一個(gè)元素x，求事件“x∈A∩B”的概率． 解　A∩B＝{x|2＜x＜3}， 因?yàn)榧螦的測(cè)度為5－(－1)＝6，集合A∩B的測(cè)度為3－2＝1.故事件“x∈A∩B”的概率為P＝. 12．某袋黃豆種子共100 kg，現(xiàn)加入20 kg黑豆種子并拌勻，從中隨機(jī)取一粒，則這粒種子是黃豆、黑豆的概率分別是多少？ 解　符合幾何概型，測(cè)度為質(zhì)量(相當(dāng)于體積)． 設(shè)這粒種子是黃豆、黑豆的概率分別為P1，P2. 則P1＝＝，P2＝＝. 所以，這粒種子是黃豆、黑豆的概率分別為和. 13．(創(chuàng)新拓展) 點(diǎn)A為周長等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)．若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，求劣弧的長度小于1的概率． 解　在圓周上取兩點(diǎn)C與G，使＝＝1，則點(diǎn)B可以在與上取，故所求概率為P＝. 4