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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練四 第1講 等差數(shù)列和等比數(shù)列 理 考情解讀　1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合能力． 1．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝ 2．等差數(shù)列和等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 an－an－1＝常數(shù)(n≥2) ＝常數(shù)(n≥2) 通項(xiàng)公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 判定方法 (1)定義法 (2)中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋ an＋2(n≥1)?{an}為等差數(shù)列 (3)通項(xiàng)公式法：an＝pn＋q(p、q為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列 (4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}為等差數(shù)列 (5){an}為等比數(shù)列，an>0?{logaan}為等差數(shù)列 (1)定義法 (2)中項(xiàng)公式法：a＝an an＋2(n≥1)(an≠0)? {an}為等比數(shù)列 (3)通項(xiàng)公式法： an＝cqn(c、q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}為等比數(shù)列 (4){an}為等差數(shù)列?{aan}為等比數(shù)列(a>0且a≠1) 性質(zhì) (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq (2)an＝am＋(n－m)d (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差數(shù)列 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，則aman＝apaq (2)an＝amqn－m (3)等比數(shù)列依次每n項(xiàng)和(Sn≠0)仍成等比數(shù)列 前n項(xiàng)和 Sn＝＝na1＋d (1)q≠1，Sn＝＝ (2)q＝1，Sn＝na1 熱點(diǎn)一　等差數(shù)列 例1　(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＋a4＋a6＝12，則S7的值是(　　) A．21 B．24 C．28 D．7 (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若－10且a6>|a5|，Sn是數(shù)列的前n項(xiàng)的和，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6…均大于0 B．S1，S2，…S5均小于0，S6，S7，…均大于0 C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11…均大于0 D．S1，S2，…S11均小于0，S12，S13…均大于0 答案　(1)35　(2)C 解析　(1)因?yàn)閍1＋a10＝a3＋a8＝7， 所以S10＝ ＝＝＝35. (2)由題意可知a6＋a5>0，故 S10＝＝>0， 而S9＝＝＝9a5<0，故選C. 熱點(diǎn)二　等比數(shù)列 例2　(1)(xx安徽)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝_____________________. (2)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則等于(　　) A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1 思維啟迪　(1)列方程求出d，代入q即可；(2)求出a1，q，代入化簡(jiǎn)． 答案　(1)1　(2)D 解析　(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＝a1＋2d， a5＝a1＋4d， ∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1， ∴q＝＝＝1. (2)∵∴ 由①②可得＝2，∴q＝，代入①得a1＝2， ∴an＝2()n－1＝， ∴Sn＝＝4(1－)， ∴＝＝2n－1，故選D. 思維升華　(1){an}為等比數(shù)列，其性質(zhì)如下： ①若m、n、r、s∈N*，且m＋n＝r＋s，則aman＝aras； ②an＝amqn－m； ③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列(q≠－1)． (2)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式 Sn＝ ①能“知三求二”；②注意討論公比q是否為1；③a1≠0. 　(1)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}滿足a4－2a＋3a8＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b2b8b11等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (2)在等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n項(xiàng)和Sn＝62，則項(xiàng)數(shù)n等于(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)∵a4－2a＋3a8＝0，∴2a＝a4＋3a8，即2a＝4a7，∴a7＝2，∴b7＝2，又∵b2b8b11＝b1qb1q7b1q10＝bq18＝(b7)3＝8，故選D. (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2an－1＝a1an＝64，又a1＋an＝34，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.當(dāng)a1＝2，an＝32時(shí)，Sn＝＝＝＝62，解得q＝2.又an＝a1qn－1，所以22n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理，當(dāng)a1＝32，an＝2時(shí)，由Sn＝62，解得q＝.由an＝a1qn－1＝32()n－1＝2，得()n－1＝＝()4，即n－1＝4，n＝5.綜上，項(xiàng)數(shù)n等于5，故選B. 熱點(diǎn)三　等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 例3　已知等差數(shù)列{an}的公差為－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn； (2)將數(shù)列{an}的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若存在m∈N*，使對(duì)任意n∈N*，總有Sn6.即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(6，＋∞)． 思維升華　等差(比)數(shù)列的綜合問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解法 (1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問(wèn)題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便． (2)等差數(shù)列、等比數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等的交匯問(wèn)題，求解時(shí)用等差(比)數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)、方程、不等式等問(wèn)題求解即可． 　