2019-2020年高考數(shù)學(xué) 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用練習(xí) (25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(xx中山模擬)物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題,特別是菜價(jià),我國(guó)某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià),提出四種綠色運(yùn)輸方案.據(jù)預(yù)測(cè),這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0,各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示,在這四種方案中,運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是()【解析】選B.由題知運(yùn)輸效率即,即相當(dāng)于圖象上的點(diǎn)(t,Q)與原點(diǎn)連線的斜率,即連線斜率逐步提高.由題知選項(xiàng)A,效率不變,選項(xiàng)C逐步減小,選項(xiàng)D先減小,再增大,選項(xiàng)B為逐步提高,故選B.2.(xx嘉興模擬)某汽車運(yùn)輸公司,購(gòu)買了一批豪華大客車投入客運(yùn),據(jù)市場(chǎng)分析,每輛客車營(yíng)運(yùn)總利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系如圖所示(近似拋物線的一段),則每輛客車營(yíng)運(yùn)多少年使其營(yíng)運(yùn)年平均利潤(rùn)最大()A.3B.4C.5D.6【解析】選C.求得:y=-(x-6)2+11,所以有最大值2,此時(shí)x=5.3.牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏溫度的不同而不同,假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)y=kax,若牛奶在0的冰箱中,保鮮時(shí)間約為100 h,在5的冰箱中,保鮮時(shí)間約為80 h,那么在10時(shí)保鮮時(shí)間約為()A.49 hB.56 hC.64 hD.72 h【解析】選C.由得k=100,a5=,所以當(dāng)10時(shí),保鮮時(shí)間為100a10=100()2=64(h),故選C.4.(xx天津模擬)國(guó)家規(guī)定某行業(yè)征稅如下:年收入在280萬(wàn)元及以下的稅率為p%,超過(guò)280萬(wàn)元的部分按(p+2)%征稅,有一公司的實(shí)際繳稅比例為(p+0.25)%,則該公司的年收入是()A.560萬(wàn)元B.420萬(wàn)元C.350萬(wàn)元D.320萬(wàn)元【思路點(diǎn)撥】設(shè)年收入為x,構(gòu)建分段函數(shù)模型求解.【解析】選D.設(shè)該公司的年收入為x,納稅額為y,則由題意,得y=依題意有,=(p+0.25)%,解之得x=320(萬(wàn)元).【加固訓(xùn)練】(xx張家界模擬)由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展,計(jì)算機(jī)的成本不斷降低,若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低,現(xiàn)在價(jià)格為8 100元的計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)15年價(jià)格應(yīng)降為()A. 2 000元B. 2 400元C. 2 800元D. 3 000元【解析】選B.設(shè)經(jīng)過(guò)3個(gè)5年,產(chǎn)品價(jià)格為y元,則y=8 100(1-)3=2 400.5.圖形M(如圖所示)是由底為1,高為1的等腰三角形及高為2和3的兩個(gè)矩形所構(gòu)成,函數(shù)S=S(a)(a0)是圖形M介于平行線y=0及y=a之間的那一部分面積,則函數(shù)S(a)的圖象大致是()【解析】選C.依題意,當(dāng)0a1時(shí),當(dāng)1<a2時(shí),S(a)= +2a;當(dāng)2<a3時(shí),S(a)= +2+a=a+;當(dāng)a>3時(shí),S(a)= +2+3=,于是S(a)=由解析式可知選C.【一題多解】本題還可以采用如下方法選C.直線y=a在0,1上平移時(shí)S(a)的變化量越來(lái)越小,故可排除選項(xiàng)A,B.而直線y=a在1,2上平移時(shí)S(a)的變化量比在2,3上的變化量大,故可排除選項(xiàng)D.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(xx漳州模擬)有一批材料可以建成200 m長(zhǎng)的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地,中間用同樣材料隔成三個(gè)面積相等的小矩形(如圖所示),則圍成場(chǎng)地的最大面積為(圍墻厚度不計(jì)).【解題提示】根據(jù)題目中條件,建立二次函數(shù)模型,采用配方法求最高值即可.【解析】設(shè)矩形場(chǎng)地的寬度為x m,則矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為(200-4x)m,面積S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2 500.故當(dāng)x=25時(shí),S取得最大值2 500,即圍成場(chǎng)地的最大面積為2 500 m2.答案:2 500 m27.