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2019年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 D單元 數(shù)列（含解析） 目錄 D單元　數(shù)列 1 D1 數(shù)列的概念與簡單表示法 1 D2 等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項和 1 D3　等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和 1 D4　數(shù)列求和 1 D5 單元綜合 1 D1 數(shù)列的概念與簡單表示法 【浙江寧波高一期末xx】6. 已知數(shù)列滿足，，則 2 【知識點】遞推關(guān)系式;數(shù)列的周期性. 【答案解析】B解析 ：解：因為，所以由已知可得 可以判斷出數(shù)列是以4為周期的數(shù)列，故 故選：B. 【思路點撥】利用遞推關(guān)系式依次求值，判斷出數(shù)列是以4為周期的數(shù)列即可. 【浙江寧波高一期末xx】2.數(shù)列：、3、、9、…的一個通項公式是 () () () () 【知識點】數(shù)列的概念及簡單表示法;數(shù)列的通項公式. 【答案解析】B解析 ：解：設(shè)此數(shù)列的通項公式為an，∵奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，∴符號為．每一項的絕對值為，故其通項公式公式為. 故答案為; B. 【思路點撥】對每一項按符號和其絕對值分別討論即可得出． D2 等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項和 【重慶一中高一期末xx】1. 已知等差數(shù)列中， ，，則其公差是（ ） A ． 6 B ．3 C ．2 D ．1 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì);等差數(shù)列的通項公式． 【答案解析】D解析 ：解：∵等差數(shù)列{an}中，∴即, 故選：D. 【思路點撥】將兩式，作差，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立公差的等式，解之即可． 【浙江寧波高一期末xx】4.等差數(shù)列的前項和為，若，，則 12 16 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)． 【答案解析】A解析 ：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知仍然成等差數(shù)列，所以，即，解得. 【思路點撥】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)仍然成等差數(shù)列，根據(jù)仍然成等差數(shù)列．進而代入數(shù)值可得答案． 【文浙江紹興一中高二期末`xx】9．設(shè)函數(shù)，則的值為（ ） A． B． C． D． 【知識點】等差數(shù)列前n項和；誘導(dǎo)公式. 【答案解析】C解析 ：解：因為，所以， 則 = + = + =4027+ =. 故選：C. 【思路點撥】把值依次代入原式，轉(zhuǎn)化為兩部分的和，第一部分利用等差數(shù)列前n項和公式求和，而第二部分則利用誘導(dǎo)公式化簡，第三部分常數(shù)列求和，最后相加即可. 【理浙江紹興一中高二期末xx】8．設(shè)函數(shù)，則的值為 A． B．2014 C．xx D．0 【知識點】等差數(shù)列前n項和；誘導(dǎo)公式. 【答案解析】A解析 ：解：因為，所以， 則 = + = + =4027+ =4027. 故選：A. 【思路點撥】把值依次代入原式，轉(zhuǎn)化為兩部分的和，第一部分利用等差數(shù)列前n項和公式求和，而第二部分則利用誘導(dǎo)公式化簡，最后相加即可. 【理浙江寧波高二期末`xx】11.等差數(shù)列的前項和為,若,則的值是 ． 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和． 【答案解析】28解析 ：解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：,, ∴． 故答案為28． 【思路點撥】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：,再利用其前n項和公式即可得出． 【理廣東惠州一中高三一調(diào)xx】4．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則 ( ) 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式. 【答案解析】D 解析 ：解：由題意，等差數(shù)列中，所以，故選. 【思路點撥】先應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)得，再應(yīng)用等差數(shù)列求和公式求和. 【黑龍江哈六中高一期末xx】22．（本小題滿分12分）各項均不為零的數(shù)列的前項和為，且，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若，設(shè)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍． 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式；遞推關(guān)系式；數(shù)列的單調(diào)性. 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）當(dāng)時，由可得，即…2分 又，且，所以是以3為首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以 ，所以，……………………..4分 當(dāng)時， 所以………………6分 （2）由， 所以 所以，所以單調(diào)遞增…………………10分 所以，所以……………12分 【思路點撥】（1）把已知條件變形后得，可判斷出是以3為首項，以3為公差的等差數(shù)列，進而可求出的通項公式；（2）利用判斷單調(diào)性后再求的取值范圍即可. 【福建南安一中高一期末xx】11. 若數(shù)列滿足＝(n∈N*，為常數(shù))，則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”．已知正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是 (　 　) A．