已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且，an，Sn成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{bn}滿足bn＝(log2a2n＋1)(log2a2n＋3)，求證：＋＋＋…＋<. (1)解　∵，an，Sn成等差數(shù)列，∴2an＝Sn＋， 當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝S1＋，∴a1＝， 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－， 兩式相減得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴＝2， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列， ∴an＝2n－1＝2n－2. (2)證明　bn＝(log2a2n＋1)(log2a2n＋3)＝log222n＋1－2log222n＋3－2＝(2n－1)(2n＋1)， ＝＝(－)， ＋＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)<(n∈N*)． 即＋＋＋…＋<. 1．在等差(比)數(shù)列中，a1，d(q)，n，an，Sn五個(gè)量中知道其中任意三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)．解這類問(wèn)題時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)a1和公差d(公比q)這兩個(gè)基本量的有關(guān)運(yùn)算． 2．等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用．但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形． 3．等差、等比數(shù)列的單調(diào)性 (1)等差數(shù)列的單調(diào)性 d>0?{an}為遞增數(shù)列，Sn有最小值． d<0?{an}為遞減數(shù)列，Sn有最大值． d＝0?{an}為常數(shù)列． (2)等比數(shù)列的單調(diào)性 當(dāng)或時(shí)，{an}為遞增數(shù)列，當(dāng)或時(shí)，{an}為遞減數(shù)列． 4．常用結(jié)論 (1)若{an}，{bn}均是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則{man＋kbn}，{}仍為等差數(shù)列，其中m，k為常數(shù)． (2)若{an}，{bn}均是等比數(shù)列，則{can}(c≠0)，{|an|}，{anbn}，{manbn}(m為常數(shù))，{a}，{}仍為等比數(shù)列． (3)公比不為1的等比數(shù)列，其相鄰兩項(xiàng)的差也依次成等比數(shù)列，且公比不變，即a2－a1，a3－a2，a4－a3，…，成等比數(shù)列，且公比為＝＝q. (4)等比數(shù)列(q≠－1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等比數(shù)列，其公差為qk. 等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等差數(shù)列，公差為k2d. 5．易錯(cuò)提醒 (1)應(yīng)用關(guān)系式an＝時(shí)，一定要注意分n＝1，n≥2兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起． (2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是b＝，但三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac. 真題感悟 1．(xx大綱全國(guó))等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數(shù)列{lg an}的前8項(xiàng)和等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　C 解析　數(shù)列{lg an}的前8項(xiàng)和S8＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1a2…a8)＝lg(a1a8)4 ＝lg(a4a5)4＝lg(25)4＝4. 2．(xx北京)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大． 答案　8 解析　∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0. ∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<－a8<0. ∴數(shù)列的前8項(xiàng)和最大，即n＝8. 押題精練 1．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列一定成立的是(　　) A．若a3>0，則a2 013<0 B．若a4>0，則a2 014<0 C．若a3>0，則a2 013>0 D．若a4>0，則a2 014>0 答案　C 解析　因?yàn)閍3＝a1q2，a2 013＝a1q2 012，而q2與q2 012均為正數(shù)，若a3>0，則a1>0，所以a2 013>0，故選C. 2．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，bn＝.若對(duì)任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 答案　(－8，－7) 解析　an＝a＋(n－1)1＝n＋a－1，所以bn＝＝，因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，即≥(n∈N*)恒成立，即≤0(n∈N*)，則有解得－80，∴an＋1＝an＋2. ∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是公差d＝2的等差數(shù)列． ∵a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列， ∴a＝a2a14，(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3， 由條件可知，4a1＝a－5＝4，∴a1＝1， ∵a2－a1＝3－1＝2， ∴{an}是首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列． ∴等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. ∵等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝＝3， ∴等比數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝3n. (2)Tn＝＝＝， ∴(＋)k≥3n－6對(duì)任意的n∈N*恒成立， ∴k≥對(duì)任意的n∈N*恒成立， 令cn＝，cn－cn－1＝－＝， 當(dāng)n≤3時(shí)，cn>cn－1； 當(dāng)n≥4時(shí)，cn0，上式不成立； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(－2)n＝－2n≤－2 012， 即2n≥2 012，得n≥11. 綜上，存在符合條件的正整數(shù)n，且所有這樣的n的集合為{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．