某單位“五一”期間組團(tuán)包機(jī)去上海旅游,其中旅行社的包機(jī)費(fèi)為30 000元,旅游團(tuán)中的每人的飛機(jī)票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅游團(tuán)中的人數(shù)在30或30以下,飛機(jī)票每張收費(fèi)1 800元.若旅游團(tuán)的人數(shù)多于30人,則給以優(yōu)惠,每多1人,機(jī)票費(fèi)每張減少20元,但旅游團(tuán)的人數(shù)最多有75人,那么旅游團(tuán)的人數(shù)為人時(shí),旅行社獲得的利潤(rùn)最大.【解析】設(shè)旅游團(tuán)的人數(shù)為x人,飛機(jī)票為y元,利潤(rùn)為Q元,依題意,當(dāng)1x30時(shí),y =1 800元,此時(shí)利潤(rùn)Q=yx-30 000=1 800x-30 000,此時(shí)最大值是當(dāng)x=30時(shí),Qmax=1 80030-30 000=24 000(元);當(dāng)30<x75時(shí),y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此時(shí)利潤(rùn)Q=yx-30 000=-20x2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以當(dāng)x=60時(shí),旅行社可獲得的最大利潤(rùn)42 000元.綜上,當(dāng)旅游團(tuán)的人數(shù)為60人時(shí),旅行社獲得的利潤(rùn)最大.答案:608.(xx濰坊模擬)某地西紅柿從2月1日起開始上市,通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,得到西紅柿種植成本Q(單位:元/100 kg)與上市時(shí)間t(單位:天)的數(shù)據(jù)如下表:時(shí)間t60100180種植成本Q11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù),從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系.Q=at+b,Q=at2+bc+c,Q=abt,Q=alogbt利用你選取的函數(shù),求得:(1)西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是.(2)最低種植成本是(元/100kg).【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)不單調(diào),所以Q=at2+bt+c且開口向上,對(duì)稱軸代入數(shù)據(jù)得所以西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是120.最低種植成本是14 400a+120b+c=14 4000.01+120(-2.4)+224=80.答案:(1)120(2)80三、解答題(每小題10分,共20分)9.某校學(xué)生社團(tuán)心理學(xué)研究小組在對(duì)學(xué)生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中,發(fā)現(xiàn)其注意力指數(shù)p與聽(tīng)課時(shí)間t之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線.當(dāng)t(0,14時(shí),曲線是二次函數(shù)圖象的一部分,當(dāng)t14,40時(shí),曲線是函數(shù)y=loga(t-5)+83(a>0且a1)圖象的一部分.根據(jù)專家研究,當(dāng)注意力指數(shù)p大于等于80時(shí)聽(tīng)課效果最佳.(1)試求p=f(t)的函數(shù)關(guān)系式.(2)老師在什么時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽(tīng)課效果最佳?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)t(0,14時(shí),設(shè)p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),將(14,81)代入得c=-,t(0,14時(shí),p=f(t)=-(t-12)2+82;t14,40時(shí),將(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=,所以p=f(t)=(2)t(0,14時(shí),由-(t-12)2+8280,解得12-2t12+2,所以t12-2,14,t(14,40時(shí),由log(t-5)+8380,解得5<t32,所以t(14,32,所以t12-2,32,即老師在t12-2,32時(shí)段內(nèi)安排核心內(nèi)容能使得學(xué)生聽(tīng)課效果最佳.10.(xx徐州模擬)近年來(lái),某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬(wàn)元,為了節(jié)能減排,決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽(yáng)能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng),安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)(單位:萬(wàn)元)與太陽(yáng)能電池板的面積x(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽(yáng)能和電能互補(bǔ)供電的模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)C(單位:萬(wàn)元)與安裝的這種太陽(yáng)能電池板的面積x(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)=(x0,k為常數(shù)).