4.5解直角三角形,理解銳角三角函數(shù)的意義,理解并能熟記特殊角(30,45,60)的三角函數(shù)值;能夠利用直角三角形的角之間的關(guān)系、邊之間的關(guān)系(勾股定理)、邊角之間的關(guān)系(直角三角形中銳角的三角函數(shù)關(guān)系)正確地解直角三角形.能夠利用解直角三角形的方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.,考點(diǎn)掃描,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,備課資料,銳角三角函數(shù)如圖,在ABC中,C=90.,考點(diǎn)掃描,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,備課資料,典例1如圖,A,B,C是小正方形的頂點(diǎn),且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則tanBAC的值為(),【答案】B【方法指導(dǎo)】解直角三角形時(shí)輔助線的常用作法初中階段的三角函數(shù)都是放在直角三角形中來(lái)研究的,所以如果沒有直角三角形,就需要作出輔助線,構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)闹苯侨切?從而可以利用三角函數(shù)解決問題.,考點(diǎn)掃描,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,備課資料,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,特殊角的三角函數(shù)值(8年8考)1.特殊角的三角函數(shù)值,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,特別提醒特殊角三角函數(shù)值的特點(diǎn)及速記口訣:30,45,60這三個(gè)角的正弦值和余弦值的共同點(diǎn)是:分母都是2,若把分子都加上根號(hào),則被開方數(shù)就相應(yīng)地變成了1,2,3.正切的特點(diǎn)是:將分子全部都帶上根號(hào),令分母值為3,則相應(yīng)的被開方數(shù)就是3,9,27.正弦和正切的增減性都是:函數(shù)值都隨著角度的增大而增大,余弦則隨著角度的增大而減小.根據(jù)此特點(diǎn)不妨編成如下口訣:三十四五六十度,三角函數(shù)記心間,分母弦二切是三,分子要把根號(hào)添,一二三來(lái)三二一,切值三九二十七,正弦正切遞增值,余弦遞減恰相逆.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,2.三角函數(shù)值的變化規(guī)律(1)當(dāng)0<<90時(shí),sin,tan隨著的增大(或減小)而增大(或減小).(2)當(dāng)0<<90時(shí),cos隨著的增大(或減小)而減小(或增大).3.銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系(1)同角之間的三角函數(shù)關(guān)系:tan=.補(bǔ)充:sin2+cos2=1.(2)互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系:sin=cos(90-);cos=sin(90-).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,典例2(2018合肥長(zhǎng)豐縣模擬)tan45sin45-2sin30cos45+tan30=(),【答案】D,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,提分訓(xùn)練2.一般地,當(dāng),為任意角時(shí),cos(+)與cos(-)的值可以用下面的公式求得cos(+)=coscos-sinsin;cos(-)=coscos+sinsin.例如:cos90=cos(30+60)=cos30cos60-sin30sin60,類似地,可以求得cos15的值是.(結(jié)果保留根號(hào)),3.計(jì)算:2cos60+4sin60tan30-cos245.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形(8年1考)1.直角三角形中的邊角關(guān)系(1)三邊的關(guān)系:a2+b2=c2.(2)角的關(guān)系:A+B=90.(3)邊角關(guān)系:,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,2.解直角三角形的類型及解法,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,名師指導(dǎo)列出的這些解直角三角形的方法,僅是一般方法,在具體的問題中,要根據(jù)所給出的條件靈活處理.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,典例3在RtABC中,C=90.(1)已知c=25,b=15,求a;(2)已知a=,A=60,求b,c.【解析】(1)根據(jù)勾股定理即可直接求出a的值;(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)與勾股定理即可求出b,c的值.,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,運(yùn)用解直角三角形解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題(8年8考),考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,名師點(diǎn)睛解直角三角形的應(yīng)用,要注意把這些實(shí)際問題抽象為解直角三角形的問題,如果實(shí)際問題中沒有直角三角形,要注意根據(jù)實(shí)際問題的具體情況構(gòu)造出直角三角形,從而為解決實(shí)際問題創(chuàng)造條件.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,典例4(2018廣西梧州)隨著人們生活水平的不斷提高,旅游已成為人們的一種生活時(shí)尚.為開發(fā)新的旅游項(xiàng)目,我市對(duì)某山區(qū)進(jìn)行調(diào)查,發(fā)現(xiàn)一瀑布.為測(cè)量它的高度,測(cè)量人員在瀑布的對(duì)面山上D點(diǎn)處測(cè)得瀑布頂端A點(diǎn)的仰角是30,測(cè)得瀑布底端B點(diǎn)的俯角是10,AB與水平面垂直.又在瀑布下的水平面測(cè)得CG=27m,GF=17.6m(注:C,G,F三點(diǎn)在同一直線上,CFAB于點(diǎn)F),斜坡CD=20m,坡角ECD=40.求瀑布AB的高度.