2019-2020年七年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義 競賽輔導(dǎo) 第5講 質(zhì)數(shù)與合數(shù)一、概念質(zhì)數(shù)：一個(gè)大于1的整數(shù)a，如果只有1和a這兩個(gè)約數(shù)，那么a就是質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)；如果除了1和a之外還有其他正約數(shù)，則a叫做合數(shù)。1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。二、性質(zhì)1、合數(shù)有無窮多個(gè)2、質(zhì)數(shù)也有無窮多個(gè)證明：假設(shè)只有有限多個(gè)質(zhì)數(shù)：，構(gòu)造一個(gè)數(shù)是一個(gè)新的質(zhì)數(shù)，若不然，N是一個(gè)合數(shù)，則N可以被中的某一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，而，因此1可被整除，矛盾！注：.叫做n的階乘。這是一個(gè)存在性的證明,即人們知道質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè),但至今為止,人們找到的質(zhì)數(shù)還是有限個(gè).現(xiàn)在人們正借助于網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)尋找越來越大的質(zhì)數(shù) 3、質(zhì)數(shù)2 是唯一的偶質(zhì)數(shù)，也是最小的質(zhì)數(shù)。解題中需要經(jīng)常想到這一點(diǎn)。4、如果質(zhì)數(shù)p|ab，則p|a，或p|b.但是如果P不是質(zhì)數(shù)，一般不具有這個(gè)性質(zhì)。例如6|49=36，但是6不能整除4或者9。1試判別359是不是質(zhì)數(shù)分析：若359有一個(gè)大于19的約數(shù)，則必有一個(gè)小于19的約數(shù)，因此只要對(duì)359逐個(gè)用不超過19的質(zhì)數(shù)檢驗(yàn)，看能否整除。2求質(zhì)數(shù)p,使得p+10和p+14都是質(zhì)數(shù)分析：試驗(yàn)猜想證明，是創(chuàng)造性思維的一種方法。本題需要分類討論。3將1、2、，xx這xx個(gè)數(shù)隨意排成一行，得到一個(gè)數(shù)N，那么N是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?分析：需要抓住一種不變性不管數(shù)字次序如何，所有數(shù)字的和都是確定的，而這個(gè)和是3的倍數(shù)。4已知3 個(gè)不同的質(zhì)數(shù)a,b,c滿足那么a+b+c的值等于_分析：本題用到質(zhì)數(shù)2 的特殊性，需要用到分解質(zhì)因數(shù)。5自然數(shù)n至少含有2 個(gè)大于10的質(zhì)因數(shù)，那么n的最小值是_.63599是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？7用1、2、3、4、5任意組成一個(gè)五位數(shù)，所得的數(shù)中有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？ 8p是質(zhì)數(shù)。+2也是質(zhì)數(shù)，則1997+_93 個(gè)不同的質(zhì)數(shù)m，n,p滿足m+n=p，則mnp的最小值是_10已知三個(gè)質(zhì)數(shù)m,n,p的乘積等于它們的和的5 倍，則_112 個(gè)質(zhì)數(shù)的和為1995，則它們的積是_12a,b,c,d,e是5個(gè)質(zhì)數(shù)，其中a<b,a<c,a<d,并且a+b+c+d=e,則a=_13已知正整數(shù)p,q都是質(zhì)數(shù)，且7p+q與pq+11都是質(zhì)數(shù)，試求p,q的值。14(1)是否存在連續(xù)個(gè)正整數(shù)，他們均為合數(shù)？若存在，求出其中一組最小值；若不存在，說明理由(2)寫出10個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，使其中每個(gè)都是合數(shù)15某書店積存了若干畫片，按照每張5角出售，無人購買，現(xiàn)決定按照成本價(jià)出售，一下子全部售出，共賣了31元9角3 分，問一共有多少張畫片？數(shù)學(xué)閱讀親和數(shù)給定兩個(gè)數(shù)m和n，若m除它本身外的所有因子之和等于n，而n除它本身外的所有因子之和等于m，我們就稱m和n是一對(duì)親和數(shù)，公元前6世紀(jì)的畢達(dá)哥拉斯最先發(fā)現(xiàn)了第一對(duì)親和數(shù)220和284，因?yàn)?20=12471142，284=1245101120224455110親和數(shù)之所以取此名，它象征著友誼，當(dāng)別人問及畢達(dá)哥拉斯“朋友是什么”時(shí)，他答道：“是另一個(gè)我，可用親和數(shù)表示”發(fā)現(xiàn)第二對(duì)親和數(shù)與第一對(duì)親和數(shù)的間隔競是那么長遠(yuǎn)！直到1636年，費(fèi)馬才發(fā)現(xiàn)了第二對(duì)親和數(shù)17296和18416阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家泰比特伊本給出一個(gè)尋找親和數(shù)的法則：n1，若a=32n1，b=32n-11，c=922n-11全為素?cái)?shù)，則2nab和2nc就是一對(duì)親和數(shù)如當(dāng)n=2時(shí)就產(chǎn)生了220和284第三對(duì)親和數(shù)是笛卡爾于1638年提出的：9363584和94370561750年，歐拉提出了64對(duì)親和數(shù)，后來人們驗(yàn)證有兩對(duì)錯(cuò)了1866年尼古拉發(fā)現(xiàn)1184和1210是一對(duì)親和數(shù)，這是十分有趣的事情人們從希臘時(shí)期就開始尋找親和數(shù)，無數(shù)數(shù)學(xué)家為之花費(fèi)了大量的精力和心血，并發(fā)現(xiàn)了大得多的親和數(shù)，而這一對(duì)小親和數(shù)直到此時(shí)才被發(fā)現(xiàn)，我們無不為尼古拉所做的巨大成就及付出的艱辛勞動(dòng)所驚嘆！現(xiàn)在人們已知道上千對(duì)親和數(shù)，其中最大的一對(duì)是萊爾在1974年發(fā)現(xiàn)的兩個(gè)152位數(shù)：m=345115281192989(212915281191)，n=34511528119(23335212915281191)，隨著計(jì)算工具和程序設(shè)計(jì)的不斷發(fā)展和改進(jìn)，人們必將發(fā)現(xiàn)越來越多的親和數(shù)