4.3特殊三角形,了解等腰三角形和直角三角形的有關(guān)概念,掌握等腰三角形的判定,并會(huì)運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題,掌握直角三角形的性質(zhì)和判定,理解等邊三角形的性質(zhì)和判定,掌握并運(yùn)用勾股定理及其逆定理.掌握角平分線性質(zhì)定理及其逆定理,并會(huì)利用它解決問(wèn)題,掌握線段垂直平分線定理及其逆定理,并會(huì)利用它解決問(wèn)題.,考點(diǎn)掃描,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,素養(yǎng)提升,等腰三角形的性質(zhì)與判定(8年6考)1.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等,簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”;(2)等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線重合,簡(jiǎn)稱“等腰三角形三線合一”;(3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,底邊上的中線所在的直線就是它的對(duì)稱軸.2.等腰三角形的判定(1)按定義:有兩條邊相等的三角形就是等腰三角形;(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形,簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”.特別提醒等腰三角形“三線合一”是證明兩直線互相垂直的重要方法,也是處理等腰三角形問(wèn)題中的常用輔助線作法.,考點(diǎn)掃描,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,素養(yǎng)提升,3.等邊三角形(1)等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三條邊都相等;等邊三角形的三個(gè)角都是60.(2)等邊三角形的判定按定義:三邊都相等的三角形是等邊三角形;三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;有兩個(gè)角是60的三角形是等邊三角形;有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形.(3)等邊三角形的面積的求法:.名師點(diǎn)睛等邊三角形的四種判定方法都可以應(yīng)用,要根據(jù)不同的條件進(jìn)行選擇,以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,典例1(2018合肥期末)如圖,在ABC中,AB=AC,BAC=36,CD是ACB的平分線交AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)A作AEBC,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求ADC的度數(shù);(2)求證:AE=AC;(3)試問(wèn)ADE是等腰三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出B=ACB=72,求出DCB,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可;(2)先判斷出BCE=ACE,再判斷出BCE=E,即可得出結(jié)論;(3)根據(jù)平行線求出EAD,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出ADE,即可得出答案.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,【答案】(1)AB=AC,BAC=36,B=ACB=(180-BAC)=72,CD是ACB的平分線,DCB=ACB=36,ADC=B+DCB=72+36=108.(2)CD是ACB的平分線,BCE=ACE,AEBC,BCE=E,ACE=E,AE=AC.(3)ADE是等腰三角形.理由:AEBC,EAB=B=72,B=72,DCB=36,ADE=BDC=180-72-36=72,EAD=ADE,AE=DE,即ADE是等腰三角形.,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,提分訓(xùn)練1.復(fù)習(xí)課上,老師給出一個(gè)問(wèn)題“已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6,求它的周長(zhǎng).”小華代表小組發(fā)言:“等腰三角形的邊有兩種,腰和底邊,所以第一種情況5是腰長(zhǎng),6是底邊長(zhǎng);第二種情況5是底邊長(zhǎng),6是腰長(zhǎng),從而得最終結(jié)果為16或17.”小華的上述方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是()A.公理化B.分類討論C.數(shù)形結(jié)合D.由特殊到一般【解析】等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為5和6,而沒有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)行討論,因此體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是分類討論.,B,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,2.(2018合肥包河區(qū)模擬)如圖,在四邊形ABCD中AC,BD為對(duì)角線,AB=BC=AC=BD,則ADC的大小為()A.120B.135C.145D.150,D,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,直角三角形的性質(zhì)與判定(8年7考)1.直角三角形的性質(zhì)(1)直角三角形的兩個(gè)銳角互余;(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;(3)直角三角形中,30的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,等于斜邊的一半的直角邊所對(duì)的角是30;(4)勾股定理:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.名師點(diǎn)睛已知直角三角形中的兩邊求第三邊(沒有明確誰(shuí)是斜邊)時(shí),一般要分類討論:所求邊是斜邊;已知兩邊中的較長(zhǎng)邊是斜邊.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,2.直角三角形的判定(1)有兩個(gè)角的和等于90的三角形是直角三角形;(2)勾股定理的逆定理:如果一個(gè)三角形的一邊的平方等于另兩條邊的平方和,那么這個(gè)三角形是直角三角形(這條邊所對(duì)的角是直角).補(bǔ)充:一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形(這條邊所對(duì)的角是直角).3.直角三角形面積的求法(其中a,b是直角邊,h是斜邊c上的高).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,典例2(2018湖北黃岡)如圖,在RtABC中,ACB=90,CD為AB邊上的高,CE為AB邊上的中線,BD=2,CE=5,則CD=(),【答案】C,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,提分訓(xùn)練3.(2018廣西賀州)如圖,在ABC中,BAC=90,ADBC,垂足為D,E是邊BC的中點(diǎn),AD=ED=3,則BC的長(zhǎng)為(),D,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,初高中銜接射影定理在直角三角形中,斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng),每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).在RtABC中,ABC=90,BD是斜邊AC上的高,則有射影定理如下:BD2=ADCD,AB2=ADAC,BC2=CDAC.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,角的平分線的性質(zhì)與判定(8年4考)1.定義在角的內(nèi)部,以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線.2.性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.3.