2019年高考數(shù)學真題分類匯編 6.2 等差數(shù)列 理考點一等差數(shù)列的概念及運算1.(xx福建,3,5分)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6等于()A.8 B.10 C.12 D.14答案C2.(xx遼寧,8,5分)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.若數(shù)列為遞減數(shù)列,則()A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0答案C3.(xx大綱全國,18,12分)等差數(shù)列an的前n項和為Sn.已知a1=10,a2為整數(shù),且SnS4.(1)求an的通項公式;(2)設(shè)bn=,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解析(1)由a1=10,a2為整數(shù)知,等差數(shù)列an的公差d為整數(shù).又SnS4,故a40,a50,于是10+3d0,10+4d0.解得-d-.因此d=-3.數(shù)列an的通項公式為an=13-3n.(6分)(2)bn=.(8分)于是Tn=b1+b2+bn=.(12分)考點二等差數(shù)列的性質(zhì)4.(xx北京,12,5分)若等差數(shù)列an滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當n=時,an的前n項和最大.答案85.(xx江蘇,20,16分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱an是“H數(shù)列”.(1)若數(shù)列an的前n項和Sn=2n(nN*),證明:an是“H數(shù)列”;(2)設(shè)an是等差數(shù)列,其首項a1=1,公差d<0.若an是“H數(shù)列”,求d的值;(3)證明:對任意的等差數(shù)列an,總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*)成立.解析(1)證明:由已知,當n1時,an+1=Sn+1-Sn=2n+1-2n=2n.于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=n+1,使得Sn=2n=am.所以an是“H數(shù)列”.(2)由已知,得S2=2a1+d=2+d.因為an是“H數(shù)列”,所以存在正整數(shù)m,使得S2=am,即2+d=1+(m-1)d,于是(m-2)d=1.因為d<0,所以m-2<0,故m=1.從而d=-1.當d=-1時,an=2-n,Sn=是小于2的整數(shù),nN*.于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=2-Sn=2-,使得Sn=2-m=am,所以an是“H數(shù)列”.因此d的值為-1.(3)證明:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d=na1+(n-1)(d-a1)(nN*).令bn=na1,cn=(n-1)(d-a1),則an=bn+cn(nN*),下證bn是“H數(shù)列”.設(shè)bn的前n項和為Tn,則Tn=a1(nN*).于是對任意的正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m=,使得Tn=bm.所以bn是“H數(shù)列”.同理可證cn也是“H數(shù)列”.所以,對任意的等差數(shù)列an,總存在兩個“H數(shù)列”bn和cn,使得an=bn+cn(nN*).