10 B．100 C．200 D．400 【知識點】等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的性質(zhì)與基本不等式求最值 【答案解析】B解析：解：因為正項數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，則，即數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即該數(shù)列為常數(shù)列時等號成立，所以選B. 【思路點撥】根據(jù)所給的新定義可得到數(shù)列為等差數(shù)列，從所給的項的項數(shù)特征可發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的性質(zhì)特征，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得到則，再由和為定值求積的最大值利用基本不等式解答即可. 【文江西鷹潭一中高一期末xx】11．等差數(shù)列的前三項為，此數(shù)列的通項公式=_____ 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式． 【答案解析】 解析 ：解：已知等差數(shù)列{an}的前三項依次為a﹣1，a+1，2a+3，故有2（a+1）=a﹣1+2a+3，解得a=0，故等差數(shù)列{an}的前三項依次為﹣1，1，3，故數(shù)列是以﹣1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，故通項公式an=﹣1+（n﹣1）2=2n﹣3， 故答案為. 【思路點撥】由條件可得2（a+1）=a﹣1+2a+3，解得a=0，故可得等差數(shù)列{an}的前三項，由此求得數(shù)列的通項公式． 【文江西省鷹潭一中高二期末xx】7．已知數(shù)列滿足，且，則的值是( ) A． B． C．5 D． 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；對數(shù)的運算性質(zhì)． 【答案解析】A 解析 ：解：∵， ∴且∴數(shù)列為公比的等比數(shù)列， ∵，設(shè)首項為a，∴ ∴則=-5． 故答案為：-5 【思路點撥】利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，得到確定出數(shù)列{an}為公比的等比數(shù)列，設(shè)首項為a，化簡已知的等式，得到一個等式，將所求式子的真數(shù)利用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡后，把得出的等式代入，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡，即可求出值． 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】16．已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系式 (n∈N*)，且為等差數(shù)列，則的值是___▲___． 【知識點】等差數(shù)列的應(yīng)用; 數(shù)列遞推式． 【答案解析】 解析 ：解：若為等差數(shù)列， 則， 為常數(shù)，即，則-1-2=0，解得=-1， 故答案為：-1 【思路點撥】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得到結(jié)論． 【理吉林一中高二期末xx】9. 已知數(shù)列是等差數(shù)列,且,則的值為 （　?。? A． B． C． D． 【知識點】等差中項；等差數(shù)列的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值. 【答案解析】A 解析 ：解：,∴,∴, ∴. 【思路點撥】先利用等差中項公式解得，求，即求，代入可得結(jié)果. 【江西鷹潭一中高一期末xx】11．等差數(shù)列的前三項為，此數(shù)列的通項公式=___ 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式． 【答案解析】 解析 ：解：已知等差數(shù)列{an}的前三項依次為a﹣1，a+1，2a+3，故有2（a+1）=a﹣1+2a+3，解得a=0，故等差數(shù)列{an}的前三項依次為﹣1，1，3，故數(shù)列是以﹣1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，故通項公式an=﹣1+（n﹣1）2=2n﹣3， 故答案為. 【思路點撥】由條件可得2（a+1）=a﹣1+2a+3，解得a=0，故可得等差數(shù)列{an}的前三項，由此求得數(shù)列的通項公式． 【吉林一中高一期末xx】2. 的三個內(nèi)角A．B．C成等差數(shù)列，，則一定是（　?。? A．直角三角形 B．等邊三角形 C．非等邊銳角三角形 D．鈍角三角形 【知識點】等差中項的定義；向量的數(shù)量積的運算；兩個向量垂直的充要條件. 【答案解析】B 解析 ：解：的三個內(nèi)角A．B．C成等差數(shù)列，所以，，又，所以，. 設(shè)為邊上的中點,則, 又,所以，，即， 故△ABC為等邊三角形，故選B． 【思路點撥】先由三個內(nèi)角A．B．C成等差數(shù)列得到 ， 然后利用，得到， 進而得到結(jié)論. D3　等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項和 【浙江寧波高一期末xx】17.在數(shù)列中，，， （），把數(shù)列的各項按如下方法進行分組：()、()、()、……，記為第組的第個數(shù)（從前到后），若=，則____________. 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì);數(shù)列的函數(shù)特性． 【答案解析】10 解析 ：解：∵，∴數(shù)列是等比數(shù)列，又∵，，∴， ∴，，而根據(jù)條件中的分組可知，第組有項，∴前組總共有 項，∴，， ∴，即，又∵， 窮舉即可得或，∴. 【思路點撥】利用已知條件得到與，然后解不定方程即可. 【文浙江紹興一中高二期末`xx】18．（本題滿分10分）已知數(shù)列的首項，． （1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （2） 若，求最大的正整數(shù)． 【知識點】構(gòu)造新數(shù)列；等比數(shù)列的前n項和公式. 