判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,典例3如圖,已知P是AOB的角平分線上的一點(diǎn),AOB=60,PDOA,M是OP的中點(diǎn),點(diǎn)C是OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若PC的最小值為3cm,則MD的長(zhǎng)度為(),【解析】當(dāng)PCOB時(shí),PC取最小值.P是AOB的角平分線上的一點(diǎn),PDOA,PCOB,PD=PC=3,AOP=30,OP=2PD=6,PDOA,M是OP的中點(diǎn),DM=OP=3.【答案】A,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,【方法指導(dǎo)】已知角的平分線及平分線上一點(diǎn),要解決幾何計(jì)算與證明問(wèn)題,一般過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作到兩邊的垂線.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,提分訓(xùn)練5.如圖所示,在RtABC中,A=90,BD平分ABC,交AC于點(diǎn)D,且AB=4,BD=5,則點(diǎn)D到BC的距離是()A.2B.3C.4D.5【解析】過(guò)點(diǎn)D作DEBC于點(diǎn)E,A=90,BD平分ABC,AD=DE,在RtABD中,A=90,AB=4,BD=5,由勾股定理得AD=3,DE=3,即點(diǎn)D到BC的距離是3.,B,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,6.如圖,BP,CP分別是ABC的外角CBD,ECB的平分線.小明經(jīng)過(guò)分析后,得出了以下結(jié)論:點(diǎn)P在BAC的平分線上;BP=CP;點(diǎn)P到AD,AE,BC的距離相等.把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)寫在橫線上.,【解析】過(guò)點(diǎn)P作PMAB于點(diǎn)M,PGAC于點(diǎn)G,PNBC于點(diǎn)N,由角平分線的性質(zhì)得PM=PN=PG,正確;根據(jù)角平分線的判定定理知,點(diǎn)P在BAC的平分線上,正確;不成立.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,線段的垂直平分線(8年3考)1.定義經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.2.性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.3.判定與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.技巧點(diǎn)撥解題時(shí)常要把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連接,利用垂直平分線的性質(zhì)解題.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,典例4如圖,在ABC中,ACB=90,分別以點(diǎn)A,B為圓心,大于AB長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)M,N,作直線MN分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,連接CD,BE,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.AD=CDB.BE>CDC.BEC=BDCD.BE平分CBD【解析】由題可得,DE是AB的垂直平分線,AE=BE,AD=BD,在RtABC中,D是AB的中點(diǎn),CD=AD,故A正確;DEAB,在RtADE中,AE>AD,BE>CD,故B正確;BEC是等腰ABE的外角,BEC=2A,BDC是等腰ACD的外角,BDC=2A,BEC=BDC,故C正確;當(dāng)A=30時(shí),ABE=30=CBE,當(dāng)A=30時(shí),BE平分ABC,而A不一定為30,BE不一定平分CBD,故D錯(cuò)誤.【答案】D,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,2.等腰三角形中分類討論問(wèn)題典例2已知三角形ABC是等腰三角形.(1)若A=80,求B的度數(shù).(2)當(dāng)A的度數(shù)不同,得到B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,設(shè)A=x,當(dāng)B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí),請(qǐng)你探索x的取值范圍.【解析】(1)由于等腰三角形的頂角和底角沒有明確,因此要分類討論;(2)分兩種情況:90x<180;0<x<90,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可.【答案】(1)若A為頂角,則B=(180-A)2=50;若A為底角,B為頂角,則B=180-280=20;若A為底角,B為底角,則B=80.故B的度數(shù)為50或20或80.,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,(2)分兩種情況:當(dāng)90x<180時(shí),A只能為頂角,B的度數(shù)只有一個(gè);當(dāng)0<x<90時(shí),若A為頂角,即x60時(shí),B有三個(gè)不同的度數(shù).綜上所述,可知當(dāng)0<xAC,其他條件不變,小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)深入研究:如圖,小明在(2)的基礎(chǔ)上,又做了進(jìn)一步的探究.向ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其他條件不變,試判斷GMN的形狀,并給予證明.,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,【解析】(1)利用SAS判斷出ACDAEB,得出CD=BE,ADC=ABE,進(jìn)而判斷出BDC+DBH=90,即BHD=90,最后用三角形中位線定理即可得出結(jié)論;(2)同(1)的方法即可得出結(jié)論;(3)同(1)的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結(jié)論.,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,【答案】(1)連接BE,CD相交于點(diǎn)H,ABD和ACE都是等腰直角三角形,AB=AD,AC=AE,BAD=CAE=90,CAD=BAE,ACDAEB(SAS),CD=BE,ADC=ABE,BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90,BHD=90,CDBE,點(diǎn)M,G分別是BD,BC的中點(diǎn),CD=BE,MG=NG,MGNG.,考點(diǎn)掃描,素養(yǎng)提升,(2)成立.理由:連接CD,BE相交于點(diǎn)H,同(1)的方法得MG=NG,MGNG.(3)連接EB,DC,延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,同(1)的方法得,ABEADC,MG=NG,AEB=ACD,CEH+ECH=AEH-AEC+180-ACD-ACE=ACD-45+180-ACD-45=90,DHE=90,同(1)的方法得MGNG.GMN為等腰直角三角形.,命題點(diǎn)1結(jié)合勾股定理考查最值(?？?1.(2016安徽第10題)詳見專題三典例1命題點(diǎn)2折疊與勾股定理綜合(?？?2.如圖,RtABC中,AB=9,BC=6,B=90,將ABC折疊,使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合,折痕為MN,則線段BN的長(zhǎng)為(),C,【解析】設(shè)BN=x,則AN=DN=9-x,點(diǎn)D是CB的中點(diǎn),則BD=3,在RtNBD中,DN2=BD2+BN2,(9-x)2=9+x2,解得x=4,即BN=4.,命題點(diǎn)3線段垂直平分線的性質(zhì)(冷考)3.如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線,過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線,兩垂線交于點(diǎn)G,連接GA,GB,GC,GD,EF,若AGD=BGC.(1)求證:AD=BC.,解:(1)GE是AB的垂直平分線,GA=GB.同理GD=GC.在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC,AGDBGC,AD=BC.,