7.3合情推理與演繹推理,知識梳理,考點自測,1.合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實,先經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進行歸納、,然后提出猜想的推理,我們把它們統(tǒng)稱為合情推理.,類比,部分對象,全部對象,個別事實,一般結論,某些類似特征,某些已知特征,部分整體,特殊一般,特殊特殊,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,2.演繹推理(1)定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個特殊情況下的結論,我們把這種推理稱為演繹推理.(2)特點:演繹推理是由一般到特殊的推理.(3)模式:“三段論”是演繹推理的一般模式:,條件,特殊問題,M是P,S是M,知識梳理,考點自測,知識梳理,考點自測,1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)歸納推理得到的結論不一定正確,類比推理得到的結論一定正確.()(2)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理.()(3)在類比時,平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.()(4)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()(5)演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時,得到的結論一定正確.(),知識梳理,考點自測,2.(2017安徽滁州模擬)若大前提是:任何實數(shù)的平方都大于0,小前提是:aR,結論是:a2>0,則這個演繹推理出錯在()A.大前提B.小前提C.推理過程D.沒有出錯,A,解析:本題中大前提是錯誤的,因為0的平方不大于0,故選A.,知識梳理,考點自測,3.(教材習題改編P7T1)如圖,根據(jù)圖中的數(shù)構成的規(guī)律,a表示的數(shù)是()122343412124548a485A.12B.48C.60D.144,D,解析:由題干圖中的數(shù)據(jù)可知,每行除首末兩數(shù)外,其他數(shù)等于其上一行兩肩上的數(shù)字的乘積.所以a=1212=144.,知識梳理,考點自測,4.(2017全國,文9)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績,看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績,D,解析:由甲的說法知乙、丙一位優(yōu)秀一位良好.則甲、丁也是一位優(yōu)秀一位良好;乙看到丙的成績則知道自己的成績.又丁看到甲的成績,所以丁也知道自己的成績,故選D.,知識梳理,考點自測,5.(教材習題改編P7T2)在平面上,若兩個正三角形的邊長的比為12,則它們的面積比為14.類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長的比為12,則它們的體積比為.,18,解析:由平面圖形的面積類比立體圖形的體積得出:在空間內,若兩個正四面體的棱長的比為12,則它們的底面積之比為14,對應高之比為12,所以體積比為18.,考點一,考點二,考點三,考點四,歸納推理(多考向)考向1數(shù)的歸納例1觀察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,則52016的末四位數(shù)字為()A.3125B.5625C.0625D.8125,C,解析:58=390625,59=1953125,由此看出,末四位數(shù)字具有周期性,且周期為4,又2016=4504,由此知52016的末四位數(shù)字應為0625,故選C.,思考進行數(shù)的歸納時,應注意觀察數(shù)的什么變化?,考點一,考點二,考點三,考點四,考向2式的歸納,根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:當nN*且n2時,fn(x)=f(fn-1(x)=.,考點一,考點二,考點三,考點四,思考進行式的歸納時,應注意尋找什么?,考點一,考點二,考點三,考點四,考向3形的歸納例3仔細觀察下面4個數(shù)字所表示的圖形:請問:數(shù)字100所代表的圖形中小方格的個數(shù)為.,20201,解析:觀察所給圖形知,數(shù)字i+1所代表的圖形比數(shù)字i所代表的圖形多4(i+1)個小方格.因此數(shù)字100所代表的圖形中小方格的個數(shù)為1+14+24+34+1004=20201.,思考進行形的歸納時,主要歸納什么的變化?,考點一,考點二,考點三,考點四,解題心得歸納推理的三個類型1.數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和等式、不等式的歸納,解決此類問題時,需要細心觀察,尋找數(shù)字變化與項數(shù)的關系或數(shù)字變化的周期性.2.式的歸納可根據(jù)已知或所求的式子尋找每個式子都具有的規(guī)律.3.形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練1(1)觀察下列特殊的不等式:,考點一,考點二,考點三,考點四,(2)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,則a8+b8=.(3)用火柴棒擺“金魚”,如圖所示:按照上面的規(guī)律,第n條“金魚”需要火柴棒的根數(shù)為.,47,6n+2,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,(2)通過觀察發(fā)現(xiàn),從第三項起,等式右邊的常數(shù)分別為其前兩項等式右邊的常數(shù)的和.因此,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,故答案為47.(3)由圖形間的關系可以看出,第一個圖中有8根火柴棒,第二個圖中有8+6根火柴棒,第三個圖中有8+26根火柴棒,以此類推第n個“金魚”需要火柴棒的根數(shù)是8+6(n-1),即6n+2.,考點一,考點二,考點三,考點四,類比推理,考點一,考點二,考點三,考點四,思考類比推理的關鍵是什么?