【答案解析】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）99 解析 ：解：（Ⅰ），且，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，. ， 若，則. 【思路點撥】（Ⅰ）把已知條件構(gòu)造成新數(shù)列即可；（Ⅱ）對數(shù)列求和后解不等式即可. 【文浙江紹興一中高二期末`xx】4．設(shè)是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；等比數(shù)列的性質(zhì)． 【答案解析】B解析 ：解：∵是等比數(shù)列，∴由“”可知公比可以為負數(shù)，數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，故充分性不成立．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則一定有，故必要性成立．綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B． 【思路點撥】利用是等比數(shù)列，結(jié)合充要條件的判斷方法，即可得出結(jié)論． 【典型總結(jié)】本題考查充分條件、必要條件的定義，遞增數(shù)列的定義，判斷充分性是解題的難點. 【文浙江寧波高二期末xx】6．?dāng)?shù)列的首項為1，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若則（ ） A. B. C. 1 D. 2 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì). 【答案解析】A解析 ：解：由題意可得設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則解得 即解得 故選：A 【思路點撥】由題意可得代入可得進而可得的值. 【理浙江紹興一中高二期末xx】18．（本題滿分10分） 已知數(shù)列的首項，． （Ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （Ⅱ）若，求最大的正整數(shù)． 【知識點】構(gòu)造新數(shù)列；等比數(shù)列的前n項和公式. 【答案解析】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）99 解析 ：解：（Ⅰ），且，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列. （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得，. ， 若，則. 【思路點撥】（Ⅰ）把已知條件構(gòu)造成新數(shù)列即可；（Ⅱ）對數(shù)列求和后解不等式即可. 【理吉林長春十一中高二期末xx】10.數(shù)列的首項為1，數(shù)列為等比數(shù)列且，若， 則（ ） A. 20 B. 512 C. 1013 D. 1024 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì). 【答案解析】D解析 ：解：由，且，得 ． ，． ，． … ． ∴． ∵數(shù)列{bn}為等比數(shù)列， ∴． 故選D． 【思路點撥】由，且，通過變形轉(zhuǎn)化，把數(shù)列{an}的項用數(shù)列{bn}中的項表示，然后利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解． 【黑龍江哈六中高一期末xx】19．（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的公差大于0，且是方程的兩根，數(shù)列的前項的和為，且． （1）求數(shù)列，的通項公式； （2） 記,求數(shù)列的前項和． 【知識點】等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列的通項公式； 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）∵是方程的兩根，且數(shù)列的公差，∴，公差.∴． 又當(dāng)時，有，∴. 當(dāng)n≥2時，有，∴ (n≥2). ∴數(shù)列是等比數(shù)列，b1＝，q＝. ∴. （2）由（1）知，由倍差法求和可得. 【思路點撥】（1）根據(jù)是方程的兩根，求得和，則公差可求，進而求得數(shù)列的通項公式，代入中根據(jù) 求得n≥2時判斷出其為等比數(shù)列，公比為進而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得．（2）用倍差法求數(shù)列的前n和. 【福建南安一中高一期末xx】22. 已知數(shù)列的首項. （1）求證：是等比數(shù)列，并求出的通項公式； （2）證明：對任意的； （3）證明：. 【知識點】等比數(shù)列的定義，不等式的證明，等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用 【答案解析】略，解析：證明：（1），又 所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列． （2）由（1）知 （3）先證左邊不等式，由知；當(dāng)時等號成立； 再證右邊不等式，由（2）知，對任意，有， 取， 則 【思路點撥】一般證明數(shù)列是等比數(shù)列，可結(jié)合定義只需證明等于常數(shù)即可，在證明不等式中放縮法是常用的方法，本題第2問先通過對右邊湊項出現(xiàn)，再利用放縮法進行證明，第3問在第二問的基礎(chǔ)上先利用不等式的性質(zhì)得到數(shù)列的和滿足的不等式，再利用放縮法證明. 【福建南安一中高一期末xx】10. 已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則的值是 （ ） A. B. C. D. 【知識點】等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的定義 【答案解析】A解析：解：因為，則有，因為公差不等于0，得，所以，則選A. 【思路點撥】可用等差數(shù)列的通項公式求出第一、三、九項，再利用等比數(shù)列的定義得出等差數(shù)列的首項與公差的關(guān)系，把所求的分式的分子與分母都用等差數(shù)列的首項表示，即可求其比值. 【福建南安一中高一期末xx】5. 在等比數(shù)列中，已知前n項和=，則的值為（ ） A．－1 B．1 C ．5 D．-5 【知識點】等比數(shù)列的前n項和 【答案解析】D 解析：解：因為，由等比數(shù)列的前n項和的特征可知a=－5，所以選D. 