(參考數(shù)據(jù):1.73,sin400.64,cos400.77,tan400.84,sin100.17,cos100.98,tan100.18),考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,【解析】過點(diǎn)D作DMCE,交CE于點(diǎn)M,作DNAB,交AB于點(diǎn)N,在RtCMD中,通過解直角三角形可求出CM的長(zhǎng)度,進(jìn)而可得出MF,DN的長(zhǎng)度,再在RtBDN,RtADN中,利用解直角三角形求出BN,AN的長(zhǎng)度,結(jié)合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度.【答案】過點(diǎn)D作DMCE,交CE于點(diǎn)M,作DNAB,交AB于點(diǎn)N.在RtCMD中,CD=20m,DCM=40,CMD=90,CM=CDcos4015.4m,DM=CDsin4012.8m,DN=MF=CM+CG+GF=60m.在RtBDN中,BDN=10,BND=90,DN=60m,BN=DNtan1010.8m.在RtADN中,ADN=30,AND=90,DN=60m,AN=DNtan3034.6m.AB=AN+BN=45.4m.答:瀑布AB的高度約為45.4m.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,【方法指導(dǎo)】解直角三角形應(yīng)用題的一般步驟:(1)弄清題中的名詞、術(shù)語(yǔ)的意義,如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,然后根據(jù)題意畫出幾何圖形,建立數(shù)學(xué)模型.(2)將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為解直角三角形的問題.當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí),可添加適當(dāng)?shù)妮o助線,把它們分割成直角三角形或矩形.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,提分訓(xùn)練4.(2018湖南張家界)2017年9月8日-10日,第六屆翼裝飛行世界錦標(biāo)賽在我市天門山風(fēng)景區(qū)隆重舉行,來(lái)自全球11個(gè)國(guó)家的16名選手參加了激烈的角逐.如圖,某選手從離水平地面1000米高的A點(diǎn)出發(fā)(AB=1000米),沿俯角為30的方向直線飛行1400米到達(dá)D點(diǎn),然后打開降落傘沿俯角為60的方向降落到地面上的C點(diǎn),求該選手飛行的水平距離BC.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)掃描,備課資料,考點(diǎn)掃描,備課資料,1.測(cè)量物體的高度的常見模型,考點(diǎn)掃描,備課資料,考點(diǎn)掃描,備課資料,典例1(2018海南)如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量一棵古樹BH和教學(xué)樓CG的高,先在A處用高1.5米的測(cè)角儀測(cè)得古樹頂端H的仰角HDE為45,此時(shí)教學(xué)樓頂端G恰好在視線DH上,再向前走7米到達(dá)B處,又測(cè)得教學(xué)樓頂端G的仰角GEF為60,點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)在同一水平線上.(1)計(jì)算古樹BH的高;(2)計(jì)算教學(xué)樓CG的高.,【解析】(1)利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題;(2)作HJCG于點(diǎn)J.則HJG是等腰直角三角形,四邊形BCJH是矩形,設(shè)HJ=GJ=BC=x,構(gòu)建方程即可解決問題.,考點(diǎn)掃描,備課資料,【答案】(1)由題意知四邊形ABED是矩形,可得DE=AB=7米,AD=BE=1.5米,在RtDEH中,EDH=45,HE=DE=7米.BH=EH+BE=8.5米.(2)作HJCG于點(diǎn)J,則HJG是等腰直角三角形,四邊形BCJH是矩形,設(shè)HJ=GJ=BC=x.,考點(diǎn)掃描,備課資料,2.銳角三角函數(shù)與相似知識(shí)相結(jié)合的綜合問題典例2(2018江蘇連云港)如圖1,水壩的橫截面是梯形ABCD,ABC=37,壩頂DC=3m,背水坡AD的坡度i(即tanDAB)為10.5,壩底AB=14m.,(1)求壩高;(2)如圖2,為了提高堤壩的防洪抗洪能力,防汛指揮部決定在背水坡將壩頂和壩底同時(shí)拓寬加固,使得AE=2DF,EFBF,求DF的長(zhǎng).,考點(diǎn)掃描,備課資料,考點(diǎn)掃描,備課資料,考點(diǎn)掃描,備課資料,命題點(diǎn)解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用(必考)1.(2018安徽第19題)為了測(cè)量豎直旗桿AB的高度,某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD,并在地面上水平放置一個(gè)平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上,如圖所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測(cè)到旗桿頂A(此時(shí)AEB=FED).在F處測(cè)得旗桿頂A的仰角為39.3,平面鏡E的俯角為45,FD=1.8米,問旗桿AB的高度約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):tan39.30.82,tan84.310.02),2.(2017安徽第17題)如圖,游客在點(diǎn)A處坐纜車出發(fā),沿ABD的路線可至山頂D處.假設(shè)AB和BD都是直線段,且AB=BD=600m,=75,=45,求DE的長(zhǎng).(參考數(shù)據(jù):sin750.97,cos750.26,1.41),解:在RtABC中,AB=600m,ABC=75,BC=ABcos756000.26=156(m).在RtBDF中,DBF=45,DF=BDsin45=6003001.41=423(m).四邊形BCEF是矩形,EF=BC,DE=DF+EF423+156=579(m).答:DE的長(zhǎng)為579m.,3.(2016安徽第19題)如圖,河的兩岸l1與l2相互平行,A,B是l1上的兩點(diǎn),C,D是l2上的兩點(diǎn).某人在點(diǎn)A處測(cè)得CAB=90,DAB=30,再沿AB方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E(點(diǎn)E在線段AB上),測(cè)得DEB=60,求C,D兩點(diǎn)間的距離.,解:過點(diǎn)D作l1的垂線,垂足為F,DEB=60,DAB=30,ADE=DEB-DAB=30,ADE為等腰三角形,DE=AE=20(米),在RtDEF中,EF=DEcos60=20=10(米).DFAF,DFB=90,ACDF,由已知l1l2,CDAF,四邊形ACDF為矩形,CD=AF=AE+EF=30(米),答:C,D兩點(diǎn)間的距離為30米.,