記F(x)為該企業(yè)安裝這種太陽(yáng)能供電設(shè)備的費(fèi)用與該企業(yè)15年共消耗的電費(fèi)之和.(1)試解釋C(0)的實(shí)際意義,并建立F(x)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)x為多少平方米時(shí),F(x)取得最小值?最小值是多少萬(wàn)元?【解析】(1)C(0)的實(shí)際意義是安裝這種太陽(yáng)能電池板的面積為0時(shí)的電費(fèi),即未安裝太陽(yáng)能供電設(shè)備時(shí)企業(yè)每年消耗的電費(fèi)為C(0)=24,得k=2 400,所以F(x)=15+0.5x=+0.5x(x0).(2)因?yàn)镕(x)=+0.5(x+5)-2.5-2.5=57.5,當(dāng)且僅當(dāng)=0.5(x+5),即x=55時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)x為55平方米時(shí),F(x)取得最小值,最小值為57.5萬(wàn)元.【加固訓(xùn)練】圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m的進(jìn)出口,如圖所示.已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長(zhǎng)度為x(單位:m),修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位:元).(1)將y表示為x的函數(shù).(2)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用.【解析】(1)設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為a m,則y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360,由已知xa=360,得a=,所以y=-360(x>2).(2)因?yàn)閤>2,所以225x+=10 800,所以y=225x+ -36010 440.當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí),等號(hào)成立.即當(dāng)x=24 m時(shí),修建圍墻的總費(fèi)用最小,最小總費(fèi)用是10 440元.(20分鐘40分)1.(5分)已知一容器中有A,B兩種菌,且在任何時(shí)刻A,B兩種菌的個(gè)數(shù)乘積為定值1010,為了簡(jiǎn)單起見(jiàn),科學(xué)家用PA=lg(nA)來(lái)記錄A菌個(gè)數(shù)的資料,其中nA為A菌的個(gè)數(shù),則下列判斷中正確的個(gè)數(shù)為()PA1;若今天的PA值比昨天的PA值增加1,則今天的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多了10個(gè);假設(shè)科學(xué)家將B菌個(gè)數(shù)控制為5萬(wàn)個(gè),則此時(shí)5<PA<5.5.A.0B.1C.2D.3【解析】選B.當(dāng)nA=1時(shí)PA=0,故錯(cuò)誤;若PA=1,則nA=10,若PA=2,則nA=100,故錯(cuò)誤;設(shè)B菌的個(gè)數(shù)為nB=5104,所以nA=2105,所以PA=lg(nA)=lg 2+5.又因?yàn)閘g 20.3,所以5<PA<5.5,故正確.2.(5分)某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60(如圖),考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素,設(shè)計(jì)其橫斷面要求面積為9平方米,且高度不低于米.記防洪堤橫斷面的腰長(zhǎng)為x米,外周長(zhǎng)(梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和)為y米.要使防洪堤橫斷面的外周長(zhǎng)不超過(guò)10.5米,則其腰長(zhǎng)x的范圍為()A.2,4B.3,4C.2,5D.3,5【解析】選B.根據(jù)題意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2=BC+x,h=x,所以9=(2BC+x)x,得BC=-,由得2x<6.所以y=BC+2x=+ (2x<6),由y=+10.5解得3x4.因?yàn)?,42,6),所以腰長(zhǎng)x的范圍是3,4.故選B.3.(5分)(xx湖南高考)某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長(zhǎng)率為p,第二年的增長(zhǎng)率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為()A.B.C.D. -1【解析】選D.設(shè)該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長(zhǎng)率為x,則由已知,列得(1+x)2=(1+p)(1+q),解得x=-1.4.(12分)(xx長(zhǎng)春模擬)某產(chǎn)品原來(lái)的成本為1 000元/件,售價(jià)為1 200元/件,年銷售量為1萬(wàn)件,由于市場(chǎng)和顧客要求提高,公司計(jì)劃投入資金進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí),據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,若投入x萬(wàn)元,每件產(chǎn)品的成本將降低x,在售價(jià)不變的情況下,年銷售量將減少萬(wàn)件,按上述方式進(jìn)行產(chǎn)品升級(jí)和銷售,扣除產(chǎn)品升級(jí)資金后的純利潤(rùn)為f(x)(單位:萬(wàn)元).