【思路點撥】當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比不為1時其前n項和公式為，其常數(shù)項與系數(shù)互為相反數(shù). 【福建南安一中高一期末xx】2. 公比為的等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則= （ ?。? A. B. C. D. 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的定義 【答案解析】B 解析：解：由等比數(shù)列的性質(zhì)得，又數(shù)列的各項都是正數(shù)，所以=4，由等比數(shù)列的定義得=2，所以選B. 【思路點撥】先觀察所給的項的項數(shù)，發(fā)現(xiàn)可利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的第7項，再結(jié)合公比為2，利用等比數(shù)列的定義求第六項 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】7．設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為。若，,則( ▲ ) A．24 B． 12 C．18 D．22 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)． 【答案解析】B 解析 ：解：設(shè)S，則， ∵，∴ 故選：B． 【思路點撥】設(shè)，則，利用，即可． 【文江西鷹潭一中高一期末xx】4．等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，則a1=（ ） A． B. C． D． 【知識點】等比數(shù)列的前n項和． 【答案解析】C解析 ：解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵ ∴，解得,∴． 故選C． 【思路點撥】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，利用已知和等比數(shù)列的通項公式即可得到與的關(guān)系式，解出即可． 【文江西省鷹潭一中高二期末xx】17．（本小題滿分12分）公差不為零的等差數(shù)列{}中，，又成等比數(shù)列. （Ⅰ）求數(shù)列{}的通項公式. （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{}的前n項和. 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì); 等比數(shù)列的前n項和公式. 【答案解析】（Ⅰ）（Ⅱ） 解析 ：解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{an}中，成等比數(shù)列， ∴即 ------------------2分 整理得：即 ------------------4分 又 則數(shù)列{an}的通項公式為 ------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，因為 ------------------9分 所以是以為首項，以8為公比的等比數(shù)列，所以 ----12分 【思路點撥】（Ⅰ）由等差數(shù)列{an}中成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用等差數(shù)列的通項公式化簡，得出首項與公差的關(guān)系，根據(jù)a3的值，確定出首項與公差，即可得到等差數(shù)列的通項公式； （II）由 (n∈N*)知，數(shù)列是一個等比數(shù)列，故求出其首項與公比，代入等比數(shù)列的前n項和公式即可. 【文江西省鷹潭一中高二期末xx】5．已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則等于 ( ) A． B． C． D． 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式． 【答案解析】A 解析 ：解：由題意可得即 解之可得故.故選A. 【思路點撥】根據(jù)題意可得，解之可得a1=3，由等差數(shù)列的通項公式可得． 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】7．設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為。若，,則( ▲ ) A．24 B． 12 C．18 D．22 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)． 【答案解析】B 解析 ：解：設(shè)S，則， ∵，∴ 故選：B． 【思路點撥】設(shè)，則，利用，即可． D4　數(shù)列求和 【浙江寧波高一期末xx】15.已知數(shù)列是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，其中，那么數(shù)列的前項和________. 【知識點】錯位相減法求數(shù)列的和. 【答案解析】解析 ：解：由題意可得，，∴①， ①，得②，①-②，可得 ∴. 故答案為：. 【思路點撥】由題意可求出數(shù)列，數(shù)列的通項公式，再利用錯位相減法求數(shù)列的和即可. 【理江蘇揚州中學(xué)高二期末xx】24．（本小題滿分10分） 已知數(shù)列為，表示，． 1 若數(shù)列為等比數(shù)列，求； ⑵若數(shù)列為等差數(shù)列，求． 【知識點】數(shù)列的求和;等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【答案解析】⑴見解析；⑵見解析 解析 ：解：⑴， 所以 ． ……4分 ⑵， ， 因為， 兩邊同乘以，則有， 兩邊求導(dǎo)，左邊， 右邊， 即（*），對（*）式兩邊再求導(dǎo)，得 取，則有 所以． ……10分 【思路點撥】（1）由已知條件得，由此利用分組求和法能求出結(jié)果． （2）由已知條件得，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果． 【理吉林長春十一中高二期末xx】16.定義在上的函數(shù)滿足：①當(dāng)時，；②.設(shè)關(guān)于的函數(shù)的零點從小到大依次為.若，則_______. （用表示） 【知識點】進行簡單的合情推理；函數(shù)的零點；數(shù)列的求和． 【答案解析】解析 ：解：當(dāng)時，； ． ∴當(dāng)時，則，由可知：． 