解題心得類比推理的關鍵及類型1.進行類比推理,應從具體問題出發(fā),通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比,提出猜想.其中找到合適的類比對象是解題的關鍵.2.類比推理常見的情形有:平面與空間類比;低維與高維類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;運算類比(加與積,乘與乘方,減與除,除與開方);數(shù)的運算與向量運算類比;圓錐曲線間的類比等.,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,考點一,考點二,考點三,考點四,演繹推理例5下面四個推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()A.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);小前提:是無理數(shù);結論:是無限不循環(huán)小數(shù)B.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);小前提:是無限不循環(huán)小數(shù);結論:是無理數(shù)C.大前提:是無限不循環(huán)小數(shù);小前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);結論:是無理數(shù)D.大前提:是無限不循環(huán)小數(shù);小前提:是無理數(shù);結論:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù),B,解析:A中小前提不是大前提的特殊情況,不符合三段論的推理形式,故A錯;C,D都不是由一般性命題到特殊性命題的推理,所以A,C,D都不正確,只有B正確,故選B.,考點一,考點二,考點三,考點四,思考演繹推理中得出的結論一定正確嗎?解題心得演繹推理的前提和結論之間有著某種蘊含關系,解題時要找準正確的大前提.一般地,若大前提不明確時,一般可找一個使結論成立的充分條件作為大前提,只要大前提、小前提和推理形式是正確的,結論必定是正確的.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練3已知函數(shù)y=f(x)滿足:對任意a,bR,ab,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),(1)試證明:f(x)為R上的單調增函數(shù);(2)若x,y為正實數(shù)且,比較f(x+y)與f(6)的大小.,考點一,考點二,考點三,考點四,(1)證明設x1,x2R,且x1x1f(x2)+x2f(x1),所以x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)>0,f(x2)-f(x1)(x2-x1)>0.因為x10,所以f(x2)>f(x1).所以y=f(x)為R上的單調增函數(shù).,考點一,考點二,考點三,考點四,生活中的合情推理例6(2017北京,文14)某學習小組由學生和教師組成,人員構成同時滿足以下三個條件:()男學生人數(shù)多于女學生人數(shù);()女學生人數(shù)多于教師人數(shù);()教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù).若教師人數(shù)為4,則女學生人數(shù)的最大值為;該小組人數(shù)的最小值為.,6,12,考點一,考點二,考點三,考點四,解析:設男學生人數(shù)為x,女學生人數(shù)為y,教師人數(shù)為z,則有2z>x>y>z,x,y,zN*.教師人數(shù)為4,即z=4,8>x>y>4,所以y的最大值為6,故女學生人數(shù)的最大值為6.由題意知2z>x>y>z,x,y,zN*.當z=1時,2>x>y>1,x,y不存在;當z=2時,4>x>y>2,x,y不存在;當z=3時,6>x>y>3,x=5,y=4,此時該小組人數(shù)最小,最小值為5+4+3=12.,考點一,考點二,考點三,考點四,思考如何解決生活中的合情推理問題?解題心得在進行合情推理時,要依據(jù)一定的“規(guī)則”已知條件、公式、法則、推理等;只有不斷地觀察、比較、分析、推理,才能得到正確的答案.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓練4學生的語文、數(shù)學成績均被評定三個等級,依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”.若學生甲的語文、數(shù)學成績都不低于學生乙,且其中至少有一門成績高于乙,則稱“學生甲比學生乙成績好”.如果一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好,并且不存在語文成績相同、數(shù)學成績也相同的兩位學生,那么這組學生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人,B,解析:學生甲比學生乙成績好,即學生甲兩門成績中一門高過學生乙,另一門不低于學生乙.一組學生中沒有哪位學生比另一位學生成績好,并且沒有相同的成績,則存在的情況是,最多有3人,其中一個語文最好,數(shù)學最差;另一個語文最差,數(shù)學最好;第三個人成績均為中等.故選B.,考點一,考點二,考點三,考點四,1.合情推理與演繹推理的區(qū)別(1)歸納推理是由特殊到一般的推理;(2)類比推理是由特殊到特殊的推理;(3)演繹推理是由一般到特殊的推理;(4)從推理的結論來看,合情推理的結論不一定正確,有待證明;而演繹推理若大前提、小前提和推理形式正確,得到的結論一定正確.2.在數(shù)學研究中,在得到一個新結論前,合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結論.在證明一個數(shù)學結論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向.數(shù)學結論的證明主要通過演繹推理來進行.3.“三段論”式的演繹推理一定要保證大前提正確,且小前提是大前提的子集關系,這樣經(jīng)過正確推理,才能得出正確結論.,考點一,考點二,考點三,考點四,1.演繹推理常用來證明和推理數(shù)學問題,要注意推理過程的嚴密性、書寫格式的規(guī)范性.2.合情推理中運用猜想時不能憑空想象,要有猜想或拓展依據(jù).,