(1)求f(x)的函數(shù)解析式.(2)求f(x)的最大值,以及f(x)取得最大值時(shí)x的值.【解題提示】(1)求出升級(jí)后每件的成本、利潤(rùn)及年銷售量,則利潤(rùn)的函數(shù)解析式可求.(2)利用基本不等式求出f(x)的最大值.【解析】(1)依題意,產(chǎn)品升級(jí)后,每件的成本為1 000-元,利潤(rùn)為200+元,年銷售量為1-萬(wàn)件,純利潤(rùn)為f(x)=198.5-.(2)f(x)=198.5-198.5-2=178.5.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng),即x=40時(shí)成立.所以f(x)取最大值時(shí)的x的值為40.【加固訓(xùn)練】如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN,要求B點(diǎn)在AM上,D點(diǎn)在AN上,且對(duì)角線MN過(guò)C點(diǎn),已知|AB|=3米,|AD|=2米.(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米,則AN的長(zhǎng)度應(yīng)在什么范圍內(nèi)?(2)當(dāng)AN的長(zhǎng)度是多少時(shí),矩形AMPN的面積最小?并求出最小值.【解析】設(shè)AN的長(zhǎng)為x(x>2)米,由得|AM|=,所以S矩形AMPN=|AN|AM|=.(1)由S矩形AMPN>32,得>32,又x>2,于是3x2-32x+64>0,解得2<x<或x>8,即AN長(zhǎng)的取值范圍為(2, )(8,+).(2)S矩形AMPN=24,當(dāng)且僅當(dāng)3(x-2)=,即x=4時(shí),y=取得最小值24.所以當(dāng)AN=4米時(shí),矩形AMPN的面積最小,最小為24平方米.5.(13分)(能力挑戰(zhàn)題)省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后,發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時(shí)刻x(時(shí))的關(guān)系為f(x)=,x0,24,其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù),且a0,1,若用每天f(x)的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù),并記作M(a).(1)令t=,x0,24,求t的取值范圍.(2)省政府規(guī)定,每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過(guò)2,試問(wèn)目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)?【解析】(1)當(dāng)x=0時(shí),t=0;當(dāng)0<x24時(shí),1(當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),所以0<t1,綜上,t的取值范圍是0,1.(2)當(dāng)a0,1時(shí),記g(t)=|t-a|+2a+,則g(t)=因?yàn)間(t)在0,a上單調(diào)遞減,在(a,1上單調(diào)遞增,且g(0)=3a+,g(1)=a+,g(0)-g(1)=2（a-）.故M(a)=即M(a)=所以當(dāng)且僅當(dāng)0a時(shí),M(a)2.故當(dāng)0a時(shí)不超標(biāo),當(dāng)<a1時(shí)超標(biāo).【加固訓(xùn)練】某投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬(wàn)元建起一座蔬菜加工廠,第一年共支出12萬(wàn)元,以后每年支出增加4萬(wàn)元,從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬(wàn)元,設(shè)f(n)表示前n年的純利潤(rùn)總和(f(n)=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額).(1)該廠從第幾年開始盈利?(2)若干年后,投資商為開發(fā)新項(xiàng)目,對(duì)該廠有兩種處理方法:年平均純利潤(rùn)達(dá)到最大時(shí),以48萬(wàn)元出售該廠,純利潤(rùn)總和達(dá)到最大時(shí),以16萬(wàn)元出售該廠,問(wèn)哪種方案更合算?【解析】(1)由題意,第一年共支出12萬(wàn)元,以后每年支出增加4萬(wàn)元,可知每年的支出構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,用g(n)表示前n年的總支出,所以g(n)=12n+4=2n2+10n(nN*),因?yàn)閒(n)=前n年的總收入-前n年的總支出-投資額,所以f(n)=50n-(2n2+10n)-72=-2n2+40n-72.由f(n)>0,即-2n2+40n-72>0,解得2<n<18.由nN*知,從第三年開始盈利.(2)方案:年平均純利潤(rùn)為=40-2（n+）16,當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)等號(hào)成立.故方案共獲利616+48=144(萬(wàn)元),此時(shí)n=6.方案:f(n)=-2(n-10)2+128.當(dāng)n=10時(shí),f(n)max=128.故方案共獲利128+16=144(萬(wàn)元).比較兩種方案,獲利都是144萬(wàn)元,但由于方案只需6年,而方案需10年,故選擇方案更合算.