同理，當(dāng)時，， 當(dāng)時，由，可得，； 同理，當(dāng)時，由，可得，； 此時．當(dāng)時． 則在區(qū)間和上各有一個零點，分別為，且滿足，依此類推：，…，． ∴當(dāng)時，． 故答案為： 【思路點撥】當(dāng)時，不必考慮．利用已知可得：當(dāng)時，由，可得，；同理，當(dāng)時，；此時．分別找出，，則在區(qū)間和上各有一個零點，分別為，且滿足，依此類推，…，．利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出． 【福建南安一中高一期末xx】19. 已知數(shù)列的前項和為，且＝，數(shù)列中，，點在直線上． （1）求數(shù)列的通項和； (2) 設(shè)，求數(shù)列的前n項和． 【知識點】等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)列求和 【答案解析】（1）（2） 解析：解：（1） . ； （2） 因此： 即： . 【思路點撥】一般遇到數(shù)列的前n項和與通項的遞推公式，通常利用關(guān)系式轉(zhuǎn)化成單一的項的遞推關(guān)系或單一的前n項和的遞推關(guān)系，再利用特殊數(shù)列-等差數(shù)列或等比數(shù)列求通項公式；遇到數(shù)列求和問題先明確其通項公式，結(jié)合通項公式特征確定求和思路. 【福建南安一中高一期末xx】16. 已知函數(shù)， 且，則___________. 【知識點】函數(shù)的概念，數(shù)列求和 【答案解析】－1003解析：解：因為，所以. 【思路點撥】一般遇到數(shù)列求和問題，通常先確定其通項公式，因為函數(shù)f(n)為分段函數(shù)，所以可對所求數(shù)列分段求其通項公式，最后結(jié)合通項公式特征用并項求和法求和即可. 【福建南安一中高一期末xx】12. 設(shè)是定義在上的函數(shù)，若 ，且對任意， 滿足，，則= （ ） A． B． C． D． 【知識點】函數(shù)的概念、數(shù)列累加求和的應(yīng)用、等比數(shù)列前n項和公式 【答案解析】D解析：解：由f（x+2）-f（x）≤3?2 x，f（x+6）-f（x）≥63?2 x可得 f（x+6）-f（x+2）≥60?2 x=15?2 x+2，即f（x+4）-f（x）≥15?2 x， 由f（x+2）-f（x）≤3?2x，得f（x+4）-f（x+2）≤3?2 x+2，兩者相加得，得f（x+4）-f（x）≤15?2x，所以f（x+4）-f（x）=15?2x，則f（4）-f（0）=15，f（8）-f（4）=15?，f（12）-f（8）=15?，…，f（xx）-f（xx）=15?，上述式子兩邊分別相加得 f（xx）-f（0）=15?=，所以f（xx）=，則選D 【思路點撥】先利用所給的函數(shù)的不等關(guān)系通過對x的代換及不等式的性質(zhì)得到一個等量關(guān)系f（x+4）-f（x）=15?2x，再借助于數(shù)列的累加求和求通項公式的方法求f（xx）. 【文浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】19.（本題滿分12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列滿足，，設(shè)為數(shù)列的前項和. 【知識點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)． 【答案解析】（1）an＝2n－1（2）Tn＝3－. 解析 ：解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a4＝2a2＋1得解得a1＝1，d＝2. ……4分 因此an＝2n－1，n∈N*. ………………v ………5分 (2)由已知＝，n∈N*， 由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝，n∈N*. ………6分 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－ ………9分 ＝－－， 所以Tn＝3－. ………12分 【思路點撥】（1）由已知條件得，由此能求出an=2n-1． （2）由已知得bn＝，利用錯位相減法求出Tn即可． 【文吉林一中高二期末xx】22. 數(shù)列的前n項和為,存在常數(shù)A,B,C,使得對任意正整數(shù)n都成立. ⑴若數(shù)列為等差數(shù)列,求證:3A-B+C=0; ⑵若設(shè)數(shù)列的前n項和為,求; ⑶若C=0,是首項為1的等差數(shù)列,設(shè),求不超過P的最大整數(shù)的值. 【知識點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和． 【答案解析】⑴見解析⑵⑶ 解析 ：解：⑴因為為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由, 得, 即對任意正整數(shù)都成立. 所以所以. ⑵ 因為,所以, 當(dāng)時,, 所以,即, 所以,而, 所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以. 于是. 所以①,,② 由①②, 得. 所以. ⑶ 因為是首項為的等差數(shù)列,由⑴知,公差,所以. 而 , 所以, 所以,不超過的最大整數(shù)為. 【思路點撥】（1）先根據(jù)條件都轉(zhuǎn)化為首項和公差的形式，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項和Sn所滿足的條件即可得到結(jié)論． （2）先根據(jù)前n項和Sn以及通項之間的關(guān)系求出{an}的通項，進而得到數(shù)列{nbn}的通項，再結(jié)合錯位相減法即可求出Tn； （3）先根據(jù)條件求出{an}的通項；進而根據(jù)裂項求和法求出P的表達式，即可得到結(jié)論． 【理浙江溫州十校期末聯(lián)考xx】19.（本題滿分12分）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列滿足，，設(shè)為數(shù)列的前項和，試比較與的大小. 【知識點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)． 【答案解析】（1）an＝2n－1（2）Tn<3 解析 ：解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a4＝2a2＋1得解得a1＝1，d＝2. ……4分 因此an＝2n－1，n∈N*. ………………v ………5分 (2)由已知＝，n∈N*， 由(1)知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝，n∈N*. ………6分 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－ ………9分 ＝－－， 所以Tn＝3－. ………11分 故Tn<3 ………12分 【思路點撥】（1）由已知條件得，由此能求出an=2n-1． （2）由已知得bn＝，利用錯位相減法求出Tn＝3－，從而能得到Tn＜3． D5 單元綜合 【重慶一中高一期末xx】21. （本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足： （1）若數(shù)列是以常數(shù)為首項，公差也為的等差數(shù)列，求的值； （2）若，求證：對任意都成立； （3）若，求證：對任意都成立； 【知識點】數(shù)列遞推式;數(shù)列與不等式的結(jié)合;放縮法. 【答案解析】（1）（2）見解析（3）見解析 解析 ：解：（1）由題意，，又由得 ，即對一切成立，所以 （2）由得，兩邊同除以得 （3） ，將代入，得 由得，所以 ，所以 從而 又由得所以，從而，綜上， 【思路點撥】（1）由得：，從而可求的求得a1=0； （2）由得，兩邊同除以可得結(jié)論 （3）由（2）可知 ，再進行放縮,可證得結(jié)論． 【重慶一中高一期末xx】16.（本小題滿分13分）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列. （1）求； （2）令，求數(shù)列的前項和. 【知識點】等差、等比數(shù)列的通項與性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項和公式；對數(shù)的運算法則. 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）設(shè)的公比為，由，，成等差數(shù)列，得. 又，則，解得. ∴（ ）. （2），∴，是首項為0，公差為1的等差數(shù)列， 它的前項和. 【思路點撥】（1）設(shè){an}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與等差中項的定義，建立關(guān)于q的等式解出q=2，即可求出{an}的通項公式． （2）根據(jù)（I）中求出的{an}的通項公式，利用對數(shù)的運算法則算出bn=n-1，從而證出{bn}是首項為0、公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前n項和公式加以計算，可得數(shù)列{bn}的前n項和Sn的表達式． 【重慶一中高一期末xx】15. (原創(chuàng)) 數(shù)列滿足,則的最小值是 【知識點】構(gòu)造新數(shù)列；等差數(shù)列的性質(zhì). 【答案解析】解析 ：解：因為，整理得：， 兩邊同時除以可得：，則數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的最小值是. 故答案為：. 【思路點撥】先把原式變形構(gòu)造新數(shù)列進而判斷即可. 【重慶一中高一期末xx】8.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，，若數(shù)列的連續(xù)四項在集合中，則等于( ) A． B． C．或 D．或 【知識點】遞推公式的應(yīng)用；等比數(shù)列的性質(zhì)． 【答案解析】C解析 ：解：{bn}有連續(xù)四項在{-53，-23，19，37，82}中且bn=an+1 an=bn-1 則{an}有連續(xù)四項在{-54，-24，18，36，81}中 ∵{an}是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負數(shù)項則q＜0，且負數(shù)項為相隔兩項 ∴等比數(shù)列各項的絕對值遞增或遞減，按絕對值的順序排列上述數(shù)值18，-24，36，-54，81} 相鄰兩項相除則可得，-24，36，-54，81是{an}中連續(xù)的四項，此時q= ,同理可求q= ∴q=或 q= . 故選B 【思路點撥】根據(jù)bn=an+1可知 an=bn-1，依據(jù){bn}有連續(xù)四項在{-53，-23，19，37，82}中，則可推知則{an}有連續(xù)四項在{-54，-24，18，36，81}中，按絕對值的順序排列上述數(shù)值，可求{an}中連續(xù)的四項，求得q. 【浙江寧波高一期末xx】22.（本題滿分15分） 設(shè)數(shù)列的首項，前項和為，且、、成等差數(shù)列，其中. (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式； (Ⅱ)數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前項和為,求及數(shù)列的最大項. 【知識點】數(shù)列的通項公式；裂項相消法求數(shù)列的和；數(shù)列單調(diào)性的判斷. 【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ) 數(shù)列的的最大項是. 解析 ：解：(Ⅰ) 由、、成等差數(shù)列知，…………1分 當(dāng)時，， 所以， ……………………………………4分 當(dāng)時，由得， ……………………………………5分 綜上知，對任何,都有,又，所以，.…6分 所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以. ……………7分 (Ⅱ) ……10分 ，……………………………12分 ， 當(dāng)時，，即；當(dāng)時，也有，但；當(dāng)時，，，即. 所以數(shù)列的的最大項是. ……………………………………………15分 【思路點撥】（1）根據(jù)題意可知，考慮到當(dāng)時，，因此可以結(jié)合條件消去得到數(shù)列的遞推公式：當(dāng)時，，容易驗證當(dāng)時，上述關(guān)系式也成立，從而數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)（1）中求得的通項公式，結(jié)合條件采用裂項相消法來求其前項和，再利用作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，可知，從而得到結(jié)果. 【文浙江寧波高二期末xx】19．（本小題滿分14分） 已知數(shù)列{}的前n項和 (n為正整數(shù))。 （1）令，求證數(shù)列{}是等差數(shù)列； （2）求數(shù)列{}的通項公式，并求數(shù)列的前n項和． 【知識點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的概念及簡單表示法;錯位相減法. 【答案解析】（1）見解析（2） 解析 ：解：（1）在中令可得 即.......1分 當(dāng)時........ 3分 即........ 4分 ......... 5分 又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列......................... 7分 （2）于是 ……………9分 ……………11分 …………13分 ………14分 【思路點撥】（1）整理題設(shè)遞推式得進而表示出，進而根據(jù)，求得和的遞推式，整理得，進而根據(jù)求得，進而根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列為等差數(shù)列．（2）利用錯位相減法即可. 【文四川成都高三摸底xx】16．（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2=3，S7=49，nN*。 （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn． 【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式 【答案解析】（I）；（Ⅱ）.解析：解：（I）設(shè)公差為d，因為，解得，所以，即所求數(shù)列的通項公式為； （Ⅱ）由（I）得，所以 【思路點撥】在解答題中一般遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列通常利用其通項公式與求和公式 列出首項與公差或公比的方程組，通過解方程組求出首項與公差或公比再進行解答. 【文廣東惠州一中高三一調(diào)xx】19．（本小題滿分14分） 已知等差數(shù)列的首項公差且分別是等比數(shù)列的 （1）求數(shù)列和的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列對任意正整數(shù)均有成立，求的值. 【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和． 【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）∵，且成等比數(shù)列， ∴，即， ……………2分 ∴ ……………………4分 又∵∴………………6分 （2）∵， ① ∴，即，又， ② ①②得 ……………………………………………9分 ∴，∴，………………………………11分 則 ………………14分 【思路點撥】（1）利用等差數(shù)列的通項公式將用{an}的首項與公差表示，再據(jù)此三項成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列與的通項公式． （2）利用數(shù)列的第n項等于前n項和減去前n-1項的和求出，進一步求出cn，利用錯位相減法求和． 【理重慶一中高二期末xx】22、(12分)已知正項數(shù)列{}滿足 （1） 判斷數(shù)列{}的單調(diào)性； （2） 求證： 【知識點】數(shù)列的單調(diào)性；裂項相消法；放縮法證明不等式. 【答案解析】（1）數(shù)列{}為遞增數(shù)列. (2)見解析 解析 ：解：（1），即 故數(shù)列{}為遞增數(shù)列. (2) 不妨先證 再證： . 當(dāng)時， . 易驗證當(dāng)n=1時,上式也成立. 綜上,故有成立. 【思路點撥】（1）利用已知條件判斷出即可；（2）先證 通分整理即可；再證：利用放縮法以及裂項相消法即可得到結(jié)論. 【理浙江紹興一中高二期末xx】14．已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，若成等比數(shù)列，且，，，則 ▲ ． 【知識點】等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)；等差、等比數(shù)列的通項公式. 【答案解析】14解析 ：解：設(shè)因為成等比數(shù)列，且，，，即成等比數(shù)列，所以，即，解得，故 ，而成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列得，則有 ，把，代入解得. 故答案為：14. 【思路點撥】先由成等比數(shù)列求出公差，再由等比數(shù)列的性質(zhì)得到，最后借助于等差數(shù)列的通項公式求出 【理浙江寧波高二期末`xx】20.(本題滿分14分)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且是與的等比中項,前n項和為;數(shù)列是等差數(shù)列,=8,其前n項和滿足(為常數(shù),且≠1)． （I）求數(shù)列的通項公式及的值； （II）比較與的大小． 【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和． 【答案解析】（I）；λ＝（II） 解析 ：解：（Ⅰ）由題意，可得， 即，解之得=， ∴數(shù)列{an}的通項公式為， 又∵，∴ ，即，解得或， ∵為常數(shù)，且，∴λ＝； （Ⅱ）由（Ⅰ）知：， ∴ -． 又， 可得 ． 【思路點撥】（I）根據(jù)是與的等比中項，建立關(guān)于的方程，解出=，從而得出數(shù)列的通項公式．再由建立關(guān)于的公差d與的方程組，解之即可得到實數(shù)λ的值； （II）由（I）的結(jié)論，利用等比數(shù)列的求和公式算出的表達式，從而得到=-．由等差數(shù)列的通項與求和公式算出的前n項和，利用裂項求和的方法算出結(jié)果，再將兩式加以比較，即可得到所求的大小關(guān)系． 【理浙江寧波高二期末`xx】10.對數(shù)列,如果成立,,則稱為階遞歸數(shù)列．給出下列三個結(jié)論： ①若是等比數(shù)列,則為1階遞歸數(shù)列； ②若是等差數(shù)列,則為2階遞歸數(shù)列； ③若數(shù)列的通項公式為an=n2,則為3階遞歸數(shù)列． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【知識點】k階遞歸數(shù)列的定義; 數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用; 復(fù)合命題的真假． 【答案解析】D解析 ：解：①∵是等比數(shù)列，∴，， ∴，使成立，∴為1階遞歸數(shù)列，故①成立； ②∵是等差數(shù)列，∴，∴，使成立，∴為2階遞歸數(shù)列，故②成立； ③∵若數(shù)列{an}的通項公式為，∴，使成立，∴為3階遞歸數(shù)列，故③成立． 