2019年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明綜合檢測 新人教B版選修2-2一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(xx開封高二檢測)根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)x2在R上是偶函數(shù)”的推理過程是()A歸納推理B類比推理C演繹推理D非以上答案【解析】根據(jù)演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理，故選C.【答案】C2下面四個推理不是合情推理的是()A由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì)B由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180C某次考試張軍的成績是100分，由此推出全班同學(xué)的成績都是100分D蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龜、蜥蜴是爬行動物，所以所有的爬行動物都是用肺呼吸的【解析】A是類比推理，B、D是歸納推理，C不是合情推理【答案】C3設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計算得f(2)，f(4)>2，f(6)>，f(8)>3，f(10)>，觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論為()Af(2n)Bf(2n)>Cf(2n)Df(n)>【解析】觀察所給不等式，不等式左邊是f(2n)，右邊是，故選C.【答案】C4(xx廈門高二檢測)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，Snn2an(nN)，可歸納猜想出Sn的表達(dá)式為()A. B.C. D.【解析】由a11，得a1a222a2，a2，S2；又1a332a3，a3，S3；又1a416a4，得a4，S4.由S1，S2，S3，S4可以猜想Sn.【答案】A5(xx廣州高二檢測)已知x0，由不等式x22，x33，可以推出結(jié)論：xn1(nN)，則a()A2nB3n Cn2Dnn【解析】可以推出結(jié)論(x0)：即xn1(nN)，所以ann.【答案】D6用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時，從nk到nk1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是()A(k1)22k2B(k1)2k2C(k1)2D.(k1)2(k1)21【解析】nk時，左邊1222(k1)2k2(k1)22212，nk1時，左邊1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，從nk到nk1，左邊應(yīng)添加的式子為(k1)2k2.【答案】B7在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n<19且nN)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若b111，則有()Ab1b2bnb1b2b19nBb1b2bnb1b2b21nCb1b2bnb1b2b19nDb1b2bnb1b2b21n【解析】令n10時，驗(yàn)證即知選B.【答案】B8用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>的過程中，由nk到nk1時，不等式左邊的變化情況為()A增加B增加C增加，減少D增加，減少【解析】當(dāng)nk時，不等式的左邊，當(dāng)nk1時，不等式的左邊，所以()，所以由nk到nk1時，不等式的左邊增加，減少.【答案】C9(xx黃山高二檢測)將石子擺成如圖1的梯形形狀稱數(shù)列5,9,14,20，為“梯形數(shù)”根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 012項(xiàng)與5的差，即a2 0125()圖1AxxxxBxx2011C1009xxD10092011【解析】an5表示第n個梯形有n1層點(diǎn)，最上面一層為4個，最下面一層為n2個an5，a2 0121 0092 011.【答案】D10(xx江西高考)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28B76C123D199【解析】利用歸納法，ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上)11已知x，yR，且xy<2，則x，y中至多有一個大于1，在用反證法證明時，假設(shè)應(yīng)為_【解析】“至多有一個大于1”包括“都不大于1和有且僅有一個大于1”，故其對立面為“x，y都大于1”【答案】x，y都大于112設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列【解析】由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此當(dāng)?shù)炔顢?shù)列依次每4項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列時，類比到等比數(shù)列為依次每4項(xiàng)的積的商成等比數(shù)列即T4，成等比數(shù)列【答案】13(xx湖北高考)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個三角形數(shù)為n2n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù)N(n,4)n2，五邊形數(shù)N(n,5)n2n，六邊形數(shù)N(n,6)2n2n，可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計算N(10,24)_.【解析】由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測：當(dāng)k為偶數(shù)時，N(n，k)n2n，于是N(n，24)11n210n.故N(10,24)1110210101 000.【答案】1 00014(xx中山高二檢測)在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖2所示)，面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是_圖2【解析】CE平分角ACB，而面CDE平分二面角ACDB.可類比成，故結(jié)論為.【答案】三、解答題(本大題共4小題，共50分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15(本小題滿分12分)用綜合法或分析法證明：(1)如果a，b>0，則lg ；(2)>22.【證明】(1)當(dāng)a，b>0時，有，lglg，lg lg ab.(2)要證>22，只要證()2>(22)2，即2>2，這是顯然成立的，所以，原不等式成立16(本小題滿分12分)(xx福建高考)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論【解】法一(1)選擇式，計算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二(1)同法一(2)三角恒等式為sin2cos2(30)sin cos(30).證明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.17(本小題滿分12分)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列【解】(1)由已知得d2.故an2n1，Snn(n)(2)證明：由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0，p，q，rN，()2pr，(pr)20.pr，與pr矛盾數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列18(本小題滿分14分)設(shè)f(n)1(nN)求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN)【證明】當(dāng)n2時，左邊f(xié)(1)1，右邊2(11)1，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk時，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時結(jié)論仍然成立f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN)