專題四利用圖形變換添加輔助線,解答平面幾何題有難度,多半是添加輔助線帶來(lái)的.我們平時(shí)添加的輔助線大多是作平行線、垂線、連接、延長(zhǎng)之類,其實(shí)這是表象,而本質(zhì)是利用圖形變換轉(zhuǎn)換解題思路所得.初中階段常見(jiàn)的圖形變換有:圖形的平移,圖形的對(duì)稱(軸對(duì)稱和中心對(duì)稱),圖形的旋轉(zhuǎn),圖形的相似(包括全等、位似)等.我們?cè)诮鉀Q平面幾何問(wèn)題時(shí),如果已知條件不好直接使用,或結(jié)論難以直接達(dá)到,可以通過(guò)這些圖形變換進(jìn)行“圖”移“形”動(dòng),使得條件發(fā)生轉(zhuǎn)化,從而找到添加輔助線的思路并解答,但直接呈現(xiàn)在我們面前的并不是圖形變換,而是作平行線、垂線、連接、延長(zhǎng)等.這類試題幾乎每年都會(huì)多次遇到,如2015年安徽數(shù)學(xué)中考第14題、第23題,2017年第18題、第23題,2018年第23題等.,類型1,類型2,類型3,類型4,類型5,利用平移“添輔”典例1如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC=BD,AC與BD的銳夾角為60.求證:AD+BC>AC.,【解析】題中的“對(duì)角線AC=BD,AC與BD的銳夾角為60”等已知條件難以直接運(yùn)用,可通過(guò)平移線段AD和AC,把這些已知條件集中到BDE中去,再解答.,類型1,類型2,類型3,類型4,類型5,【答案】過(guò)點(diǎn)C作AD的平行線,過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線,二者交于點(diǎn)E,連接BE.即四邊形ACED為平行四邊形,DE=AC=BD,BDE=BOC=60,即BDE為等邊三角形.BD=DE=BE.在BCE中,CE+BC>BE,即AD+BC>AC.,類型1,類型2,類型3,類型4,類型5,利用軸對(duì)稱“添輔”典例2(2017安徽第10題)如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.動(dòng)點(diǎn)P滿足,則點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值為(),類型1,類型2,類型3,類型4,類型5,【答案】D【名師點(diǎn)撥】像這種利用軸對(duì)稱性質(zhì)求兩條線段之和的最小值問(wèn)題是一個(gè)固定的模型,有人形象地稱為“將軍飲馬”問(wèn)題,注意體會(huì)并運(yùn)用這個(gè)模型.同時(shí),這樣添加輔助線,也是巧妙地解決了結(jié)論“求點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和PA+PB的最小值”的問(wèn)題.就是說(shuō),我們進(jìn)行圖形變換,有時(shí)也是為了解決難以直接達(dá)到結(jié)論的問(wèn)題.,類型1,類型2,類型3,類型4,類型5,利用中心對(duì)稱“添輔”典例3(2014安徽第14題)如圖,在ABCD中,AD=2AB,F是AD的中點(diǎn),作CEAB,垂足E在線段AB上,連接EF,CF,則下列結(jié)論中一定成立的是.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上),DCF=BCD;EF=CF;SBEC=2SCEF;DFE=3AEF.,類型1,類型2,類型3,類型4,類型5,【解析】充分利用“F是AD的中點(diǎn)”這個(gè)條件,作AEF關(guān)于F點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形DFG,再過(guò)點(diǎn)F作AB的平行線,這樣即可利用中心對(duì)稱(或全等三角形)的性質(zhì)以及三角形中位線定理解答.過(guò)點(diǎn)D作DGAB交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)F作FHAB交BC于點(diǎn)H,交CE于點(diǎn)O.易得C,D,G在同一條直線上,AEFDGF.AD=2AB,F是AD的中點(diǎn),H是BC的中點(diǎn),DF=CH=CD.DFCH,四邊形CDFH是菱形,CF平分BCD,故DCF=BCD成立;ABCG,ECG=90,在RtECG中,CF是EG的中線,CF=EF=FG,故EF=CF成立;SCEF=SCGF=SCDF+SDFG=SCDF+SAEF,2SCEF=SCDF+SAEF+SCEF=S梯形AECD,顯然SBECCD),點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),若A+B=90,則下列結(jié)論成立的是()A.AB+CD=3EFB.AB+CD=4EFC.AB-CD=EFD.AB-CD=2EF【解析】過(guò)點(diǎn)F分別作FGAD交AB于點(diǎn)G,作FHBC交AB于點(diǎn)H,易得AB-CD=GH=2EF.,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,2.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,BC=5,AE=4,BAD=BCD=90,AEBC于點(diǎn)E,則BE的長(zhǎng)為(),C,【解析】將圖中的ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得到ADE,易得ABEADE,E=AEB=90,ADE=B,EAD=BAE,BAD=BCD=90,B+ADC=180,ADE+ADC=180,即C,D,E三點(diǎn)在同一條直線上,AEC=C=E=90,AE=AE,四邊形AECE為正方形,AE=EC=4,BE=1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,B,【解析】過(guò)點(diǎn)E作EGBC,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,ED=EC,EDC=ECD,即B+BED=ACB+ACE,AB=AC,B=ACB,BED=ACE,EGBC,G=ACB=B,在BED和GCE中,BED=ACE,G=B,EC=ED,BEDGCE,EG=BD=CD,GEFCDF,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.(2018天津)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是()A.ABB.DEC.BDD.AF【解析】過(guò)點(diǎn)E作關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE,交BD于點(diǎn)P,PA+PE的最小值為AE.E為AD的中點(diǎn),E為CD的中點(diǎn),四邊形ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA,ABF=ADE=90,DE=BF,ABFADE,AE=AF=AP+EP.,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.如圖,在ABC中,AB=5,AC=3,D為BC的中點(diǎn),則AD的取值范圍是.,1<AD<4,【解析】過(guò)B點(diǎn)作BAAC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A,易得ACDABD.AD=AD,AA=2AD.2<AA<8,1<AD<4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.如圖,在RtABC中,D為斜邊AB上一點(diǎn),AD=2,BD=1,四邊形DECF是正方形,設(shè)ADE和BDF的面積分別為S1,S2,則S1+S2的值為.,1,【解析】將BDF繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,得DEF,易得DEFDFB,S1+S2=SADF,DF=BD=1,SADF=ADDF=1,S1+S2=1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.如圖,在ABC中,ACB=90,AC=BC,E為AC的中點(diǎn),DAAB,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,F為AB上一點(diǎn),ACF=CBE,CF交BD于O點(diǎn).給出以下結(jié)論:AD=AF;CF=2DE;OBCF;SOBC=SOFB.其中正確的是(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上),【解析】易得OBCF,即成立;由E為AC的中點(diǎn),得FBECBE,則OCOF,即SOBCSOFB,不成立;過(guò)點(diǎn)C作CHAB于點(diǎn)H,交BD于G點(diǎn),由題意知ADECGE,ACFCBG,AF=CG=AD,即成立;BG=DG=2DE,CF=2DE,即成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,9.如圖,在ABCD中,E為CD的中點(diǎn),F,G分別是AE,BE的中點(diǎn).求證:FD+CG=(AE+BE).,證明:如圖,平移線段AD至CM,連接EM.易得A,E,M三點(diǎn)在同一條直線上.易得ADEMCE,AE=ME,CM=AD.AD=BC,BC=CM,BG=GE,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.如圖,小河的兩岸ABCD,兩岸有兩個(gè)村莊P,Q,P到河岸AB的距離為2千米,Q到河岸CD的距離也為2千米,AB與CD的距離為4千米,兩村莊之間的距離PQ=10千米.現(xiàn)準(zhǔn)備在河上修一座長(zhǎng)為4千米的橋MN,并在河的兩岸修筑公路PM,QN,求PM+MN+QN的最小值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:如圖,過(guò)點(diǎn)Q作CD的平行線,過(guò)點(diǎn)P作CD的垂線,兩線相交于E點(diǎn),在PE上截取PF=4千米,連接QF與CD交于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作NMAB于點(diǎn)M,連接PM,易得四邊形MNFP為平行四邊形,PM+QN=FQ,這時(shí)PM+QN的值最小,亦即PM+MN+QN的值最小.在RtPQE中,PQ=10,PE=8,QE=6,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.如圖,在ABC中,AB=AC,P是AC的中點(diǎn),C是BD的中點(diǎn),連接BP,PD,CPD=A.求證:PD=AB.,證明:作ABC關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱圖形EDC,即CDECBA,E=A,DE=AB,CPD=A,E=CPD,PD=DE,即PD=AB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,12.(2018合肥包河區(qū)一模節(jié)選)如圖,在ABC中,ACB=90,BAC=60,AC=1,P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),分別連接PA,PB,PC.(1)已知APB=BPC=APC,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,將APB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到AMN.請(qǐng)畫(huà)出圖形,并證明C,P,M,N四點(diǎn)在同一條直線上;(2)求PA+PB+PC的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解:(1)畫(huà)圖(如圖所示).證明:易得APBAMN,APM為等邊三角形,APM=60,APB=BPC=APC,APB=BPC=APC=120,APM+APC=60+120=180,AMP+AMN=180,C,P,M,N四點(diǎn)在同一條直線上.(2)連接BN,易得ABN為等邊三角形,ABN=60,易得ABC=30,CBN=90,