故選D． 【思路點撥】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列和數(shù)列的通項公式為的性質(zhì)，根據(jù)k階遞歸數(shù)列的定義，逐個進行判斷，能夠求出結(jié)果． 【理四川成都高三摸底xx】16．（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2=3，S7=49，nN*。 （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn． 【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式 【答案解析】（I）；（Ⅱ）.解析：解：（I）設(shè)公差為d，因為，解得，所以，即所求數(shù)列的通項公式為； （Ⅱ）由（I）得，所以 【思路點撥】在解答題中一般遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列通常利用其通項公式與求和公式 列出首項與公差或公比的方程組，通過解方程組求出首項與公差或公比再進行解答. 【理廣東惠州一中高三一調(diào)xx】19．（本小題滿分14分） 已知數(shù)列中，，前項和． (1) 求數(shù)列的通項公式； (2) 設(shè)數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由． 【知識點】遞推公式法求通項，裂項相消法求和. 【答案解析】(1) (2) 解析 ：解：（1）（解法一）∵ ∴ ∴ …………………3分 整理得∴ 兩式相減得 ………………5分 即 ∴，即 …………………7分 ∴ 數(shù)列是等差數(shù)列 且，得，則公差 ∴ …………………8分 （解法二） ∵ ∴ ∴ …………………3分 整理得 等式兩邊同時除以得 ， …………………5分 即 …………………6分 累加得 得 …………………8分 （2） 由（1）知 ∴ …………………10分 ∴ …………………12分 則要使得對一切正整數(shù)都成立，只要，所以只要 ∴ 存在實數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立，且的最小值為…………14分 【思路點撥】（1）當(dāng)遇到和的關(guān)系式為遞推公式時，常用思維是化“單一”，只含項或只含和的形式，然后再尋求概念或裂項相消法進一步求通項；（2）先裂項相消求和，再放縮法即可得結(jié)果. 【文江西鷹潭一中高一期末xx】20.（本題13分）數(shù)列中，a1=1，前n項和是sn，sn=2an-1，。 （1）求出a2，a3，a4； (2)求通項公式； （3）求證：sn sn+2 < 【知識點】數(shù)列與不等式的綜合；等比關(guān)系的確定． 【答案解析】（1）a2=2 ;a3=4;a4=8; (2) （3）見解析. 解析 ：解：（1）∵a1=1，Sn=2an﹣1，∴當(dāng)n=2時，a1+a2=2a2﹣1，∴a2=2 當(dāng)n=3時，a1+a2+a3=2a3﹣1，∴a3=4當(dāng)n=4時，a1+a2+a3+a4=2a4﹣1，∴a4=8 …（3分） (2)∵Sn=2an﹣1，n∈N*． （1）∴Sn﹣1=2an﹣1﹣1，n≥2，n∈N*． （2） （1）﹣（2）得an=2an﹣1，∴數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴…（8分） （3）證明：∵Sn=2an﹣1=2n﹣1， ∴SnSn+2=（2n﹣1）?（2n+2﹣1）=22n+2﹣2n+2﹣2n+1，=22n+2﹣2n+2+1 ∵2n＞0 ∴SnSn+2．…（13分） 【思路點撥】（1）利用數(shù)列遞推式，代入計算，可求a2，a3，a4； (2)再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{an}的通項公式； （3）求出前n項和，代入計算，可以證得結(jié)論． 【文吉林一中高二期末xx】15. 已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為。若對于任意正整數(shù)n，不等式恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為__________. 【知識點】數(shù)列的求和． 【答案解析】5 解析 ：解：∵數(shù)列的通項公式為，前n項和為. =（+++…+++…+）﹣（+++…+） =++…+， 設(shè) 則（++…+++）﹣（++…+） =+﹣＞0， ∴{bn}是遞增數(shù)列∴{bn}的最小值是b1， ∵不等式＞恒成立，∴b1＞．， ∴，解得m＜．∴m的最大值是5． 故答案為：5． 【思路點撥】由已知條件，推導(dǎo)出S2n﹣Sn=++…+，設(shè)推導(dǎo)出+﹣＞0，得到{bn}的最小值是b1，由此能求出結(jié)果． 【典型總結(jié)】本題考查數(shù)列前n項和公式的求法和應(yīng)用，綜合性強，難度較大，對數(shù)學(xué)思維能力的要求較高，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用． 【江西鷹潭一中高一期末xx】20．（本題13分）數(shù)列中，，前n項和是，。（1）求出;(2)求通項公式；（3）求證： 【知識點】數(shù)列與不等式的綜合；等比關(guān)系的確定． 【答案解析】（1）a2=2 ;a3=4;a4=8; (2) （3）見解析. 解析 ：解：（1）∵a1=1，Sn=2an﹣1，∴當(dāng)n=2時，a1+a2=2a2﹣1，∴a2=2 當(dāng)n=3時，a1+a2+a3=2a3﹣1，∴a3=4當(dāng)n=4時，a1+a2+a3+a4=2a4﹣1，∴a4=8 …（3分） (2)∵Sn=2an﹣1，n∈N*． （1）∴Sn﹣1=2an﹣1﹣1，n≥2，n∈N*． （2） （1）﹣（2）得an=2an﹣1，∴數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列， ∴…（8分） （3）證明：∵Sn=2an﹣1=2n﹣1， ∴SnSn+2=（2n﹣1）?（2n+2﹣1）=22n+2﹣2n+2﹣2n+1，=22n+2﹣2n+2+1 ∵2n＞0 ∴SnSn+2．…（13分） 【思路點撥】（1）利用數(shù)列遞推式，代入計算，可求a2，a3，a4； (2)再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{an}的通項公式； （3）求出前n項和，代入計算，可以證得結(jié)論．